AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha de Trabalho nº5 - Funções - 12º ano Exames 2006 a 2010

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1 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha de Trabalho nº5 - Funções - 1º ano Eames 006 a 010 sin ln 1 Considere a função g, definida no intervalo 1,7 por g( ) Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualize o gráfico da função g e reproduza-o na sua folha de prova Com base nesse gráfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o seguinte problema: Seja g a função derivada de g O conjunto solução da inequação g '( ) 0 é um intervalo aberto a, b Determine os valores de a e b Apresente os resultados arredondados às centésimas Justifique a sua resposta (007) Na figura 1 está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio IR 0 Em cada uma das figuras está representada parte do gráfico de uma função de domínio IR Uma das funções representadas é h, primeira derivada de h, e a outra é h, segunda derivada de h Numa pequena composição, eplique em qual das figuras está representado o gráfico da primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada Na sua composição, deve referir-se à variação de sinal das funções h e h, relacionando-a com características da função h (monotonia e sentido das concavidades do seu gráfico) (007) 3 Considere a função f, de domínio \ 0 IR, definida por f ( ) 1ln( ) Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos: a) Determine os pontos de interseção do gráfico de f com o eio O b) Estude a função quanto à monotonia e à eistência de etremos relativos (007) 0 4 Suponha que a intensidade da luz solar, metros abaio da superfície da água, é dada, numa b certa unidade de medida, por I( ) ae ( 0), onde a e b são constantes positivas que dependem do instante e do local onde é efetuada a medição Sempre que se atribui um valor a a e um valor a b, obtemos uma função de domínio IR + a) Medições efetuadas, num certo instante e em determinado local do oceano Atlântico, mostraram que, a 0 metros de profundidade, a intensidade da luz solar era metade da sua intensidade à superfície da água Determine o valor de b para esse instante e local Apresente o resultado arredondado às centésimas b) Considere agora b=0,05 e a=10 Estude essa função quanto à monotonia e eistência de assímptotas do seu gráfico Interprete os resultados obtidos no conteto da situação descrita (007)

2 5 Seja f a função, de domínio,5 1, definida por f ( ) ln Na figura está representado em referencial on Oy, o gráfico da função f Considere que um ponto P se desloca ao longo o gráfico de f Para cada posição do ponto P, considere o retângulo em que um dos seus lados está contido no eio O, outro na reta de equação =5 e os outros dois nas retas vertical e horizontal que passam pelo ponto P Eprima a área do retângulo em função da abcissa de P, e, recorrendo à calculadora gráfica, determine a abcissa de P (aproimada às centésimas) para a qual a área do retângulo é máima Apresente os elementos recolhidos na utilização da calculadora: o gráfico obtido e o ponto de ordenada máima e respetivas coordenadas (007) : uma função contínua tal que f ( 0) f () 0 e f (1) 0 Prove que eiste pelo menos um número real c no intervalo 0,1 tal que f ( c) f ( c 1) Sugestão: considere a função g : 0,1 IR, definida por g ( ) f ( ) f ( 1) 6 Seja f 0, IR 7 Seja f a função, de domínio, 1, definida por f ( ) ln( 1) Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes: a) Estude a função quanto à eistência de assímptotas do seu gráfico b) Na figura estão representados, em referencial on Oy, uma reta r e um trapézio [OPQR] Q tem abcissa e pertence ao gráfico de f (o qual não está representado na figura; r é tangente ao gráfico de f no ponto Q; P é o ponto de interseção da reta r com o eio OX; R pertence ao eio OY e tem ordenada igual à do ponto Q Determine a área do trapézio [OPQR] Apresente o resultado na forma de fração irredutível 8 De uma função f, de domínio IR, sabe-se que: f é contínua; a reta de equação y= é assímptota do gráfico de f, quer quando, quer quando Mostre que o gráfico da função g, definida, em IR, por g( ) f ( ), não tem qualquer assímptota 9 Na figura estão representados: parte do gráfico da função f, de domínio IR, definida por f ( ) e ; um triângulo isósceles [OPQ] ( PO PQ), em que O é a origem do referencial, P é um ponto do gráfico de f e Q pertence ao eio das abcissas a) Mostre que, para cada IR, se tem A( ) e b) Sem recorrer à calculadora, estude a função A quanto à monotonia e conclua qual é o valor máimo que a área do triângulo [OPQ] pode assumir

