Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Considere a função f que para valores de x é de nida pela relação f(x) = x(sin /x).

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1 E Eercício 1 Considere a função f que para valores de é denida pela relação f() = (sin /). 1.1 Mostre que a função f é contínua em R\{}. 1.2 Sabendo que f é contínua no ponto = determine o valor de f(). 1.3 Determine os ites + f() e f(). Resposta ao eercício A função obtém-se de funções elementares usando composição d funções e operações algébricas, logo é contínua. 1.2 Se f é contínua em = então, 1.3 Observe-se que f() = (sin /) =, pois (sin /). (sin /) = sin / / e que / quando ±, desta forma, usando o ite notável tem-se ± (sin /) =. Eercício 2 Considere a função f R R que é denida por: f() = (cos /) se > e por f() = ( + ) se. 2.1 Mostre que f é contínua em =. 2.2 Calcule os ites + f() e f(). 2.3 Indique, justicando, o contradomínio de f. Resposta ao eercício Tem-se que f() = (+) = = f(). Por outro lado + f() = + (cos /) =, porque cos é uma função itada e tende para. Assim, f() = f(), logo f é contínua em =. 2.2 Tem-se que + f() = + (cos /) = +, uma vez que cos /. uanto a f() tem-se que f() = ( + ) = O contradomínio de f, ou seja, o conjunto das imagens é f(r) = f(r + ) f(r ). O ramo negativo da função é uma parábola e é fácil constatar que f(r ) = [, + [. Por outro lado, para > /π tem-se que / < π/ pelo que > /π implca que f() = (cos /) >. Por outro lado para < < /pi tem-se que (cos /) > /π >. Conclui-se assim que f(r ) f(r + ). Por m, tem-se f(r) = [, + [. Eercício 3 Considere a função f R R denida por: f() = ep( /( + )) se > e f() = ( + ) se Mostre que f é contínua no ponto =. 1 Usamos a notação (u) para indicar e u. 1

2 3.2 Calcule os ites + f() e f(). 3.3 Indique, justicando, o contradomínio de f. Semelhante aos dois eercícios anteriores. Considere a função f R\{} R denida por: 4.1 Mostre que f é contínua no seu domínio. 4.2 Mostre que f é itada. Resposta ao eercício 3 ** Eercício 4 f() = ep. Resposta ao eercício A função é contínua porque é a composição de funções elementares que são contínuas. 4.2 Calculando ± f() = e =. Por outro lado f() = («e»). Se denirmos uma etensão f R R de f denida através de f () = f() se e f() =, tem-se que f é contínua em R. Por outro lado ± f () = ± f() =. Assim, f é itada. Como os valores de f são valores de f, conclui-se que f também é itada. Considere a função f R\{} R denida por: 4.1 Mostre que f é contínua no seu domínio. 4.2 Mostre que f é itada. 4.1 Como no eercício anterior. ** Eercício 5 f() = (sin /) (cos /). Resposta ao eercício Observe-se que f() = (sin /) (cos /) (sin /) + cos / (sin /) +. Basta assim mostrar que a função (sin /) é itada, para se poder concluir o resultado. A função não está denida em zero mas, procedendo como no eercício anterior, denindo a função (sin /) g() = ( ) ( = ) obtemos uma etensão da função (sin /) que é contínua em R. Usando o ite notável, conclui-se que ± g() = ± (sin /) =. Concluímos então que g() é itada, o mesmo sucedendo então com (sin /). * Eercício 6 Consideremos uma função f ], [ R, contínua, tal que Prove que eiste c ], [ tal que f(c) = c. f() = e f() =

