Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. TPC nº 9 (entregar em )

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao álculo Diferencial II TP nº 9 (entregar em ) Grupo I. Uma caixa A contém duas bolas verdes e uma bola amarela. Outra caixa B contém uma bola verde e três bolas amarelas. As bolas colocadas nas caixas A e B são indistinguíveis ao tato. Lança-se um dado cúbico perfeito, com as faces numeradas de a 6. Se sair o número 5, tirase uma bola da caixa A; caso contrário, tira-se uma bola da caixa B. Qual é a probabilidade de a bola retirada ser verde, sabendo que saiu o número 5 no lançamento do dado? (A) 4 (B) () 7 (D). Ao disputar um torneio de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe-se que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,8. Qual é a probabilidade de o João acertar sempre no alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar? (A) (B) 0,4096 () 0,089 (D) 0,006. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio IR e contínua em IR \ { }. As retas de equações x = e y = são as únicas assímptotas do gráfico de g. Seja ( x n ) uma sucessão tal que ( n ) lim g x n + = +. Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão ( x n )? (A) + (B) n () n + (D) n n Professora: Rosa anelas Ano Letivo 0/0

2 4. Seja a um número real maior do que. Qual dos seguintes valores é igual a loga a? (A) (B) () (D) 5. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f de domínio ],[. A reta t, de equação y = x, é assímptota do gráfico de f quando x tende para. Qual é ( ) lim f x + x +? x (A) (B) 0 () (D) + GRUPO II. Numa caixa temos três fichas com o número e quatro com o número, indistinguíveis ao tato. Retiram-se, ao acaso e de uma só vez, duas fichas. Seja X a variável aleatória: «a soma dos números inscritos nas duas fichas». onstrua a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Indique, justificando, o valor mais provável da variável X. Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.. Dos alunos de uma escola, sabe-se que: A quinta parte dos alunos tem computador portátil; Metade dos alunos não sabe o nome do diretor; A terça parte dos alunos que não sabe o nome do diretor tem computador portátil.. Determine a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso não ter computador portátil e saber o nome do diretor. Apresente o resultado na forma de fração irredutível... Admita que essa escola tem 50 alunos. Pretende-se formar uma comissão de seis alunos para organizar a viagem de finalistas. Determine de quantas maneiras diferentes se pode formar a comissão com, exatamente, quatro dos alunos que têm computador portátil. Professora: Rosa anelas Ano Letivo 0/0

3 . Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B. Às zero horas do dia de Março de 00, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victorica cruziana. NA t é o número aproximado de nenúfares existentes no lago A, t dias após as zero horas do dia de Março de 00. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvemse segundo o modelo: NB 0 NA ( t) = com t 0 0,t + 7 e t é o número aproximado de nenúfares existentes no lago B, t dias após as zero horas do dia de Março de 00. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem-se segundo o modelo: 50 NB ( t) = com t 0 0,4t + 50 e Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos... omo foi referido, às zero horas do dia de Março de 00, o lago A recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazónica. Decorridos 7 dias esse número aumentou. Determine de quanto foi o aumento. Apresente o resultado arredondado às unidades... Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia de Março de 00, para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B. Apresente o resultado com arredondamento às unidades. 4. onsidere a função f, de domínio, +, definida por ln( x + ) f x = x + domínio IR, definida por g( x) = x (ln designa logaritmo de base e) Indique as soluções inteiras da inequação f ( x) g( x) da sua calculadora. Para resolver esta inequação, percorra os seguintes passos:, e a função g, de >, recorrendo às capacidades gráficas Visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções; Reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora; Assinale, ainda, os pontos A e B, de interseção dos gráficos das duas funções, indicando as suas coordenadas, com aproximação às décimas. Professora: Rosa anelas Ano Letivo 0/0

