INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-453 Cálculo Diferencial e Integral I (Escola Politécnica) Primeira Lista de Eercícios - Professor: Equipe de Professores.. Calcule, quando eistirem, os limites abaio: a. lim d. lim / 4 g. lim sin 0 sin 30 j. lim 3 cos sin(3 5 + ) m. lim p. lim s. lim v. lim. LIMITES DE FUNÇÕES b. lim 3 e. lim h. lim sin(sin ) k. lim π cos π sin n. lim sin w. lim sin y. lim β. lim ɛ. lim c. lim f. lim + q. lim 3 3 r. lim + t. lim u. lim + z. lim cos ( ) sin + cos 4 sin ( ) γ. lim ζ. lim i. lim tan(3) cossec(6) l. lim 3 3 sin 3 ( () sin ) o. lim. lim sin ( ) δ. lim sin( 3 ) cos ( ) + 4 ( ) sin( 4) α. lim cos + sin ( η. lim +.. A resolução abaio está incorreta. Indique onde ocorrem os erros e então calcule o limite corretamente. ( lim + = lim + ) = lim + }} 0 }} 0 = lim 0 = 0.3. Sejam c, L 3 + c + c R tais que lim = L. Determine c e L. )

2 .4. Seja f : R R uma função. f () f () a. Supondo que lim =, calcule lim. f () b. Supondo que lim = 0, calcule lim f (). c. Supondo que lim f () + = +, calcule lim f ()..5. Decida se cada uma das afirmações abaio é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. a. Se f, g : R R sao funções tais que f é limitada e positiva e lim g() = +, então tem-se que lim f ()g() = +. b. Se f, g : R R sao funções tais que f é limitada e lim g() = +, então tem-se que lim f () + g() = +. c. Se f, g : R R sao funções tais que lim f () g().6. Dê eemplos de funções f e g tais que f () a. lim f () = +, lim g() = + e lim g() = 0; b. lim f () = +, lim g() = + e lim f () g() = ; f () c. lim f () g() = 0 e lim = ; g() f () d. lim g() = e lim f () g() = 0. f ().7. Mostre que se lim = e g é limitada então lim f () g() = 0. a g() a = +, então lim f () g() = +. f (.8. Seja f : R R uma função tal que f () para todo 3 ) R. Calcule lim..9. Seja f : R R uma função tal que ( f () + ) sec + 6 3, para todo no intervalo ] π, π [. Calcule lim f () e lim f () cos Sejam f, g : R R tais que sin f () 3 e 0 g() + sin(), para todo R. Calcule lim f ()g() + cos... Sejam C o círculo de raio e centro em (, 0) e C r o círculo de raio r, 0 < r <, e centro em (0, 0). Sejam ainda P r o ponto (0, r) e Q r o ponto de interseção dos círculos C e C r situado no primeiro quadrante. Se L r é a interseção da reta P r Q r com o eio O, o que acontecerá com L r, quando C r encolher arbitrariamente?. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES.. Determine, se eistir, o valor de L R para que cada uma das funções abaio sejam contínuas. sin( + ) sin( + ), se = 0, a. f () = L, se = b. f () =, se = 0 L, se = 0. MAT 453 (09) de 0

3 .. Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaio. sin( 4) + 5, se > a. f () = , se = 3, se < b. f () = 3, se = 3. 5, =. c. f () = + ( ) 0, se é irracional e 0 < <, sin(π) d. f () = q, se = p q, com mdc(p, q) =. Obs.: é o maior inteiro menor ou igual a..3. Decida se a afirmacão é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-eemplo. a. Se f : R R é tal que f é contínua em = 0, então f é contínua em = 0. b. Se f e g são funções descontínuas em = 0, então a função f g é descontínua em = Construa uma função f : R R que é contínua em um único ponto..5. Construa uma função f : R R que é contínua somente em dois pontos. 3. DERIVADAS f (), se a, 3.. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, a I e h() = g(), se < a. Mostre que h é derivável em a se e somente se f (a) = g(a) e f (a) = g (a). Construa contraeemplos removendo uma das condições de cada vez. 3.. Verifique se cada uma das funções abaio é contínua e se é derivável no ponto 0 indicado. a. f () = c. f () = ( + ) cos ( ), se = 0, 0 = 0; b. f () = 0, se = 0 sin ( ), se = 0, 0 = 0; d. f () = 0, se = Construa uma função f : R R derivável num único ponto. sin ( ), se = 0 0, se = 0 sin, se = 0, se = 0, 0 = 0., 0 = 0; tan(3 + ) tan Calcule lim Calcule f g() sin ( ) (0), sendo f () =, se = 0 0, se = 0 e g(0) = g (0) = Eplicite as derivadas de a. f () = tan ; b. f () = cot ; c. f () = sec ; d. f () = cosec Seja f : R R tal que f () 3 +, para todo R. Mostre que f é derivável em 0 = 0. f () f (a) 3.8. Sabendo-se que f : R R é derivável em a ]0, + [, calcule lim a a de f (a). em termos 3.9. Considere a função f () =. Decida se f é derivável em 0 = 0 e calcule f (0) em caso afirmativo. MAT 453 (09) 3 de 0

