MAT 141 (Turma 1) Cálculo Diferencial e Integral I 2017/II 1 a Lista de Derivadas (26/09/2017)

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática MAT 4 (Turma ) Cálculo Diferencial e Integral I 207/II a Lista de Derivadas (26/09/207) ) Calcule f (p), usando definição de derivada. a) f() = 2 + e p =. c) f() = 23 2 e p =. b) f() = 2 e p = 2. d) f() = 3 e p = 2. 2) Verifique se f é derivável em =. Em caso afirmativo calcule f (). 2 +, se < a) f() = + 4, se +, se < 2 3) Seja f() = 2 + 2, se 2 b) f() = 4) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f(p)) , se < 2 +, se. A função f é contínua em = 2? É derivável em = 2? Justifique. a) f() = 2 e p = 2 b) f() = e p = 9 c) f() = 2 e p = 5) Calcule d d. a) = c) = an + 2n + k b) 2 = d) b2 +a 2 4 = 6) Dê eemplo de uma função real f tal que f () = 0. O que este valor significa? 7) Encontre os pontos onde a reta tangente ao gráfico de f definida por f() = é paralela ao eio. 8) Ache as condições sobre b, c e d para que o gráfico do polinômio p() = 3 + b 2 + c + d tenha: a) eatamente duas tangentes horizontais. b) eatamente uma tangente horizontal. c) não tenha tangente horizontal. 9) A reta normal ao gráfico de uma função f num ponto do gráfico é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função nesse ponto. Determine a reta normal ao gráfico de f() = em (, f()). 0) Determine a função derivada de f. a) f() = cos() + sen() b) f() = 3 2 c) f() = 2 ln() + ln() d) f() = tg() + cotg () e) f() = cos(40)

2 f) f() = 4sec () 2cossec () g) f() = 2 sen() + 2 cos() h) f() = sen() tg() i) f() = sen() cos()sec () j) f() = + 2 cos() k) f() = tg() cos() 4 l) f() = sen() cos() + ) Sejam f, g e h funções deriváveis. Determine [f()g()h()] e [ ] f()g(). h() 2) Determine a derivada de f() = log 2() log 4 (). Dica: Para > 0, log a = ln(), com a > 0 e a. ln(a) 3) Esboce o gráfico de f, f e f. a) f() = 2 b) f() = 2 + 2, se, se < 4) Encontre os valores de tais que f () = 0. a) f() = b) f() = e c) f() = 2 ( ) 2 5) Dada a função f() = ( ) 3, determine a) tal que f () = 0. b) intervalo em que f () > 0 6) Cada figura é o gráfico de uma função f. Esboce o gráfico de f e determine onde f não é derivável. a) 2 2 b) 2 2 7) Dê eemplo (por meio de um gráfico) de uma função real f tal que f () > 0, para todo R. O que esse resultado parece indicar a respeito da função f? 8) Dada a função f() = ( )3 3 2 determine: a) Os valores de para os quais f () = 0. b) Os valores de para os quais f () = 0. c) As assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f, se eistirem. d) Os intervalos em que f () > 0 e os intervalos em que f () < 0. e) Os intervalos em que f () > 0 e os intervalos em que f () < 0. 9) Mostre que a função = e satisfaz à equação = ( ).

