DERIVADA. A Reta Tangente

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1 DERIVADA A Reta Tangente Seja f uma função definida numa vizinança de a. Para definir a reta tangente de uma curva = f() num ponto P(a, f(a)), consideramos um ponto vizino Q(,), em que a e traçamos a S, que é a reta secante que passa pelos pontos P(a, f(a)), e Q(,). Considerando o triangulo retângulo PMQ, temos que a inclinação da reta S (ou coeficiente angular de S) é: f ( ) f ( a) m PQ a Fazendo tender a a, o ponto Q se aproima de P ao longo da curva = f(). Se mpq tender a um número m (valor limite), definimos a tangente t como sendo a reta que passa por P e tem inclinação m. Definição: A reta tangente a uma curva = f() em um ponto P(a, f(a)), é a reta por P que tem a inclinação m lim a f ( ) f ( a) a desde que esse limite eista

2 Eemplo:. Encontre uma equação da reta tangente à parábola = no ponto P(, ).. Encontre uma equação da reta tangente à curva = 3 no ponto de abcissa =. Há uma outra epressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais fácil de ser usada. Se = a, então = a + e, assim, a inclinação da reta secante PQ é: f ( a ) f ( a) m PQ Quando a, temos que 0 (pois = a). Assim a epressão para a inclinação da reta tangente fica: m lim 0 f ( a ) f ( a) Eemplo: Encontre uma equação da reta tangente a ipérbole = 3/ no ponto P(3, )

3 Velocidades Supona que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação s = f(t), na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que descreve o movimento é camada função de posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e t = a + a variação na posição será de f(a + ) f(a). A velocidade média neste intervalo é: Vm deslocamento tempo f ( a ) f ( a) m PQ a velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo Se a velocidade média for calculada em intervalos cada vez menores [a, a+], fazemos 0. Definimos velocidade instantânea v(a) no instante t = a como o limite das velocidades médias: v( a) lim 0 f ( a ) f ( a) Eemplo: Supona que uma bola foi abandonada do posto de observação de uma torre a 450 m acima do solo. Sabendo que sua equação de movimento é dada por s = f (t) = 4,9t, determine a velocidade da bola após 5 segundos? 3

4 Outras taas de variação Se é uma quantidade que depende de outra quantidade, então é uma função de e escrevemos = f(). Se varia de para, então a variação de (também camada de incremento de ) é e a variação correspondente de é f ( ) f ( ). O quociente de diferença f ( ) f ( ) é camado de taa média de variação de em relação a no intervalo [, ] e pode ser interpretado como a variação da reta secante PQ. Outras taas de variações envolvem reações químicas, custo marginal, potência, colônia de bactérias, entre outros. Todas estas taas podem ser interpretadas como inclinações de tangente. Eemplo Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar: a) a taa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de,5 a 3 m. b) a taa de variação instantânea da área em relação ao lado quando este mede 4 m. 4

5 Derivadas f ( a ) f ( a) O limite da forma lim surge sempre que calculamos uma taa de 0 variação em várias ciências (química, física, economia, etc) Como este tipo de limite ocorre amplamente, ele recebe nome e notação especiais. Definição: A derivada de uma função em um número a, denotado por f (a) é Se o limite eiste. f '( a) lim 0 f ( a ) f ( a) Se escrevermos = a +, então 0 a. Assim, f ( a) lim a f ( ) f ( a) a Eemplo Encontre a derivada da função f() = + no número a. Derivada como a inclinação da reta tangente A reta tangente à curva = f() no ponto P(a, f(a)) foi definida como sendo a reta que passa em P e tem inclinação m lim 0 f ( a ) f ( a) que por definição é o mesmo que a derivada f (a). Logo, A reta tangente a = f() em (a, f(a)) é a reta que passa em (a, f(a)), cuja inclinação é igual a f (a), a derivada de f em a. 5

6 Usando a forma ponto de inclinação da equação de uma reta, podemos escrever uma equação da reta tangente à curva = f() no ponto (a, f(a)) como: f(a) = f (a)( a) A derivada da função = f() no ponto P é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P. Eemplos. Encontre uma equação da reta tangente à parábola f() = + no ponto (, ).. Encontre uma equação da reta tangente à parábola f() = no ponto (3, - 6). 3. Determinar a equação da reta tangente à curva f()= no ponto P da abscissa = 4. Solução: = ¼ + 4. Encontre uma equação da reta tangente à curva = + 3 no ponto cuja abcissa é. 6