3 Resposta ao eercício 6 Considere-se a função h() = f(). A função h, sendo a diferença de duas funções contínuas, é contínua. Por outro lado + h() = (). Analogamente, h() =. Assim, a função h() toma necessariamente valores positivos e valores negativos e, pelo teorema do valor intermédio de Bolzano, toma também o valor, i.e., eiste c [, ] tal que h(c) =, ou seja, tal que f(c) = c. * Eercício 7 Considere uma função g [, + [ R. Seja agora f [, ] R denida por f() = g( ). (a) Supondo que g é contínua em todo o seu domínio, mostre que f tem máimo e mínimo. (b) Supondo apenas que g é contínua em ], + [, poderemos garantir a eistência de máimo e mínimo de f. Justique! Resposta ao eercício 7 7(a) Neste caso f é contínua e, estando denida num conjunto compacto (o conjunto [, ]) tem máimo e mínimo nesse conjunto sendo, em particular, itada nesse conjunto. 7(b) Não! Um contra-eemplo pode obter-se considerando a função g() = / se e se =. A função g( ) não é itada, neste caso. * Eercício 8 Considere f R R, contínua, e suponha que α = + f(), β = f() e α, β R. 8.1 Prove que f é itada. 8.2 Prove que eiste c R tal que f(c) = c. 8.3 Supondo que αβ < indique, justicando o máimo da função g() = + (f()) Resposta ao eercício A função é contínua em R e os ites em + e são nitos, logo f é necessariamente itada. 8.2 Considerando a função (contínua) h() = f() e calculando os ites em + e tem-se: h() = f() = α =, + + enquanto que, h() = f() = β ( ) = +, a função toma assim valores positivos e negativos e, pelo teorema do valor intermédio de Bolzano eiste necessariamente c tal que h(c) =, ou seja, tal que f(c) = c. 8.3 Se αβ < então é a própria função f que tem que possuir um zero e, neste caso, o máimo de g será. * Eercício 9 Considere duas funções f, g contínuas em R. Suponha que eistem pontos α, β R tais que f(α) < g(α) e f(β) > g(β). Mostre que, nestas condições a equação f() = g() tem soluções em R. 3

4 Resposta ao eercício 9 Considere a função auiliar h() = f() g() e aplique o teorema do valor intermédio de Bolzano. Eercício 10 Em cada alínea abaio, determine o conjunto de pontos em que f é diferenciável e calcule a respectiva derivada. (a) f() = ln( + ) (b) f() = ln(ln ) (c) f() = ln( + cos ) (d) f() = ep(/) (e) f() = ep(sin ) () f() = (g) f() = (ln ) (h) f() = No caso dos eercícios das alíneas () (h) é necessário calcular a derivada de uma função do tipo u v em que u e v são funções. Recorda-se que uma tal função tem como domínio o conjunto { R u() > }. Por outro lado, muito embora não eista uma regra de derivação que permita lidar directamente com este caso, podemos reduzir esta situação a uma situação conhecida. Com efeito tem-se, u v uv = e = e v( u), podendo aplicar-se a regra de derivação para eponenciais. Resposta ao eercício 10 Estes são simples eercícios de aplicação das regras de derivação. Por constituírem novidade considera-se apenas uma das últimas três alíneas a título de eemplo. Consideramos a alínea (). Netse caso tem-se a função f() = cujo domínio é R +. (Recorde-se que uma função do tipo u() v() só se encontra denida no conjunto dom(v()) { u() > }.) Tem-se deste modo, = e ( ) ( )( ) = e ( ) = ( ( )( ) ) = [(ln )(ln )] e ( )( ) = [(/)(ln ) + (ln )(/)]e ( )( ) = Calcule os seguintes ites, (a) (sin /) + sin Eercício 11 e (b) / + (ln ) e ( )( ) = (c) +(sin )(ln ) (d) + (e) + (sin /)(ln ) () +(ln ) (g) + ( ) (h) + /( ) (i) +. (ln ). Consideramos apenas algumas das alíneas. Resposta ao eercício (b) Estamos perante uma indeterminação do tipo /. Se tentarmos usar a regra de Cauchy, directamente, derivando o numerador e o denominador da fracção, vamos descobrir que isso não só não resolve o problema, como a epressão envolvida se torna cada vez mais complicada. Devemos lembrar-nos, em casos como este, que uma fracção A/B pode ser escrita na forma (/B)/(/A). Tendo isto em conta obtemos: e / / = + + e. / Desta vez passamos a obter uma indeterminação do tipo /. Considerando a aplicação da regra de Cauchy temos: (/) + (e / ) = / = =, + ( / )e/ + e/ permitindo-nos concluir que o ite original também é. 4