3 20) Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo onde bactérias estavam crescendo, a população de bactérias continuou a crescer por um tempo, mas depois começou a diminuir. O tamanho da população no instante t (em horas) foi dada por p(t) = t 0 3 t 2. Determine as taas de crescimento para t = 5 h e t = 0 h. 23) Depois de aberta a válvula inferior de um tanque de armazenamento é necessário esperar 2h para esvaziálo. A profundidade (em metros) do líquido no tanque, t horas depois que a válvula foi aberta, é dada por = 6 ( t 2) 2 metros. a) Encontre a taa d dt (m/h) de esvaziamento do tanque no instante t. b) Quando a altura do líquido no tanque diminuirá mais rapidamente? E mais lentamente? Quais os valores de d dt nesses instantes? 24) Seja f tal que f() = 2. Mostre que f não é derivável nos pontos, = e =. Para tanto, analise analiticamente (via definição de derivada) e, depois, geometricamente (eibindo o esboço gráfico de f e localizando as quinas no gráfico). 25) Considere o gráfico da função real f. a) Em quais pontos f não é derivável? b) Em quais pontos f tem derivada nula? c) Em quais intervalos f tem derivada negativa e/ou positiva? Por que? 26) Associe o gráfico de cada função (a) (d) com o gráfico de sua derivada em () (4). 27) Se a reta tangente ao gráfico da função f no ponto (4, 3) passa pelo ponto (0, 2), calcule f(4) e f (4). 28) Determine as constantes a e b tais que: f() = 2 + a + b, f() = 4 e f (2) = 5. 29) Mostre que a função f() = não possui uma reta tangente com inclinação igual a 4. 30) Encontre os pontos do gráfico da função f definida por f() = em que a reta tangente é horizontal.

4 3) Calcule a área do triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B, indicado na figura. Sabe-se que a reta r é normal à curva f() = 2 no ponto C, cuja abscissa é. 32) A partir dos gráficos das funções reais f e g, eibidos abaio, esboce o gráfico de f e de g. 33) Os gráficos das funções f e g são dados abaio. Se p() = f().g() e q() = f()/g(), calcule p () e q (5). 34) Determine a função derivada de f definida por: a) ( ) 4 b) ( ) e c) ( 2 + 4) 2 d) sec (6) e) cotg (0) f) cos(3 2 + ) g) h) i) 3 2 j) e k) ln( 2 + 2) l) e sen() m) tg(ln()) n) ln(tg()) 35) Determine d d. a) + = b) 2 2 = c) = 4 2 d) = 5 36) Determine uma equação da reta tangente à curva = 32 no ponto (, 2). 37) Determine f n (), em que: a) f() = , n = 3. ( ) 2 b) f() =, n = 2. c) f() = cos(), n = 3. d) f() = sen(2), n = 50.

5 38) Seja = 3 + d. Calcule d. = 39) Seja f : R R derivável e seja g(t) = f(t 2 + ). Supondo f (2) = 5, calcule g (). 40) Calcule as derivadas das seguintes funções a) = arcsen b) = ( + arccos 3) 3 c) = ln(arctg 2 ) d) = 3arcsen 3 e) (tg ) arctg 4) Assuma em função de e determine por derivação implícita. a) = sen b) e cos = e c) 2 + arcsen = e 42) Verifique que = + 2 é uma solução da equação diferencial 2 ( 2 + ) + ( 2 ) = 0. 43) Resolva os seguintes problemas de taas relacionadas: a) Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4 m do solo? b) Dois carros, um dirigindo-se para o leste à taa de 72 km/h e o outro para o sul à taa de 54 km/h estão viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. A que taa os carros se aproimam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a 400 m e o segundo estiver a 300 m do cruzamento? c) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,0 cm/min. Determine a taa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm. d) Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de m/min. Determine a taa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20 m. e) Uma luz está no alto de um poste de 5 m. Um menino de,6 m se afasta do poste à razão,2 m/s. A que taa aumenta o comprimento de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taa se move a ponta de sua sombra? f) A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta à razão de 5 cm/min, determine a velocidade com que a areia está escoando quando a altura da pilha é 25 cm. g) Suponha que uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taa de 8 dm 3 /min. Determine a taa a qual o raio é aumentado quando a bola de neve tem 4 dm de diâmetro.

