Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

Transcrição

1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Tarefa n.º 1. Quando o Afonso sai de casa da namorada, ela fica à porta a vê-lo afastar-se. A distância da porta ao passeio, em linha recta, é de 10 metros, mas o portão fica desviado metros, conforme se mostra na figura. Seja x, em metros, a distância percorrida pelo Afonso desde o portão Recorra à calculadora para responder às questões seguintes, indicando as distâncias com aproximação ao centímetro Mostre que a distância D a que o Afonso está da namorada se pode exprimir, em função de x, por D(x) = x 4x Quando está a 15 metros da namorada, o Afonso atira-lhe um beijo. Quanto andou ele, desde que saiu do portão? A certa altura, a namorada está a uma distância que é igual ao dobro do que o Afonso andou desde o portão. Que distância percorreu o Afonso? 1.. Considerando a função definida no problema anterior, como uma função real de variável real, determine o domínio e o contradomínio.. A loja de pronto-a-vestir A calceira fez uma encomenda à fábrica de produção de dois tipos de calças: tipo A e tipo B. Em relação aos dados da encomenda, sabe-se que: encomendou 30 calças do tipo B; cada calça do tipo A custa 60 ; cada calça do tipo B custa Se do tipo A forem encomendadas 45 calças, qual o preço médio por calça, no total da encomenda?.. Determine uma expressão que permita calcular o preço médio por calça, em função do número de calças do tipo A..3. No total da encomenda, o custo médio foi de 80. Quantas calças do tipo A foram encomendadas? Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 010/011

2 .4. O transporte da encomenda de calças da fábrica para a loja é feito através das duas estradas. O percurso na 1ª estrada demora 30minutos à velocidade média de 60 km/h e na ª estrada é feito à velocidade média de 90 km/h Designe por t o tempo gasto, em horas, no percurso da segunda estrada e por v a velocidade média, em km/h, no total do trajecto (1ª e ª estradas). Faça uma representação gráfica da função V que a cada t faz corresponder a velocidade v..4.. A velocidade média em todo o percurso foi 80 km/h. Quanto tempo demorou o percurso na ª estrada? Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Tarefa n.º Proposta de resolução 1. Quando o Afonso sai de casa da namorada, ela fica à porta a vê-lo afastar-se. A distância da porta ao passeio, em linha recta, é de 10 metros, mas o portão fica desviado metros, conforme se mostra na figura. Seja x, em metros, a distância percorrida pelo Afonso desde o portão Recorrendo à calculadora vamos responder às questões seguintes, indicando as distâncias com aproximação ao centímetro Calculemos a distância D a que o Afonso está da namorada, em função de x e atendendo a que essa distância é a hipotenusa do triângulo rectângulo da figura que tem como catetos 10 e x. Usemos o teorema de Pitágoras e vem: ( ) D = 10 x D 100 x 4x 4 D x 4x 104 ser + = + + = + donde podemos concluir D(x) = x 4x Quando está a 15 metros da namorada, o Afonso atira-lhe um beijo. A distância que ele andou desde que saiu do portão é, com aproximação ao centímetro, 13,18 m dada pelo valor de x quando se procura a intersecção dos gráficos das funções y = x 4x e y = 15, ou, o que é o mesmo, a solução da equação x 4x = A certa altura, a namorada está a uma distância que é igual ao dobro do que o Afonso andou desde o portão. A distância que o Afonso percorreu é agora a solução da equação D = x ou x 4x = x. Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 010/011