4 3.0. Derive: a. f () = b. f () = ( 3 + ) 05 c. f () = sin ( 3 5 ) 3 d. f () = cos ( 4 + tan () + ) e. f () = sec(tan ) f. f () = (sin )(cos ) g. f () = ( + a)5 5 b 5 h. f () = sen ( sen ) 3.. Decida em que pontos as funções a seguir são deriváveis. a. f () = ; b. f () = 4 +. i. f () = cot(3 + 5). 3.. Sejam f : R R derivável em 0 = 0 tal que f (0) = f (0) = 0 e g : R R uma função limitada (não necessariamente derivável em 0 = 0). A função h() = f ()g() é derivável em 0 = 0? Eiba h (0) em caso afirmativo Responda, justificando: a. Se f + g é derivável em 0, é verdade que necessariamente que f e g também são deriváveis em 0? b. Se f g é derivável em 0, quais condições sobre f garantem a derivabilidade de g em 0? 3.4. Decida, justificando ou apresentando contra-eemplo, se cada uma das setenças abaio é verdadeira ou falsa: a. Se f é derivável em 0 então f () é derivável em 0, desde que f ( 0 ) = 0. Dê contraeemplo no caso em que f ( 0 ) = 0. b. Se f, g são duas funções deriváveis em 0 então as funções h () = ma f (), g()} e h () = min f (), g()} são deriváveis em 0. c. Suponha que f () = g(), onde g é uma função contínua em 0 = 0. Então f é derivável em 0 = 0. d. É possível escrever = f ()g() com f, g deriváveis tais que f (0) = g(0) = Determine todos os pontos ( 0, y 0 ) sobre a curva y = tais que a tangente à curva em ( 0, y 0 ) seja paralela à reta 6 y + 5 = Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a, (a = 0) tem como interseção um ponto que esta numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas Seja y = f () uma função dada implicitamente pela equação = y 3 ( y). Admitindo que f é derivável, determine a reta tangente ao grafico de f no ponto (, ) Seja f : I R derivável, onde I é um intervalo aberto contendo =. Suponha que f 3 () f () + f () =, para todo I. Encontre f ( ) e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, f ( ) ). 4. TAXAS RELACIONADAS 4.. Um objeto circular tem seu raio variando de maneira desconhecida, mas sabe-se que quando seu raio é 6m, a taa de variação deste é 4m/s. Determine a taa de variação da área do objeto no instante em que seu raio é 6m. 4.. Suponha agora que o objeto circular do eercício é, na verdade, um equador de um objeto esférico. Determine a taa de variação do volume do objeto e de sua área, quando o raio é 6m. Dica. Você pode epressar o volume em termos do raio da esfera, ou então a partir da área. MAT 453 (09) 4 de 0

5 4.3. A área entre dois círculos concêntricos variáveis é constante igual a 9πm. A taa de variação da área do círculo maior é de 0πm /s. Qual a taa de variação do raio em relação ao tempo do círculo menor quando ele tem área 6π? 4.4. A partícula A se move ao longo do semi-eio positivo O e a partícula B move-se ao longo do gráfico da função f () = 3, 0. Num certo instante, a partícula A está no ponto (5, 0) e afasta-se da origem com velocidade 3 unidades por segundo e a distância de B até a origem é 3 unidades, afastando-se da origem com velocidade 4 unidades por segundo. Qual a taa de variação da distância entre A e B nesse instante? 4.5. Num certo instante t 0, a altura de um triangulo cresce à razão cm/min e sua área aumenta à razão de cm /min. No instante t 0, sabendo que sua altura á 0cm e sua área é 00cm, qual a taa de variação em relação ao tempo da base do triângulo? 4.6. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte é de.m, a taa de variação com que a areia é despejada é de 0, 08m 3 /min. Qual a taa de variação da altura do monte neste instante? 4.7. Uma lâmpada está acesa no solo a 5m de um edifício. Um homem de.8m de altura anda a partir da luz em direcão ao edifício a.m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele esta a m do edifício e quando ele está a 9m do edifício Num motor à combustão, uma biela de 7cm tem uma de suas etremidades acoplada a uma manivela cujo raio é de 3cm. Na outra etremidade da biela está um pistão que se move quando a manivela gira (vide ). Sabendo que a manivela gira no sentido anti-horário a uma taa constante de 00 rotacões por minuto, calcule a velocidade do pistão quando o ângulo de rotação do disco é π/3 (medido a partir da posição em que o pistão está mais afastado do disco). 3 θ(t) 7 (t) FIGURA. Pistão para a questão Uma escada de bombeiro com 5m está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7m da parede e sua velocidade é de m/s. a. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante? b. Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7m da parede. c. Calcule a taa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7m da parede Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro deitado de diâmetro m e comprimento 3m. A figura representa uma seçãoo transversal do tanque no instante t. O ângulo θ varia de zero (tanque vazio) a π (tanque cheio). No instante em que a altura h do líquido é de 0.5m, a vazão é de 0.9m 3 /min. Determine a taa de variação do ângulo θ nesse instante. Determine também a taa de variação da altura h do neste mesmo instante. MAT 453 (09) 5 de 0