3 1 10 Seja a um número real maior do que 1 Qual dos seguintes valores é igual a log a a 3? 1 1 ( A) ( B) ( C) (008) Na figura 1, está representada parte do gráfico de uma função f de domínio, A reta t, de equação y 1, é assímptota do gráfico de f quando tende para Qual é o valor do lim ( f ( ) 1)? ( A) 1 ( B) 0 ( C) 1 (008) a 1 Sabe-se que o ponto P(1,3) pertence ao gráfico da função f ( ) 1, a IR Qual é o valor de a? (A) (B) 1 (C) 0 (D) (008) 13 Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva Admita que, t dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado, aproimadamente, por: 000 N( t), t 0 001t 1199e Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use aproimações às milésimas a) Determine N(0) e lim N( t) Interprete os valores obtidos, no conteto do problema t b) Ao fim de quantos dias se comemorou a inscrição do sócio número 1000? (008) 14 A figura representa parte do gráfico de uma função f de domínio IR Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representação gráfica de f, derivada de f? (A) (B) (C) (D) (008)

4 15 Considere, num referencial ortonormado Oy, os gráficos das funções f e g, de domínio 1 0, 3, definidas por f ( ) ln( ) e g( ) e e (ln designa logaritmo de base e ) Determine a área de um triângulo [OAB], com aproimação às décimas, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora Para construir o triângulo [OAB], percorra os seguintes passos: visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções, no domínio indicado; reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora; assinale, ainda: - a origem O do referencial; - o ponto A de interseção do gráfico das duas funções, indicando as suas coordenadas, com aproimação às décimas; - o ponto B de interseção do gráfico da função g com o eio O 16 Seja h a função de domínio 1,, definida por h( ) 4 ln( 1) (008) (ln designa logaritmo de base e) Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais a) Estude a função h, quanto à monotonia, no seu domínio Indique os intervalos de monotonia e, se eistir algum etremo relativo, determine-o b) Justifique, aplicando o Teorema de Bolzano, que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo 5, 6 (008) 17 Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de IR \ As retas de equações domínio IR e contínua em e y 1 são as únicas assímptotas do gráfico de g Seja ( n ) uma sucessão tal que lim g ( ) n n Qual das epressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão ( n )? ( A) ( B) ( C)1 1 (008) n n n n 1 18 Considere a função f, de domínio,, definida por ln( 1) f(, e a função g, de 1 domínio IR, definida por g( ) (ln designa logaritmo de base e ) Indique as soluções inteiras da inequação f ( ) g( ), recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora Para resolver esta inequação, percorra os seguintes passos: visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções; reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora; assinale, ainda, os pontos A e B, de interseção dos gráficos das duas funções, indicando as suas coordenadas, com aproimação às décimas (008) 19 Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R, sendo y 1 a única assímptota do seu gráfico Qual é o valor do lim 3? f ( ) ( A) ( B) 3 ( C) 1 3 (008)