5 11.(d) Neste caso temos uma indeterminação do tipo. Antes de tentar aplicar a regra de Cauchy devemos passar este produto à forma de um quociente. Tem-se que AB = A/(/B) = B(/A). (Embora estes quocientes sejam algebricamente iguais, do ponto de vista da regra de Cauchy podem conduzir a casos completamente diferentes, pelo que se uma das formas não funcionar se deve sempre considerar a outra.) Temos então, Tentando aplicar a regra de Cauchy obtemos, (ln( )) = + (/(ln )) + Pelo que o ite original também é. ln( ) +(ln ) ln( ) = + /(ln ). /( ) = (/)/( /(ln ) + (ln ) = (+ )(+ ) =. 11.(i) É claro que o único problema é calcular +. E, antes de podermos decidir se temos ou não uma indeterminação temos que saber para onde tende quando, uma vez que + é uma indeterminação do tipo, começamos por resolver esta indeterminação. Temos, = e() = e( ) Para decidir este ite basta analisar + (ln ) que é uma indeterminação do tipo. Tem-se, Tentando usar a regra de Cauchy obtemos, pelo que + = e =. ln (ln ) = + + /. (ln ) / = = =, + (/) + / + Retomando + tem-se, + = =. * Eercício 12 Consideremos a função denida por f() = /. Mostre que f() = f( ) mas que para ], [ se tem f (). Eplique porque é que este facto não contradiz o teorema de Lagrange. Resposta ao eercício 12 Não contradiz porque a função em causa não é diferenciável no ponto ], [, enquanto que o teorema de Lagrange pressupõe a diferenciabilidade de f em ], [. * Eercício 13 Recorrendo ao teorema de Lagrange deduza as seguintes desigualdades: 13.1 (sin ) (sin y) y, para quaisquer, y R ny n ( y) n y n n n ( y), para < y e n N. Resposta ao eercício 13 Resolvemos apenas o caso (o outro caso é idêntico). Consideremos então a função f() = n que verica as hipóteses do teorema de Lagrange no intervalo [y, ]. Tem-se f () = n n e, aplicando o teorema de Lagrange obtém-se: n y n y = nαn, (para certo α com y < α <.) 5

6 Mas, para y < α < tem-se y n < α n < n, pelo que ny n < n y n y = nαn < n n e, multiplicando a desigualdade por y obtém-se ny n ( y) < n y n = nα n < n n ( y). ** Eercício 14 Seja f uma função diferenciável em R, com derivada crescente, tal que f() =. Mostre que a função denida por g() = f()/ é crescente em R +. Resposta ao eercício 14 Consideremos a derivada de g() tendo em vista estudar o respectivo sinal. Calculando obtém-se: g () = f() = f () f() = f () f() f () = f() f() = f () f (α), para certo α tal que < α < (aplicando o teorema de Lagrange à função f). Como f é crescente e α < tem-se f () f (α) e como R +, conclui-se que a derivada de g é positiva, logo g é crescente em R +. Eercício 15 Considere a função f [, + [ R, contínua em = e denida para > através da relação f() = (ln ) Calcule f() Escreva a equação da recta tangente ao gráco de f no ponto de abcissa = Determine os intervalos de monotonia, etremos, concavidades, ineões e assímptotas de f Esboce o gráco de f e determine o contradomínio desta função. Resposta ao eercício Como f é contínua em = tem-se que f() = + f() = + (ln ). Como este ite é uma indeterminação do tipo recorremos à regra de Cauchy: passando ao quociente das derivadas obtemos, (ln ) (ln ) = + + / (ln ) + (/ ) = + / ( / ) = + / ( /) / ) = + = + = Concluí-se assim que f() = A equação da recta tangente no ponto de abcissa = é y f() Deia-se ao cuidado do leitor o cálculo de f () e f(). = f (). 6

