Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Aula nº 2 do plano de trabalho nº 1

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Aula nº do plano de trabalho nº 1 Resolver a atividade 4 da página 11 e os eercícios 15, 16, 17 e 18. Atividade 4 Funções eponenciais 1º. Vamos Obter com a calculadora gráfica uma representação da função eponencial definida por ( ) seguintes, as que são verdadeiras: f = e indique, das afirmações a. A função f é crescente em IR e o seu crescimento é muito rápido em IR +. Verdadeira b. O gráfico de f interseta o eio Oy no ponto de ordenada 1. Verdadeira c. O contradomínio de f é o intervalo [ 0,+ [. Falsa porque 0 não é imagem, por f, de nenhum objeto. d. A recta de equação y = 0 é uma assímptota do gráfico de f. Verdadeira e. Quando +, f ( ) +. Verdadeira f. Quando 0, f ( ). Falsa porque ( ) lim f = 1 0 g. O gráfico de f apresenta uma assímptota vertical. Falsa f só tem uma assímptota e é horizontal. º. Recorrendo à calculadora vamos representar graficamente e em simultâneo as funções eponenciais f, g e h definidas por: f ( ) = g( ) h = 10 = e ( ) ( ) a. Observando os gráficos concluímos que as funções têm o mesmo domínio IR, o mesmo contradomínio IR +, nenhuma tem zeros, são as crescentes, são contínuas e injetivas, os gráficos têm uma assímptota horizontal de equação y = 0 e passam pelo ponto de Professora: Rosa Canelas 1

2 coordenadas ( 0,1 ). A única diferença tem a ver com o formato da curva, com um crescimento mais rápido em IR + e mais lento em IR, sempre que a base é maior. b. Completemos as frases seguintes de modo a obter afirmações verdadeiras: ( 10 ) = = se e só se = 0 ( 10 ) < < se e só se > 0 ( 10 ) > > se e só se < 0 º. Representemos graficamente a função eponencial r definida por: r ( ) As caraterísticas comuns com as dos gráficos das funções f, g e h são por eemplo, domínio e contradomínio, ponto de interseção com o eio Oy, injetividade e continuidade e ausência de zeros. A caraterística que mais a distingue delas é a monotonia que. 1 = 4º. O gráfico de r é simétrico do de f em relação ao eio Oy porque: 1 r f 1 ( ) = = ( ) = = ( ) 5º. Usemos a calculadora para obter um valor 0 tal que, para > 0, se tem: a. > De facto para > 10 tem-se que > ou por eemplo para > 9,94 tem-se que > b. 8 > De facto, por eemplo, para > 44 tem-se que 8 > c. 0 > Professora: Rosa Canelas

3 De facto, por eemplo, para > 144 tem-se que 0 > d. 5 > De facto, por eemplo, para > 86 tem-se que 5 > Não será possível encontrar um epoente n que não permita encontrar 0 tal que > > 0 n 15. Indique o valor dos seguintes limites: a. b. c. + lim = lim 0 = porque uma eponencial de base menor que 1 é decrescente pelo + que tende para zero quando tende para mais infinito. lim = 0 porque uma eponencial de base maior que 1 é crescente pelo que tende para zero quando tende para menos infinito. lim = + 5 porque uma eponencial de base menor que 1 é decrescente pelo que tende para mais infinto quando tende para menos infinito. d. lim + 4 = +, porque a eponencial de base maior que 1 tende mais rapidamente para infinito que qualquer potência do seu epoente. e. lim = 0, porque a eponencial de base maior que 1 tende mais rapidamente para + infinito que qualquer potência do seu epoente. f. π lim + =, porque a eponencial de base maior que 1 tende mais rapidamente para infinito que qualquer potência do seu epoente. E como o numerador da fração é negativo e o denominador é positivo o resultado só poder ser negativo. Professora: Rosa Canelas

4 16. Determinemos os zeros, caso eistam, de: g. f ( ) = f ( ) = 0 = 0 = = 1 f tem um zero que é 1. h. g( ) ( ) = g = = = Condição impossível porque a eponencial é sempre positiva. g não tem zeros. i. h( ) = 9 π π ( ) ( ) h = 0 9 = 0 = = π h tem um zero que é π. j. r ( ) = 1 π r ( ) = 0 1 π = 0 π = 1 = 0 r tem um zero que é 0. π 17. Resolvamos, em IR, as equações: a. b. 0,5 = 1,5 =,5 = 0, o conjunto das soluções é { 0 }. t+ 1 t+ 1 7 t 1 t = = + = =, o conjunto das soluções é { } c. ( ) = 0 4 = = = + 1 = = = + 1= = =, o conjunto das soluções é d. ( ) t ,. 5 = 5 5 = 5 5 = 5 1 t = t + t = 1 t =, o conjunto das 1 t t+ 1 1 t 1 t t+ 1 soluções é. e. ( ) 4 4 = = = = = e ( ) 4 = 4 = = 0 = 0 = 4 1 Verificando as soluções: = 1= 1 então = 0 é solução Professora: Rosa Canelas 4

5 ( ) 4 = = = então 0, 4. 1 = é solução, o conjunto das soluções é 4 y y y 1 y y 1 y y 4 f. ( ) 9 = = = y = 4y 4 = y y = 4 y =, o 4 conjunto das soluções é , = 5 = 5 5 = 5 5 = 5 = =, o conjunto das 5 g. ( ) soluções é. h. ( ) = 0, = = 100 = 1 = 1 =, o conjunto das soluções é i. ( ) t +. t t+ t t t t t 6 t 6 t = = = = + = =, o conjunto das soluções é { }. j. k = 1 + = = 1 = 1 = 8 = = o conjunto das soluções é { }. 1 1 a 1 a a a a a a + = 0 a + = 0 a + = 0 = 0 a = 6 a = 6 porque a eponencial é sempre positiva { 6}. a nunca se anula,, o conjunto das soluções é 18. a Consideremos a equação 1 0 verifiquemos que a equação obtida é do º grau. 1± y + y 1 = 0 y = y = y = 4 Substituindo agora y por teremos: + =. Comecemos por substituir por y e b = = 4 = = 1 porque eponencial ser sempre positiva. = 4 é uma equação impossível por a As equações seguintes também são equivalentes a equações do º grau: Professora: Rosa Canelas 5

6 + + b.1 ( ) = + = + = b. 9 ± = = = = = porque impossível. 4 + = 4 + = + = 4 + = ( ) = é 4 ( ) ± = 0 = = 4 = 1 = = Professora: Rosa Canelas 6