5 0 A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo Supõe-se que, para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de t horas de 0,0t observação, é dada pelo modelo matemático M( t) 15 e, t 0 Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens que se seguem Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais a) Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a massa inicial da amostra da substância radioativa? Apresente o resultado em horas e minutos, estes arredondados às unidades b) Utilize o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo menos, um instante, entre as horas e 30 minutos e as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra da substância radioativa atingiu os 14 gramas (008) 1 Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, real de variável real Qual das afirmações seguintes é verdadeira? ( A) lim 0 ( B) lim 3 f ( ) 3 f ( ) (007) ( C) lim Nãoeiste lim 3 f ( ) 3 f ( ) Considere um retângulo cuja área é igual a 5 Qual das seguintes epressões representa o perímetro deste retângulo, em função do comprimento,, de um dos lados? ( A) ( B) ( C) (007) 5 3 Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, real de variável real Tal como a figura sugere, a reta de equação =1 é assímptota do gráfico da função g h( ) Seja h: IR IR a função definida por h ( ) 1 O valor de lim é: 1 g( ) ( A) ( B) ( C) 0 1 (007) 4 Identifique o valor de lim 1 4 ( A ) 0 ( B) 1 ( C) (007) Sabendo que ln( ) ln( e ) 0, um valor possível para é: (A) 0 (B) -1 (C) 1 (D) (007) 6 Na figura está parte da representação gráfica de uma função f, de domínio IR Tal como a figura sugere, o eio O e a reta de equação y=1 são assímptotas do gráfico de f Seja g a função, de domínio IR, definida por g( ) ln f ( ) Numa das opções seguintes está parte da representação gráfica da função g Em qual delas? (A) (B) (C) (D) (007)

6 7 Seja f uma função de domínio IR Sabe-se que 3 é um zero da função f Seja g a função definida por g ( ) f ( 1) 4, para qualquer número real Qual dos seguintes pontos pertence garantidamente ao gráfico da função g? (A) (,4) (B) (4,4) (C) (4,8) (D) (1,7) (007) 8 Sejam a e b dois números reais positivos Na figura está parte do gráfico de uma função f, de domínio IR, definida por f ( ) a b Tal com a figura sugere, os pontos (0,) e (1,3) pertencem ao gráfico de f Quais são os valores de a e de b? ( A ) a ; b 1 ( B) a ; b 3 ( C) a 3; b a 3; b 1 9 Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial f Tal como a figura sugere, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima em,0e para baio em 0, A reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0, é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e interseta o eio O no ponto de abcissa Sabendo que f e f designam, respetivamente, a primeira e a segunda derivadas de f, indique o valor de f ( 0) f '(0) f ''(0) (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 30 De duas funções, f e g, sabe-se que: o gráfico de f é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a ; o gráfico de g é uma hipérbole, e a reta de equação =1 é assímptota do gráfico de g Nas figuras seguintes estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole f ( ) Indique o valor de lim 1 g( ) ( A ) 0 ( B) ( C) 31 Na figura está parte do gráfico de uma função h, de domínio IR Sejam h e h a primeira e a segunda derivadas de h, respetivamente Admita que estas duas funções também têm domínio IR Qual das epressões seguintes designa um número positivo? ( A) h(0) h''(0) ( B) h(0) h'(0) ( C) h'(0) h''(0) h'(0) h''(0) e 5 3 Seja g a função definida em IR por g( ) Considere a sucessão de termo geral cos n 1 u n Indique o valor de lim g ( u ) n n (A) 4 (B) 3 (C) (D) 1

7 ln 33 Seja h a função, de domínio IR, definida por e h( ) Qual das seguintes epressões pode também definir h? ( A ) ( B) ( C) 4 34 Na figura estão representadas, em referencial on Oy, partes dos gráficos de duas funções, f e g, contínuas em IR Tal como a figura sugere, nenhum dos gráficos interseta o eio O e os gráficos de g e de f intersetam o eio Oy nos pontos de ordenadas 0,5 e, respetivamente Apenas uma das equações seguintes é impossível Qual delas? ( A) f ( ) g( ) 0 ( B) f ( ) g( ) 0 f( ) ( C) f ( ) g( ) 1 1 g ( ) 35 Seja um número real positivo Qual das epressões seguintes é igual a (ln designa logaritmo de base e; log designa logaritmo de base 10) 4ln log e 10? ln ( A)ln log ( B) ( C) log (009) 36 Sejam f e g duas funções, ambas de domínio IR Sabe-se que: lim ( f ( ) ) 0 ;a função g é definida por g( ) f ( ) Prove que o gráfico de g não tem assímptotas oblíquas (009) 37 Considere a função g, de domínio IR, definida por g( ) e ln a Mostre, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo 0,1; 0,3 Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos 0, e cuja b O gráfico de g contém um único ponto A com abcissa pertencente ao intervalo ordenada é igual ao dobro da abcissa Traduza esta situação por meio de uma equação Resolva a equação, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora Indique as coordenadas do ponto A, com aproimação às décimas Reproduza, na folha de respostas, o gráfico, ou os gráficos, visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial Assinale o ponto A em que se baseou para dar a sua resposta (009) 38 Sejam as funções f e h, de domínios 1, e,, respetivamente, definidas por f ( ) log ( 1) e h( ) log ( ) Determine, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, o conjunto solução da condição f ( ) 1 h( ) Apresente o resultado sob a forma de intervalo real (009)