7 15.3 A monotonia estuda-se estudando o sinal da primeira derivada. Neste caso a função é diferenciável em R + e, nesse domínio, a derivada é dada por f () = ( (ln )) = (ln ) + = (ln ) + = ((ln ) + ). Como em R +, / >, o sinal da derivada é o sinal de (ln ) +. E este é negativo se < e, positivo se > e e anula-se para = e. Assim, a derivada é negativa no intervalo ], e [, positiva no intervalo ]e, + [ e anula-se para = e. Pelo que a função é decrescente no primeiro intervalo, crescente no segundo e tem um mínimo no ponto = e. Para estudar o sentido da concavidade e as ineões precisamos de estudar a segunda derivada. f () = ((ln ) + ) = ((ln ) + ) + ((ln ) + ) = (ln ). = ((ln ) + ) = Observando que / é sempre negativo em R +, o sinal de f () é o sinal contrário ao de ln. Assim, f () é positiva no intervalo ], [, negativa no intervalo ], + [ e anula-se em =. A concavidade está voltada para cima no primeiro intervalo, voltada para baio no segundo, senso = um ponto de ineão. A única possibilidade de eistência de assímptota é quando +. Calculando + f() = + (ln ) = +. Assim não eiste asímptota horizontal. uanto à possibilidade de eistência de uma assímptota oblíqua, calculando f() (ln ) ln = = =. (O valor do ite anterior obtém-se depois de uma aplicação muito simples da regra de Cauchy.) Concluímos assim que a única possibilidade de assímptota seria uma assímptota de declive nulo, ou seja, uma assímptota horizontal que, já vimos que não eiste. Concluí-se portanto que não eistem assímptotas uanto ao gráco: e uanto ao contradomínio trata-se do conjunto [f(e ), + [. 7

8 Considere a função f R R denida por Eercício 16 (ln ) f() = 16.1 Mostre que f tem derivada contínua em R. ( > ) ( ) Determine os intervalos de monotonia, etremos, concavidades, ineões e assímptotas de f Esboce o gráco de f e determine o contradomínio desta função. Resposta ao eercício 16 Análogo ao eercício 15. Eercício 17 Considere a função f R\{} R denida por f() = e 17.1 Determine os intervalos de monotonia e os etremos de f Determine as concavidades e ineões de f Determine as assímptotas ao gráco de f 17.4 Esboce o gráco de f e determine o contradomínio desta função. Análogo ao eercício 15. Prove, recorrendo ao teorema de Taylor, que para qualquer [, ]. Resposta ao eercício 17 Eercício 18 (cos ) + <, Resposta ao eercício 18 Cálculos simples mostram que / + / é o polinómio de Taylor de ordem no ponto a = da função cos. Assim sendo temos, (cos ) + = R (). Para determinar R () podemos usar a fórmula do resto de Lagrange que, neste caso, recorre à derivada de ordem 6 da função cos que, portanto, precisamos de calcular: f () = sin ; f () = cos ; f () = sin ; f () () = cos ; f () () = sin ; f () () = cos. Recorrendo então à fórmula do resto de Lagrange, obtemos: (cos ) + = cos α!! ( ) =! = = <. 8

