FEUP - MIEEC - Análise Matemática 1

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1 FEUP - MIEEC - Análise Matemática Resolução da a Chamada - de Janeiro de 9 Respostas a perguntas diferentes em folhas diferentes Justifique cuidadosamente todas as respostas. Não é permitida a utilização de máquina de calcular. O tempo para a realização desta prova é de horas. Cotações: Perg. : valores; Perg. :, 5 valores; Perg. :, 5 valores; Perg. : valores; Perg. 5: valores; Perg. : valores.. Indique se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa e justifique. (a) lim ( tan ()) sec (). π Aplicando directamente limites vem ( ( π )) ( π ) lim ( tan ()) sec () tan sec π cos ( π ) A regra de L Hôpital não é aplicável para este tipo de indeterminação. Contudo, podemos escrever ( ) tan () lim ( tan ()) sec () lim π π cos () A regra de L Hôpital é agora aplicável. Derivando ambos os termos da fracção, lim π ( sec () π ) sin () sec sin ( ) π Concluímos assim que lim ( tan ()) sec (). A afirmação é verdadeira. π (b) O integral impróprio e d é divergente. + e e e d lim + e M M + e d lim M [ln ( + e )] M lim ln ( + ) ln ( + M em ) ( ) ln () ln () ln ( ) O integral impróprio é convergente e o seu valor é ln. A afirmação é falsa.

2 . Calcule os seguintes integrais: (a) ( + ) ( ) d. Integral de uma função racional. Grau do numerador inferior ao grau do denominador. Decompor a fracção em fracções simples: ( + ) ( ) A + B + + C ( + ) A(+) +B(+)( )+C( ) A + B A + B + C 9A B C (A + B) + (A + B + C) + (9A B C) ( + ) ( ) d B A C A 9A + A + A d + d + A B C ( + ) d ln + ) + ln + + ( + C + ln C, C R (b) ( ) d. Integral do tipo.(a) (ver formulário). Efectuando a mudança de variável t, vem t + e t + t +. Também t dt d, ou seja t dt d. Substituindo no integral, vem ( ) d t + t dt t + t dt arctan (t)+c arctan ( )+C, C R

3 . Determinar a área da região limitada simultaneamente pelas curvas y, y e y. Comece por fazer um esboço da região. Esboço da região: Intersecções: { y { y { y y ( ) (, ) (, ) y y y { ( ) y (, ) (, ) Cálculo da área: A [ d + ] + [ ] d d d Resolução alternativa: O cálculo da área pedida é ainda igual à diferença entre as seguintes áreas: (a) área limitada pela recta y e parábola y. (b) área limitada pela recta y e parábola y. Assim, A d [ d ] [ ] 8 ( )

4 . Considere a equação diferencial y (t) y (t) y(t) e t. (a) Use a transformada de Laplace para determinar a solução particular que satisfaz y(), y (). Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação diferencial e tendo em conta as condições iniciais dadas, obtém-se: s L{y} sy() y () sl{y} y() L{y} L{e t } (s s )L{y} s ou seja, Cálculos Auiliares: (s s )L{y} s + s s s L{y} (s )(s s ) s (s )(s + )(s ) { } y(t) L s (s )(s + )(s ) { L s s + + } s i. s s s ± + 8 ii. onde (regra dos "tapas") A Conclusão: et e t + et s s. s (s )(s + )(s ) A s + B s + + s (s + )(s ) s, B s (s )(s ) s C s e C s (s )(s + ) s. A solução da equação diferencial que satisfaz y(), y () é a função y(t) et e t + et. (b) Determine a solução geral da equação diferencial dada. A solução geral da equação diferencial toma a forma y(t) y p (t) + C y (t) + C y (t), C, C R onde y p é uma solução particular qualquer da equação diferencial e {y, y } constitui um sistema fundamental de soluções para a equação diferencial homogénea associada. Na alínea anterior obtivemos já uma solução particular. Tome-se então para y p a função y p (t) et e t + et Resta determinar y e y. i. Equação característica e raízes: r r r r

5 ii. Sistema fundamental de soluções: {e t, e t } Conclusão: a solução geral da equação diferencial é y(t) et e t + et + C e t + C e t, C, C R podendo ser escrita de forma mais simples como: y(t) et + K e t + K e t, K, K R. 5

6 5. (a) Indique a natureza da série ( ) n n n +. n Como a n n n >, n, trata-se de uma série alternada. + Será que as condições de aplicação do teste das séries alternadas são satisfeitas pela sucessão? Vejamos: i. a n é decrescente? Logo, a n é decrescente. ii. lim a n? a n+ a n n + (n + ) + n n + (n + )(n + ) n(n + n + ) (n + n + )(n + ) n + n + n + n n n (n + n + )(n + ) lim n n + (n + n + )(n + ) n n + lim n + n <, n N Pelo critério das séries alternadas podemos concluir que a série ( ) n a n ( ) n n n + n n é convergente. (b) Determine o intervalo de convergência da série de potências lim ( ) ( ) n+ n+ ( ) ( ) n n lim ( ( ) n ) n. n. i. Para os valores de tais que < <, a série converge. ii. Para os valores de tais que > >, a série diverge. iii. Se, não podemos concluir nada com este teste. Mas, A. ( ) n ( ) n. n n Série divergente (a sucessão S n das somas parciais é igual a n e portanto é divergente). B. ( ) n. n Série divergente (a sucessão S n das somas parciais alterna entre e conforme n é ímpar ou par e portanto é divergente). Conclusão: o intervalo de convergência da série é ], [.

7 ( ). (a) Considere a função f() t e(t +)/t dt, R +. Mostre que f f(), R +. Método. ( ) Seja g() f t e(t +)/t dt. Como a função integranda é contínua em R +, podemos afirmar g () e + ( ) +)/ e( Seja h() f(). Então h () f () e( +)/ Comparando as derivadas podemos observar que g () h (), R +. Mas se duas funções têm iguais derivadas num intervalo então elas diferem de uma constante, ou seja, g() h() + C. Contudo, podemos ainda observar que g() t e(t +)/t dt h() Conclusão: a constante C terá de ser nula e as funções g e h são eactamente iguais. Método. Efectuando a mudança de variável u t no o integral, vem du t dt e então dt u du. Os limites de integração na nova variável u passam a ser: t u ; t u Assim, f ( ) t e(t +)/t dt t et+ t dt ue u +u ( u ) du u e +u u t e +t t f(). cqd du dt 7

8 (b) Verifique, usando indução finita, que n i i i! i n! n Defina-se o conjunto S como sendo: { S n N : n i } i i! i n! n Verificar que a igualdade do enunciado é válida para qualquer n N é provar que S é N. i. S: i i i! i!!. Conclusão: S. ii. k S k + S: Hipótese de indução: k S Tese de indução: k i i i! i k! k k k! k k! k k+ S k+ i i i! i (k + )! k+ + 8 Objectivo: provar a última igualdade, usando a hipótese de indução. + + (k + ) (k + )! k+ (k + )! k+ k+ i i i! i k i i (k + ) i! i + (k + )! k+ Daqui resulta que k+ i (k + ) + k!k (k + )! k+ (por hipótese de indução) k! k + k + (k + ).k! k. i i! i (k + ). (k + )! k+ + k + (k + ).k! k. k + k (k + )! k+ (k + )! k+ Conclusão: pelo princípio de indução finita, S N., como queríamos provar. (k + )!k+ JCB JRC MMF RPSR VCP 8