8 39 Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento cuja concentração C(t) no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado, é dada 0,3t por C( t) t e ( t 0) Resolva, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, os dois itens seguintes a Calcule lim Ct ( ) e interprete esse valor no conteto da situação apresentada t b Determine a que hora se verificou a concentração máima Apresente o resultado em horas e minutos, arredondando estes às unidades Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais (009) 1 40 Seja a função f, de domínio IR, definida por f ( ) e Qual dos pontos seguintes pertence ao gráfico de f? (ln designa logaritmo de base e) ( A) ( 1,0) ( B)(ln, e) ( C)(ln 5,6) (, e) (009) 41 Na figura, estão representadas parte do gráfico de uma função f, de domínio 3,, e parte da reta r, que é a única assímptota do gráfico de f f( ) Qual é o valor de lim? (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) (009) 4 Na figura, está representada parte do gráfico de uma função f ', derivada de f, ambas de domínio IR, em que o eio O é uma assímptota do gráfico de f ' Seja a função g, de domínio IR, definida por g( ) f ( ) Qual das figuras seguintes pode representar parte do gráfico da função g ', derivada de g? (A) (B) (C) (D) (009) 4 se 0 43 Considere a função h, de domínio IR, definida por h( ) se 0 e 1 se 0 Resolva, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, os dois itens seguintes a Estude a continuidade de h no domínio IR b Estude a função h quanto à eistência de assímptotas do seu gráfico paralelas aos eios coordenados e, caso eistam, escreva as suas equações (009)

9 44 Numa certa zona de cultivo, foi detetada uma doença que atinge as culturas A área afetada pela doença começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir Admita que a área, em hectares, afetada pela doença, é dada, em função de t, por A( t) t 5ln( t 1) sendo t (0 t 16) o tempo, em semanas, decorrido após ter sido detetada essa doença Resolva, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, os dois itens seguintes a Quando a doença foi detetada, já uma parte da área de cultivo estava afetada Passada uma semana, a área de cultivo afetada pela doença aumentou De quanto foi esse aumento? Apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas b Determine a área máima afetada pela doença Apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais (009) 45 Na figura, está representada, num referencial on Oy, parte do gráfico de uma função afim f, de domínio IR Seja h a função definida por h( ) f ( ) e Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h, segunda derivada de h? (A) (B) (C) (D) 46 Na figura, está representada, num referencial on Oy, parte do gráfico de uma função f, contínua, de domínio,1 Tal como a figura sugere, a reta de 3 equação 1 é assímptota do gráfico de f Qual é o valor de lim? 1 f ( ) ( A) ( B)3 ( C) 0 (010) (010) 47 Seja g a função, de domínio,, definida por g( ) ln( ) Considere, num referencial on Oy, um triângulo [OAB] tal que: O é a origem do referencial; A é um ponto de ordenada 5; B é o ponto de interseção do gráfico da função g com o eio das abcissas Qual é a área do triângulo [OAB]? 5 1 5ln ln ( A) ( B) ( C) ( D ) (010) 48 Na Internet, no dia 14 de outubro de 009, pelas 14 horas, colocaram-se à venda todos os bilhetes de um espetáculo O último bilhete foi vendido cinco horas após o início da venda Admita que, t horas após o início da venda, o número de bilhetes vendidos, em centenas, é N( t) 8log (3t 1) 3 8log (3t 1), t 0,5 dado, aproimadamente, por 4 4 Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos a Mostre que N( t) 16log 4(3t 1), para qualquer t 0,5 b Determine quanto tempo foi necessário para vender 400 bilhetes Apresente o resultado em horas e minutos Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais, apresentando os minutos arredondados às unidades (010)