6 h) As etremidades de um cocho horizontal de 8 m de comprimento são trapézios isósceles de bases de 2 m e m. A altura do cocho é de 0,6 m. Se o nível da água está subindo à razão de 0, cm/min, quando a profundidade da água é de 0,3 m com que velocidade a água está entrando no cocho? i) Às 8 h o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste a uma velocidade de 6 km/h e o navio B está navegando para o sul a 20 km/h, determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min. j) Um farol giratório completa uma volta a cada 5 segundos. O farol está a 60 m de P, o ponto mais próimo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 50 m de P. 44) Determine a função derivada de f definida por: a) ( ) 3 ( 2 ) 2 b) ( ) 4 c) ( 2 + 2) 5 d) cos(e + ) e) 3 ( + 4 ) 2 f) 2 + g) ( 2 + ) h) sen (sen (sen ))) i) 22 cos(3) sen (5) sen (2) j) ln 2 k) 2sen ( 2 ) cos( + ) l) m) n) e ( 3 5) o) e cos [ 2 ] sen p) ln + q) tg 2 (3) 45) Sejam f e g duas funções diferenciáveis. Se F () = f(g()), g(3) = 6, g (3) = 4, f (3) = 2 e f (6) = 7, calcule F (3). 46) Seja g uma função duas vezes derivável e f dada por f() = g( + 2 cos(3)). Sabendo que g (2) = e que g (2) = 8, determine f () e f (0). 47) Calcule as derivadas das funções hiperbólicas. 48) Determine f (3) sabendo-se que f(5 + 2) + f(2 2 + ) = ) Mostre que as retas tangentes às curvas C : = 0 e C2 : = 0 na origem, são perpendiculares. 50) Considere a elipse 2 a b 2 = e desenhe a reta tangente num ponto arbitrário qualquer ( p, p ) dessa curva. Derivando implicitamente, mostre que a tangente, em qualquer ponto arbitrário ( p, p ) da elipse, tem equação p a 2 + p b 2 =. 5) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f. a) f() = b) f() = +

7 ) a) 3 b) 4 Gabarito f( + h) f() 2) a) A função f não é derivável em =, pois lim h 0 + h b) A função f é derivável em = p. c) 4 d) f( + h) f() = e lim = 2. h 0 h 3) A função f não é contínua em = 2, pois não eiste o limite de f() quando tende a 2. Portanto, f não é derivável em = 2. 4) a) = 4 4 b) = 0 c) = 5) a) d d = b) d d = c) d d = ann + 2(n ) n 2 + k d) d d = (b2 + a 2 ) b2 +a 2 4 6) Considere a função f definida por f() = 2 2. A tangente ao gráfico de f que passa por (, f()) é horizontal. 2 7) 8) a) b 2 > 3c, d R b) b 2 = 3c, d R c) b 2 < 3c, d R 9) = ) a) sen () + cos() b) ln() c) (ln()) 2 + ln() 2 d) sec 2 () cossec 2 () e) cos(40) f) 4sec ()tg () + 2cossec ()cotg () g) 2sen () + 2 cos() + 2 cos() 2sen () h) sen () + sen ()sec 2 () i) cos() j) 2 cos() + 2( + )sen () 4sen 2 () k) sec 2 ()(cos() 4) + tg ()sen () (cos() 4) 2 l) + cos() sen () (cos() + ) 2 ) [f()g()h()] = f ()g()h() + f()g ()h() + f()g()h () [f()g()] f ()g()h() + f()g ()h() f()g()h () = h() (h() 2 ) 2) 0 3) a) f() = 3, se 0 3, se < 0, f () = 3 2, se 0 3 2, se < 0 e f () = 6, se 0 6, se < 0

8 = f() = f () = f () 2 + 2, se b) f() =, se <, f () = = f() 2 + 2, se >, se < = f () e f 2, se > () = 0, se < = f () 4) a) 3/2 b) não eiste c) 0 5) a) = b) f () > 0 para 6) a) f não é derivável em = e em =. b) f não é derivável em = e em =. 7) A função é crescente. 8) a) = e = /2 b) c) Assíntota vertical em = 2/3. Não tem assíntota horizontal. d) f () > 0 em (, /2) e f () < 0 em (/2, 2/3), (2/3, ) e em (, + ). e) f () > 0 em (2/3, ) e f () < 0 em (, 2/3) e em (, + ). 20) t = 5, dp = 0 (parou o crescimento) dt t = 0, dp = 000 bactérias/h (velocidade decrescente da população de bactérias). dt 23) a) d dt = t 2