4 5. onsidere a função h, de domínio IR, definida por + > h x = se x = 0 x e se x < 0 x x 4 x se x 0 Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes: 5.. Estude a continuidade de h no domínio IR. 5.. Estude a função h quanto à existência de assímptotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas equações. 6. Sejam f e g duas funções, ambas de domínio IR +. Sabe-se que: ( ) lim f x x = 0 x + A função g é definida por g( x) = f ( x) + x. Prove que o gráfico de g não tem assímptotas oblíquas. FIM Questões Grupo I Grupo II otação Professora: Rosa anelas 4 Ano Letivo 0/0

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao álculo Diferencial II TP nº 9 Proposta de resolução Grupo I. (D) Uma caixa A contém duas bolas verdes e uma bola amarela. Outra caixa B contém uma bola verde e três bolas amarelas. As bolas colocadas nas caixas A e B são indistinguíveis ao tato. Lança-se um dado cúbico perfeito, com as faces numeradas de a 6. Se sair o número 5, tira-se uma bola da caixa A; caso contrário, tira-se uma bola da caixa B. A probabilidade de a bola retirada ser verde, sabendo que saiu o número 5 no lançamento do dado é de dois em três dado que a bola terá de ser tirada da caixa A.. (B) Ao disputar um torneio de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe-se que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,8. A probabilidade de o João acertar sempre no alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar é dada por binompdf(4,0.8, 4) = 0, 4096 ou ( 0,8) 4 = 0, (B) Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio IR e contínua em IR \ { }. As retas de equações x = e y = são as únicas assímptotas do gráfico de g. Seja ( x n ) uma sucessão tal que ( n ) lim g x n + o termo geral da sucessão ( x n ) pode ser quando x a função g tende para +. = +. porque n 4. (D) Seja a um número real maior do que, então a = = log a 5. (B) Na figura está representada parte do gráfico de uma função f de domínio ],[. A reta t, de equação y = x, é assímptota do gráfico de f quando x tende para. x ( ) ( ) lim f x + x + = lim f x x = 0 x Professora: Rosa anelas 5 Ano Letivo 0/0

6 GRUPO II. Numa caixa temos três fichas com o número e quatro com o número, indistinguíveis ao tato. Retiram-se, ao acaso e de uma só vez, duas fichas Seja X a variável aleatória: «a soma dos números inscritos nas duas fichas». onstrua a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. x i 4 P( X = x i ) = 7 4 = 7 6 = 7 o valor mais provável da variável X é por ser este o que tem mais probabilidade de acontecer.. Dos alunos de uma escola, sabe-se que: A quinta parte dos alunos tem computador portátil; Metade dos alunos não sabe o nome do diretor; A terça parte dos alunos que não sabe o nome do diretor tem computador portátil. onsideremos os acontecimentos : «o aluno tem computador» e D: «o aluno sabe o nome do diretor» D D Professora: Rosa anelas 6 Ano Letivo 0/0 / / D D /5 4/5 / /

7 .. Determine a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso não ter computador portátil e saber o nome do diretor. P( D) 4 = 5.. Admita que essa escola tem 50 alunos. Pretende-se formar uma comissão de seis alunos para organizar a viagem de finalistas. Determine de quantas maneiras diferentes se pode formar a comissão com, exatamente, quatro dos alunos que têm computador portátil. Dos alunos que têm computador e que são 0 50 = 0 5 vamos escolher 4 e vamos escolher dos restantes que são 0. Vamos fazê-lo de maneiras diferentes. = Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B. Às zero horas do dia de Março de 00, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victorica cruziana. NA t é o número aproximado de nenúfares existentes no lago A, t dias após as zero horas do dia de Março de 00. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvemse segundo o modelo: NB 0 NA ( t) = com t 0 0,t + 7 e t é o número aproximado de nenúfares existentes no lago B, t dias após as zero horas do dia de Março de 00. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem-se segundo o modelo: 50 NB ( t) = com t 0 0,4t + 50 e Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos... omo foi referido, às zero horas do dia de Março de 00, o lago A recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazónica. Decorridos 7 dias esse número aumentou NA 7 NA 0 = = 5 9 0, 7 0, 0,4 + 7 e + 7 e + 7 e O aumento é.. Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia de Março de 00, para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B ,4t 0,t NA ( t) = NB ( t) 0 0,t 0,4t ( 50 e ) 50( 7 e ) + 7 e = + 50 e + = + 0,4t 0,t ,4t 0,t e = e 0 = 0 0e + 050e 6000 = 0 0,4t 0,t e e Professora: Rosa anelas 7 Ano Letivo 0/0