4 O Afonso andou desde o portão 5,6 metros. (valor com aproximação ao centímetro). 1.. Consideremos a função real de variável real definida por f ( x) = x 4x O seu domínio é o conjunto de valores de x para os quais f ( x) tem significado. Ora uma raiz quadrada só tem significado em IR se o radicando for não negativo. Assim D { f x R : x 4x 104 0} = + = R porque x 4x é um polinómio sem zeros por ser impossível a equação 4 ± 400 x 4x = 0 x = e a parábola que representa a função y = x 4x tem a concavidade voltada para cima pelo que o polinómio só toma valores positivos. O contradomínio é o conjunto dos valores que f ( x ) toma em cada uma das concretizações de x. Da observação da expressão f ( x) = x 4x podemos concluir à partida que f ( x ) só pode tomar valores não negativos por se tratar de uma raiz quadrada. Mas por outro lado sabemos que x 4x é sempre positivo e até podemos saber qual o seu valor mínimo, calculando as coordenadas do vértice da parábola que representa y = x 4x Comecemos por calcular os zeros de y = x 4x e determinemos a média deles para obtermos a abcissa do vértice: ( ) x 4x = 0 x x 4 = 0 x = 0 x = xv = = V y = = 100 As coordenadas do vértice são (,100 ) Então se x 4x x 4x Concluímos assim que D' = [ 10, + [ Confirmemos usando a calculadora. f. A loja de pronto-a-vestir A calceira fez uma encomenda à fábrica de produção de dois tipos de calças: tipo A e tipo B. Em relação aos dados da encomenda, sabe-se que: encomendou 30 calças do tipo B; cada calça do tipo A custa 60 ; cada calça do tipo B custa 90. Sintetizemos numa tabela os dados do problema: Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 010/011

5 N.º de calças Preço por calça Tipo A x 60 Tipo B Para calcularmos o preço médio por calça, no total da encomenda, se do tipo A forem encomendadas 45 calças, vamos calcular o preço de toda a encomenda e dividir pelo número de calças compradas. Assim gastámos em calças do tipo A e em calças do tipo B. Como comprámos um total de calças, o preço médio será: Pm = = 7 /calça Se representarmos por x o número de calças do tipo A compradas, encontramos uma expressão que permite calcular o preço médio por calça, em função do número de calças do tipo A, substituindo, na expressão de P m da alínea anterior, 45 por x. P m = x P 60x 700 m = + x + 30 x No total da encomenda, o custo médio foi de 80. Para sabermos quantas calças do tipo A foram encomendadas temos de resolver a equação por dois processos: Processo analítico: 60x =. Vamos fazê-lo x x = 80x = 60x x = 300 x = 15 x + 30 A maneira como resolvemos esta equação não é o processo correcto quando se trabalha com uma fracção racional (fracção com uma variável em denominador). Tudo isso tem a ver com o domínio da expressão fraccionária que no caso do nosso problema, nos permite fazer esta resolução por em IN, conjunto ao qual pode pertencer o número de calças do tipo A compradas, o denominador nunca se anular. A resolução desta equação em IR teria de ter em conta o domínio e seria assim: 60x x x x = = = 0 0x 300 = 0 x x + 30 x + 30 x + 30 x + 30 Porque x = 15 x 30 x = 15 obteríamos a mesma solução, o que nem sempre acontece. Processo gráfico: Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 010/011

6 Da observação do gráfico e da determinação do ponto de intersecção da curva com a recta concluímos que foram encomendadas 15 calças do tipo A..4. O transporte da encomenda de calças da fábrica para a loja é feito através da duas estradas. O percurso na 1ª estrada demora 30 minutos à velocidade média de 60 km/h e na ª estrada é feito à velocidade média de 90 km/h. Sintetizemos os dados numa tabela semelhante à do enunciado anterior: Tempo gasto Velocidade média 1ª estrada 30 m = 0,5 h 60 km/h ª estrada t 90 Km/h.4.1. Designando por t o tempo gasto, em horas, no percurso da segunda estrada e por v a velocidade média, em km/h, no total do trajecto (1ª e ª estradas). Podemos encontrar uma expressão que nos dá v em função de t, usando um raciocínio semelhante ao do preço médio das calças. Sendo o tempo gasto na primeira estrada 0,5 horas e na segunda t horas podemos calcular o espaço percorrido em cada uma delas por conhecermos a velocidade média em cada estrada. 0, t 90 A expressão será então v = 0,5 + t Uma representação gráfica da função V que a cada t faz corresponder a velocidade v será.4.. A velocidade média em todo o percurso foi 80 km/h. Para sabermos quanto tempo 0, t 90 demorou o percurso na ª estrada vamos resolver a equação 80 =. 0,5 + t Para a resolução desta equação temos de ter em conta tudo o que foi dito em c. Como também aqui o tempo é positivo podemos cometer o mesmo abuso que cometemos em c. para resolver analiticamente a equação: 0, t = t = t 10t = 10 t = 1 0,5 + t Resolvendo graficamente: Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 010/011

7 Concluímos então que se a velocidade média de todo o percurso foi 80 km/h o camião demorou uma hora na segunda estrada. Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 010/011