9 b) d d (0) = m/h (mais rapidamente) (2) = 0m/h (mais lentamente) dt dt 24) f ( ) = 2 e f +( ) = 2. Portanto, não eiste f ( ). f () = 2 e f +() = 2. Portanto, não eiste f (). 25) a) Em 0 = e em 0 = 8 pois o gráfico de f tem uma quina nestes pontos. Em 0 = 4 pois f é descontínua neste ponto. E, em 0 = pois a reta tangente ao gráfico de f é vertical neste ponto, ou seja, o limite da definição de derivada é infinito. b) Em 0 = 9 e em 0 = 0 pois, nestes pontos, a reta tangente é paralela ao eio. c) f () < 0 nos intervalos (, ), (8, 9) e (0, + ), pois nestes intervalos a função é decrescente. f () > 0 nos intervalos (, 4), (4, 8) e (9, 0) pois nestes intervalos a função é crescente. 26) (a)-(2); (b)-(4); (c)-(); (d)-(3). 27) f(4) = 3 e f (4) = /4 28) a = e b = 6 29) Mostre que a equação f (p) = 3p = 4 não tem solução em R. 30) Resolva a equação f () = 0. Os pontos são ( /3, 32/27) e (, 0). 3) Determine a equação da reta normal para obter o ponto A( 3/2, 5/4) (interseção entre a reta e a função). O ponto B( 3/2, 0) tem abscissa igual a do ponto A. Com isso, a área é igual a 25/6u.a. 33) p () = 0 e q (5) = 2/3. 34) a) 4( ) 3 (2 + 4) b) e( ) e ( ) c) 2( 2 + 4) 3 (2) d) 6sec (6)tg (6) e) 0cossec (0) f) 6sen (3 2 + ) g) i) 2 3 (2) 2 3 j) 2 2 e k) l) cos()esen () m) sec 2 (ln()) h) 4( ) 2 n) cos()sen () 35) a) d d = 2 2 b) d d = ( 2 ) ( 2 ) c) d d = d) d d = 3( ) ( ) 36) = ) a) f () = 48 b) f () = 6 4 c) f () = sen () d) f (50) () = 2 50 sen(2)

10 38) d d = = ) g () = 0 40) a) b) 2 9( + arccos 3)3 9 2 c) 4) a) 2 ( + 4 )arctg 2 d) 3 ln 3 2 3arcsen 3 6 ( e) (tg ) arctg cotg sec arctg + b) c) sen cos e cos e e sen + e 2 (e arcsen 2) e 2 43) a) 3 5 m/s 0 b) Os carros se aproimam a uma taa de 90 Km/h ( dz d = 90). c) 0, 5π cm 2 /min d) 40π m 2 /min ) ln(tg ) + 2 e) velocidade do comprimento da sombra: 0, 564m/s velocidade da ponta da sombra:, 764 m/s f) 9375π cm 3 /min g) 0.5π dm/min h) 0, 84 dm/min i) Os barcos se aproimam a uma taa de 72 km/h (dz 7 dt = 72 7 ) j) 3480π m/min 44) a) ( ) 2 ( 2 )( ) b) ( ) 3 c) 2( )3 ( ) 2 + 2) 6 d) 2sen( 2 + ) e) f) ( + 2 ) 3 g) 2 3 ( ) h) cos[sen (sen ())] cos[sen()] cos() i) 22 ln(4) cos(3) sen (3)sen (5) cos(3) cos(5) sen 2 (5) j) 2 cos(2) ln(2 ) 2sen (2) 2sen (2) ln 2 ( 2 )

11 k) 4 cos( 2 ) cos( + ) 2sen ( 2 )sen ( + ) l) m) ( + ) 2 n) e [ ] o) e cos [cos sen ()] p) 2 + cotg q) 6tg (3)sec 2 (3) 45) F (3) = 28 46) f () = g ( + 2 cos(3))( 6sen (3)) 2 8 cos(3)g ( + 2cos(3)) e f (0) = 0. 47) [senh ()] = cosh() [cosh()] = senh () [tgh ()] = sech 2 () [coth()] = cosech 2 () [sech()] = sech().tgh () [cosech()] = cosech() coth() 48) 2 5) a) estritamente crescente em ], ] e [ 3, + [ estritamente decrescente em [, 3 ] b) estritamente crescente em ], ] e [, + [ estritamente decrescente [, 0[ e ]0, ].