8 0,4t 0,t 0,t 5 ± ,t 5 ± 45 e + 5e 00 = 0 e = e = e = 5 e = 40 0,t = ln5 t = 0, 0,t 0,t ln5 O número de nenúfares ficou igual nos dois lagos passados cerca de 8 dias. 4. onsidere a função f, de domínio, +, definida por ln( x + ) f x = x + domínio IR, definida por g( x) = x (ln designa logaritmo de base e) Indique as soluções inteiras da inequação f ( x) g( x) da sua calculadora. Para resolver esta inequação, vamos percorrer os seguintes passos:, e a função g, de >, recorrendo às capacidades gráficas Visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções; Reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora; Assinale, ainda, os pontos A e B, de interseção dos gráficos das duas funções, indicando as suas coordenadas, com aproximação às décimas. Os pontos de interseção são { x : f ( x) > g( x) } = { 0,, } A a,b com a 0, e b, e Z As soluções inteiras são 0, e. B c,d com c, e d 0, 5. onsidere a função h, de domínio IR, definida por + > h x = se x = 0 x e se x < 0 x x 4 x se x 0 Vamos resolver, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes: 5.. Estudemos a continuidade de h no domínio IR. h é contínua para x > 0 por ser a diferença de duas funções contínuas em ] 0,+ [ e também para x 0 < por ser o quociente de duas funções contínuas em ],0[ anular nesse intervalo. Estudemos a continuidade em x = 0 + x 0 lim x + 4 x = = e o denominador não se Professora: Rosa anelas 8 Ano Letivo 0/0

9 x x x e e e lim = lim = lim = = x x x x 0 x 0 x 0 h( 0) = oncluímos que dado ser lim ( h( x) ) h ( 0 ) x 0 Então h é contínua em IR. =, h é contínua no ponto de abcissa zero. 5.. Estudemos a função h quanto à existência de assímptotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, vamos escrever as suas equações. Porque h é contínua em IR não há assímptotas verticais. x x e 0 lim = = 0 x x + 4 x x x + ( x x) ( x x) x 4 x 4 lim x + 4 x = lim = lim = = 0 + x + x + x + O gráfico de h tem apenas uma assímptota horizontal de equação y = 0 6. Sejam f e g duas funções, ambas de domínio IR +. Sabe-se que: ( ) lim f x x = 0 o que significa que o gráfico de f tem uma assímptota oblíqua de x + equação y = x e x + f x lim = x A função g é definida por g( x) = f ( x) + x. g x f x x f x alculemos m = lim = lim lim lim x x + x x + + x x = + = + + = + x + x x + Assim podemos concluir que não há assímptotas oblíquas porque g está apenas definida em IR +. FIM Questões Grupo I Grupo II otação Professora: Rosa anelas 9 Ano Letivo 0/0

10 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao álculo Diferencial II TP nº 9 ritérios de classificação Grupo I Esquema de contagem 8 Tabela de probabilidades 0 Resposta Escrever equação Resolver a equação 5 Dar a resposta 4. 5 Apresentar o gráfico respeitando o domínio 8 Assinalar A Assinalar B Dar a resposta Professora: Rosa anelas 0 Ano Letivo 0/0

11 Justificar porque não há assimptotas verticais 5 alcular limite quando x tende para menos infinito 5 alcular limite quando x tende para mais infinito 5 Indicar a equação da assimptota horizontal oncluir que y = x é equação da assímptota de f oncluir que x + f x lim = 5 x alcular o declive para uma possível assímptota de g 5 oncluir que não há assímptota oblíqua para o gráfico de g Total 00 Professora: Rosa anelas Ano Letivo 0/0