de h(x) = f(x) no sistema de coordenadas dado abaixo. Indique as intersecções com os eixos x e y, bem como assíntotas. b) Idem para g(x) = f(2x).

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1 UFRGS Instituto de Matemática DMPA - Depto. de Matemática Pura e Aplicada MAT Cálculo e Geometria Analítica I A Gabarito da 1 a PROVA fila A de setembro de 005 Questão 1 (1,5 pontos). Seja f uma função cujo gráfico é dado abaio. a) Faça o esboço do gráfico de h() = f() no sistema de coordenadas dado abaio. Indique as intersecções com os eios e, bem como assíntotas. b) Idem para g() = f() Solução: a) h() = f() 10 0

2 b) g() = f() Questão (1,0 ponto). Seja f uma função cujo gráfico é dado abaio. 1 a) f é contínua em =? f é contínua em =? Justifique suas respostas. 10 b) Dê os intervalos onde f Solução: (a) f é contínua em =? Não, pois lim f() = +. Logo, o limite bilateral lim f() não eiste. f é contínua em =? Sim, pois lim f() = 0 = lim f(). Logo, lim + f() = 0 = f().

3 (b) f 0 em (, ) (, ). Note que f () não eiste em = (devido a descontinuidade) e em = (pois há um bico neste ponto) Questão 3 (,0 ponto). Seja f a função dada por f() = +. a) determine Dom(f) e as intersecções com os eios coordenados: b) determine os intervalos onde o gráfico de f é crescente e os intervalos onde é decrescente, bem como os seus etremos relativos (locais): c) Verifique a eistência de assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f; em caso afirmativo, escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s): Solução: a) Domínio: Observe que f é uma função racional e portanto, não está definida apenas onde o seu denominador se anula. Como o polinômio + nunca se anula em R, Dom(f) = R. Intersecção com o eio : f() = 0 + = 0 = = ou =. Logo, os pontos de intersecção com o eio são (, 0) e (, 0). Intersecção com o eio : f(0) = = =. Portanto, o ponto de intersecção com o eio é (0, ). b) A função derivada de f está definida para todo R e é dada por f () = ( + ) ( ) ( + ) = 1 ( + ). intervalos de crescimento/decrescimento: Segue do cálculo acima que f () > 0 > 0 e f () < 0 < 0, pois o denominador é sempre positivo para qualquer R. Logo, como f é contínua em R, f é decrescente em (, 0] e f é crescente em [0, ) etremos relativos: f () = 0 = 0. Como f () eiste para qualquer R, o único ponto crítico de f ocorre para = 0. Assim, f possui apenas um etremo relativo. Como f () < 0

4 em (, 0) e f () > 0 em (0, ), segue do teste da primeira derivada que f tem um mínimo relativo em (0, ). c) assíntotas verticais: O gráfico de f não possui assíntotas verticais, pois lim a f() = f(a) ( ± ), uma vez que f é contínua em todo número ral a. assíntotas horizontais: lim f() = lim + = lim = lim 1 = 1. Analogamente, reta de equação = 1. lim f() = 1. Conseqüentemente, a única assíntota horizontal do gráfico de f é a + Questão (,5 pontos). a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f() = + 7 em = 1. b) Determine os valores de a, b e c de modo que a função f() = a + b + c possua uma reta tangente horizontal em = 1 e uma reta tangente dada por = em =. Solução: a) Primeiro calculamos a função f em = 1 : f(1) = = 9 = 3. Então, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, 3) tem a forma 3 = f (1) ( 1). Logo, resta calcular f (1). Pela regra da cadeia, temos f () = 1 ( + 7). + 7 Assim, f (1) = ( 1 + 7) = 11.

5 Substituindo na equação da reta acima obtemos: 3 = 11 ( 1) = 11 11, ou seja, = = Resposta final: = b) Como a reta tangente ao gráfico de f em = 1 é horizontal, temos que f (1) = 0. Como a reta = é a reta tangente ao gráfico de f em =, temos que f () = 3. Por outro lado, f () = a + b, e portanto, 0 = f (1) = a + b, ou seja, a = b e 3 = f () = a + b. Logo, 3 = a + a = 3a, ou seja, a = b =. Para calcular o valor de c, observamos que, em =, o valor de f e da reta tangente são iguais. Assim, = 11 = f() = + + c = + + c = 10 + c. Portanto, c = 1. Resposta final: a = b = e c = 1 Questão 5 (,0 pontos). Considere a cônica dada pela seguinte equação 3 + = 0. Determine: a) o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da cônica acima no ponto (, 0) b) a sua equação canônica, indique seus vértices, focos, centro e faça um esboço de seu gráfico.

6 Solução: a) Derivando a equação da cônica implicitamente, obtemos: d ( 3 + ) = 0 d d + d d d = 0 ou seja, ( ) d d = d d = Conseqüentemente, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da cônica acima no ponto (, 0) é dado por: d d =,=0 = 0 = = 1 b) Equação Canônica: Completando quadrados na equação 3 + = 0, obtemos: 3 ( ) = 0 3 ( ) = 3 3 ( 3 ) = 1 Assim, a equação reduzida da cônica é ( ) 3 3 = 1, e portanto a cônica é uma hipérbole com eio focal paralelo ao eio (eio focal horizontal). Centro: Da equação reduzida, obtemos que o centro da cônica é C = (0, 3) Vértices e Focos: Da equação reduzida, segue que a = e b = 3. Logo, a = e b = 3. Portanto, c = 7. Então, os vértices são V 1 = (, 3) e V = (, 3) e os focos são F 1 = ( 7, 3) e F = ( 7, 3).

7 Esboço do gráfico da hipérbole: F1 V V F Questão (1,0 pontos). Areia cai de uma calha de escoamento formando um cone cuja altura é sempre igual ao diâmetro da base. Se a altura cresce a uma taa constante de 5 pés/min, com que taa a areia estará escoando quando a pilha for de 10 pés de altura? Solução: Dados do problema: t: tempo (min) h: altura do cone (pés) pés r: raio da base do cone (pés) V : volume do cone (pés 3 ) h, r, V : funções de t h = r dh dt = 5 pés/min

8 Precisamos calcular dv dt. Escrevendo o volume em função da altura encontramos: h=10 V = πr h 3 = πh 3 ( ) h = πh3 1. Derivando o volume em relação a t: Dessa forma: dv dt = π 1 3h dh dt = 5πh dv dt = 5π h=10 10 = 15π pés 3 /min.