9 Eercício 19 Prove, recorrendo ao teorema de Taylor, que sin <, para qualquer [, ]. Começamos por observar que Resposta ao eercício 19 sin < sin < sin <. sin < Vamos então estabelecer a última desigualdade. Cálculos simples mostram que / é o polinómio de Taylor de ordem da função sin no ponto a =. Assim sendo, sin = R (). Para calcular o resto de ordem necessitamos da derivada de ordem da função sin : Temos então, f () = cos ; f () = sin ; f () = cos ; f () () = sin ; f () () = cos. (Observe-se que para [, ] se tem <.) sin cos α =!! <. Eercício 20 Seja f R R uma função de classe C (R) com polinómio de Taylor de ordem 5 em a = dado por: (a) (b) (c). Em cada caso determine f (k) () para k =,,,,, e indique, justicando, se f tem ou não um etremo local no ponto =. Resposta ao eercício 20 Consideramos apenas dois casos, uma vez que o procedimento é essencialmente o mesmo em todos os casos. 20(a) Neste caso o polinómio + = é o polinómio de Taylor de ordem no ponto a = de f(). Isto signica que, Daqui resultando que, f() = ; f () = ; f ()/! = ; f () () = f () () = f () () =. f() = ; f () = ; f () = ; f () () = f () () = f () () =. Como a derivada da função não se anula no ponto =, a função não pode ter um etremo no ponto =. 9

10 20(c) Neste caso, tem-se ou seja, f() = f () = f () = f () = f () () = ; f () ()/! = f() = f () = f () = f () = f () () = ; f () () =!. Neste caso a primeira derivada anula-se no ponto =. Neste casos, para se decidir se estamos ou não perante um etremo devemos procurar a primeira ordem de uma derivada que não se anula. Se essa ordem for ímpar não ete etremo. Se essa ordem for par então eiste um etremo que é máimo se a derivada dessa ordem for negativa e um mínimo caso contrário. Neste caso a primeira ordem, depois da primeira, cuja respectiva derivada não se anula é a ordem, que é ímpar. Concluí-se por isso que não eiste etremo. Eercício 21 Calcule as derivadas das funções reais de variável real denidas por, 21.1 f() = ln( + t )dt, 21.2 f() = e+t /(t + )dt Resposta ao eercício 21 Consideramos o segundo caso. Perante uma função G() = ψ() f(t)dt, em que φ, ψ são diferenciáveis e f é contínua, podemos concluir que G é diferenciável e, Neste caso, e+t t + dt = φ() G () = ψ ()f(ψ()) φ ()f(φ()). eet t + dt = e et t + dt Eercício 22 Determine a área da região plana D R itada pelas curvas, 22.1 y = e, y = e = ; 22.2 y = e y = ; 22.3 y = e, t = e e = ; 22.4 y = / e y = /( + ). = e Resposta ao eercício 22 et e t + dt + e +. Consideraremos apenas o último caso. Nestes casos deve sempre esboçar-se o gráco. Isso pode ser feito recorrendo ao estudo das funções envolvidas quando o gráco não corresponde a uma função conhecida. No nosso caso obtém-se: 10

11 As abcissas dos pontos de intersecção das duas curvas são obtidas resolvendo: = + ( + ) = + =. Esta equação pode resolver-se considerando em primeiro lugar a mudança de variável z =, que origina a equação z + z = que pode primeiro resolver-se em ordem a z e, depois, em ordem a. Obtêm-se as soluções = e =. A área pretendida é então, A = + d = arctan A primitiva de /( + ) é imediata mas, de facto, é uma função da qual não falámos ao longo do curso, trata-se da funçãoarctan (arco-tangente de ) trata-se da função que a cada faz corresponder o ângulo (em radianos) do intervalo ] π/, π/[ que tem como tangente. Assim arctan( ) = π/ e arctan() = π/. Calcule S: Use a substituição = t. Eercício 23 e d. Resposta ao eercício 23 Considere-se a substituição = t, ou seja t =. Tem-se d = tdt. Assim, e e t d = t tdt = e t dt = e t dt = [e t ].. 11