10 f, de domínio 0,3, é definida 1 por f '( ) e Estude a função f quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar os intervalos de monotonia da função f; 49 Considere uma função f, de domínio 0,3, cuja derivada ' assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas (010) 50 Considere a função f, de domínio,, definida por a b e se 0 f ( ) sen( ) com a, bir se 0 Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos a Prove que a reta de equação y a b, a 0, é uma assímptota oblíqua do gráfico de f b Determine o valor de b, de modo que f seja contínua em 0 (010) 51 De uma função h, de domínio IR, sabe-se que: h é uma função par; lim ( h( ) ) 0 Qual é o valor de lim h ( )? ( A) ( B) ( C) 0 (010) e se 0 5 Considere a função g, de domínio IR, definida por g ( ) ln se 0 1 Considere a sucessão de termo geral u n Qual é o valor de lim gu ( n)? n n ( A) ( B) 1 ( C) 0 (010) 53 Na figura está representada, num referencial on Oy, parte do gráfico da função f ', primeira derivada de f Seja a IR um ponto do domínio de f, tal que f ( a) 0 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A função f tem um mínimo para a (B) A função f tem um ponto de infleão para a (C) A função f é crescente em 0, a (D) A função f é decrescente em IR (010)

11 e 3 se 0 f( ) 1 ln se 5 Resolva os itens a) e b) recorrendo a métodos eclusivamente analíticos a Estude a função f quanto à eistência de assímptotas oblíquas, 54 Considere a função f, de domínio 0,, definida por b Mostre que a função f tem um etremo relativo no intervalo c Determine a área do triângulo [ABC], recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora Sabe-se que: A, B e C são pontos do gráfico da função f; A e B são os pontos cujas abcissas são as soluções, no intervalo 0,, da equação f ( ) f (15) ; C é o ponto cuja ordenada é o mínimo da função f, no intervalo 0,, e cuja abcissa pertence ao intervalo 0, Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar as coordenadas dos pontos A, B e C, com arredondamento às centésimas; apresentar o resultado pedido, com arredondamento às décimas (010) 1 55 Considere a função f, de domínio IR, definida por f ( ) e Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos a Mostre que tem, pelo menos, uma solução em ]-, -1[ Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais b Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 (010) 3 Soluções : 1) a 1,36 eb 4,61;3 a) e,0 ; b),0 e 0, ñ tem etremos;4 a) b 0,03; b) em IR, 10 1 y 0 é A H;5) A( ) (5 )ln ;,57;7 a) 1 é AV ; b) ;9 b),1 1,, Ma f (1) ; 3 e 10) D;11) B;1) A;13 a)10, 000; b)530;14) C;15) 1, ;16 a) 1, 0 0, Má h(0) 4;17) B;18)0;1; ; 19) B;0 a)34h39 m;1) D;) A;3) C;4) D;5) D;6) C;7) B;8) A;9) C;30) A;31) C;3) C;33) C;34) A; 35) C;37 b)(0,3;0,6);38) 5 3; ;39 a)0; b)1 h0 m;40) B;41) C;4) D;43 a) Cont em IR; b) y 0; 44 a), 47; b)6, 05; 45) A; 46) C; 47) A; 48 b)h0 m; 49) 0; 0,57 0,57;3 min para 0,57;50 b) ; 51) A;5) D;53) C;54 a) nãotem; b)1 ln 5; c)0,4;55 b) y 1 e joseladeira@gmailcom wwwladeiramatnosapopt