6 θ(t) h(t) FIGURA. Tanque para a questão Num filtro com formato de cone, como na figura 3, um líquido escoa da parte superior para a parte inferior passando por um orifício de dimensões desprezíveis. Num certo instante, a altura H do líquido depositado na parte inferior é 8cm, a altura h do líquido da parte superior é 0cm e h está diminuindo a uma taa de variação instantânea de cm/min. Calcule a taa de variacão de H em relação ao tempo nesse instante. 0cm 30cm r h H 30cm R 0cm FIGURA 3. Filtro para a questão 5. DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS 5.. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa, f, também seja derivável. Mostre que ( f ) () = f ( f () ). 5.. Calcule a derivada das seguintes funções: a. f () = arctan(); b. f () = arcsin(); c. f () = arccos() Derive: a. f () = cos ( arctan() ) ; b. f () = tan(3) arctan(3) ; c. f () = arcsin(). 6. MISCELÂNEA DE TESTES 6.. Considere a afirmação Sejam f, g funções tais que lim f () = + e g é limitada. Então lim f ()g() = +.. É correto dizer que a. tal afirmação é verdadeira; b. tal afirmação é verdadeira se supomos que lim g() = 0; c. tal afirmação é verdadeira se supomos que eista algum r > 0 tal que g() > r para todo R; d. tal afirmação é verdadeira supondo que eista algum r > 0 tal que g() > r para todo R; e. tal afirmação é falsa para toda g limitada. MAT 453 (09) 6 de 0

7 6.. Seja f uma função real tal que f () sin() para todo R. Então a. f pode ser descontínua em = 0; b. f é contínua em = 0, mas pode não ser derivável em = 0; c. f é derivável em = 0 e f (0) = 0; d. f é derivável em = 0 e f (0) = ; e. f é derivável em = 0 mas podemos apenas afirmar que f (0) Qual das equações abaio é a da reta tangente ao gráfico de f () = cos() tan() em = 0? a. y=; b. y=+; c. y=-; d. y=+; e. y= Seja f : R R a função dada por f () =, se Q, 3, se R \ Q Sendo D o conjunto descontinuidades de f então D é a. ; b. Q; c. R \ Q; d. R \ 0}; e. R. f () 6.5. Dizemos que duas funções reais f e g são equivalentes se lim =. Indicamos isso g() escrevendo f g. Qual das afirmações abaio NÃO é consequência de f g? a. sin( f ) sin(g); b. f g ; c. f g; d. f + g g; e. g f Seja ABC um trângulo tal que AB =, AC =, BC = y e BÂC = 0 o. Quanto vale lim y? a. 0; b. não eiste; c. ; d. ; e.. sin ( ) 6.7. Seja f : R R a função dada por f () =, se = 0 0, se = 0. o gráfico de f tem reta tangente horizontal? a. Nenhum; b. ; c. ; d. 3; e. Infintos. Para quantos valores de 6.8. (P-06) Seja f uma função derivável definida em um intervalo aberto centrado em = 0 e dada implicitamente pela equação O valor de f (0) é y 3 + y + y = sin() +. a. 4 ; b. ; c. 3 ; d ; e (P-06) Para que a função f () = + 3, se < ; + k, se. seja contínua em R o valor da constante k deve ser: a. 7; b. ; c. 3; d. ; e. 5. MAT 453 (09) 7 de 0

8 6.0. (P-06) Dentre todas as retas tangentes ao gráfico de f () = +, a única que passa pelo ponto (, 0) é a. = + 4y; b. = y; c. = + y; d. = + 3y; e. = + 5y. 6.. (P-06) Um ponto desloca-se sobre o gráfico da curva y =. No instante em que ele se encontra no ponto (, ), a taa de variação de sua abscissa é 0m/s. A taa de variação da distância do ponto até a origem neste mesmo instante é a. 4 ; b ; c ; d. 7 ; e (P-06) Considere as seguintes afirmações: I. Se g é limitada e lim f () = + então lim g() f () = +. II. Se f : R R é um função tal que f () f (y) y então f é derivável. III. Se g : R R é descontínua em 0 e limitada então f () = g() sin() é derivável em 0 = 0. São corretas a. nenhuma das afirmações; b. todas as afirmações; c. somente as afirmações (I) e (II); d. somente as afirmações (I) e (III); e. somente as afirmações (II) e (III). cos(3) sin 6.3. (P-06) Os limites lim e lim + a. valem 9 e +, respectivamente; b. valem 9 e, respectivamente; c. valem 9 e +, respectivamente; d. valem 9 e, respectivamente; e. não eistem. 3 sin( ), se 6.4. (P-06) Considere a função f () = = 0. Em 0 = 0 pode-se afirmar 0, se = 0 que f é a. descontínua; b. derivável e f (0) = ; c. contínua mas não derivável; d. derivável e f (0) = 0; e. derivável e f (0) = (Eame de Transferência - Fuvest - 06) Seja f : R R tal que f () =, f () = e eiste k R de modo que para todos a > 0 e b > a temos Então f (3) é igual a: f (a + b) f (a) = a. /6; b. /3; c. /; d. /3; e. 5/6. kb a + ab (Eame de Transferência - Fuvest - 04) Sejam f, g : R R tais que: (i) f é contínua em = 0 e (ii) g é descontínua em = 0. Pode-se concluir corretamente que é descontínua em = 0 a função: a. f + g; b. f g; c. f g; d. g f ; e. g. MAT 453 (09) 8 de 0

9 6.7. (Eame de Transferência - Fuvest - 03) Considere todas as retas que são simultaneamente tangentes às parábolas y = + e y =. Então o produto dos coeficientes angulares dessas retas é: a. /4; b. ; c. 9/4; d. 4; e. 5/ (Eame de Transferência - Fuvest - 0) Sejam f, g : R R cujos gráficos são Sejam p, q : R R dadas por p() = f (g()) e q() = f ()g(). O valor p () + q (0) é: a. ; b. 6; c. ; d. 4; e (Eame de Transferência - Fuvest - 06) Sejam f, g : R R cujos gráficos são Então pode-se dizer que f g a. não é derivável somente em = ; b. não é derivável somente em = ; c. não é derivável somente em = e = ; d. é derivável em todos os pontos e ( f g) () = ; e. é derivável em todos os pontos e ( f g) () = 4; 6.0. Considere a seguinte função f : R R dada por f () = Podemos afirmar que:, se 0 e, se > 0 a. f (0); b. f (0) = ; c. f (0) = 9; d. f (0) = 4; e. f (0) =. MAT 453 (09) 9 de 0

10 RESPOSTAS.. a. 3 4 ; b. 5 ; c. 6 ; d. 0; e. 3 ; f. ; g ; h. ; i. ; j. 6 ; k. ; l. ; m. 3 ; n. ; o. 0; p. ; q. ; r. 0; s. ; t. ; u. 0; v. 3 ; w. ;. ; y. ; z. 3; α. 3 ; β. 3; γ. 0; δ. 4 7 ; ɛ. ; ζ. ; η c = e L = a. ; b. 0; c a. Falsa; b. Verdadeira; c. Falsa e (4, 0)... a. cos(); b.... a. R; b. R \ 3}; c. R; d a. Falsa; b. Falsa. 3.. Contínuas em 0 : todas; Deriváveis em 0 : c. d sec a f (a). 3.. a. Todos; b. todos, eceto 0 = Sim, h (0) = a. V; b. F; c. V; d. F (, 3) : y = 6 + 3; (0, 7) : y = 6 + 7; (, 9) : y = f ( ) = e r : y = 7 ( + ) πm /s. 4.. A (t 0 ) = 9πm /s e V (t 0 ) = 576πm 3 /s m/s cm/min π m/min m/s e 0.9m/s. 9600π a. ; b. 4 ; c rad/min; 3 0 m/min cm/min. Testes: 6.. d.; 6.. b.; c.; d.; a.; c.; e.; a.; e.; c.; 6.. c.; 6.. e.; b.; d.; d.; a.; b.; b.; e.; b. MAT 453 (09) 0 de 0