7 Derivada como taa instantânea de variação A taa de variação instantânea de = f() em relação a em = é: f ( ) f ( ) lim que por definição é o mesmo que a derivada f (). Assim, temos uma segunda interpretação da derivada: A derivada f (a) é a taa instantânea de variação de = f() em relação a quando = a. Eemplo A equação de uma partícula é dada pela equação do movimento s = f(t) = /(+t), em que t é medido em segundos e s em metros. Encontre a velocidade após segundos. 7

8 A derivada como uma função A derivada de uma função em um número fio a, é dada por: f '( a) lim 0 f ( a ) f ( a) Entretanto, podemos variar o número a substituindo-o por uma variável, obtendo: f ( ) lim 0 f ( ) f ( ) Esta nova função é camada de derivada de f. O valor de f em, f (), também pode ser interpretado geometricamente como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, f()). O domínio de f é o conjunto { / f () eiste}. Eemplo - Se f() = 3, encontre f (). - Se f ( ), encontre a derivada de f e determine seu domínio. 8

9 Outras notações para derivada Se usarmos a notação = f() para indicar que a variável independente é enquanto é a variável dependente, podemos usar como notações alternativas para a derivada: f () = = d d df d f () Df() = Df() d d Para indica o valor de uma derivada na notação de Leibniz em um ponto específico a, usamos a notação: d d ou d d a Definição: Uma função f é derivável em um ponto a se f() eitir. É derivável em um intervalo aberto (a, b), (a, ), (-a, ) ou (-, ) se for derivável em cada número do intervalo. Eemplo Verifique o intervalo onde a função f() = é derivável. a 9

10 Teorema: Se f for derivável em a, então f é contínua em a. OBS: A reciproca do teorema é falsa, isto é, á funções que são contínuas, mas não são deriváveis. Como uma função pode deiar de ser derivável? - Se o gráfico da função tiver um ponto anguloso, então a função não terá tangente nesse ponto e, portanto, não terá derivada. - Em toda descontinuidade de f, uma função deia de ser derivável. - A função tem uma reta tangente vertical em = a. Eemplo - A função, f ( ) é derivável em p =? Porquê?, 0

11 , - Seja f ( )., a) f é contínua em? b) f é derivável em? 3- A função, f ( ), a) f é contínua em? b) f é derivável em?

12 Regras de Derivação Derivada de uma função constante Se f é a função constante definida por f() = c, cr, então f () = 0. O gráfico desta função é a reta orizontal = c, cuja inclinação é 0. Prova: f ( ) f ( ) c c f '( ) lim lim lim d Portanto, ( c ) 0 d Funções potência Seja f() = n, em que n é inteiro positivo. Se n =, f() =. O gráfico é a reta =, cuja inclinação é. Se n =, f() =. Se n = 3, f() = 3. Se n = 4, f() = 4.

13 Regra da Potência: Se n é um inteiro positivo d n ( ) n d n. Eemplos: Encontre as derivadas: a) f() = 6 b) f() = 000 E se o epoente é negativo??? c) = - d) f() = E se o epoente é uma fração??? e) f() = f) = 3 Regra da Potência (GERAL): Se n é um número real qualquer, então d n ( ) n d n. g) Encontre a equação da reta tangente à curva = no ponto (, ) 3

14 Regra da multiplicação por constante Se c for uma constante e f uma função diferenciável em então. d d ( cf ( )) c ( f ( )) d d Prova: Seja g() = cf(). Então g( ) g( ) cf ( ) cf ( ) c( f ( ) f ( )) g`( ) lim lim lim f ( ) f ( ) clim c f '( ) 0 Eemplos Encontre as derivadas: a) f() = 3 4 b) f() = - Regra da soma Se f e g forem ambas diferenciáveis, então, d f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d d d Prova: Seja F() = f() + g(). Então, F( ) F( ) F ( ) lim 0 [ f ( ) g( )] [ f ( ) g( )] lim 0 f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim 0 f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim lim f '( ) g '( ) 0 0 A regra da soma pode ser estendida para a soma de qualquer número de funções. Escrevendo f() + g() como f() + (-)g() e aplicando as regras da soma e do múltiplo constante, obtemos: 4

15 Regra da diferença Se f e g forem ambas diferenciáveis, então, d f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d d d As regras da multiplicação por constante, soma e diferença, podem ser combinadas com a regra da potência para derivar qualquer polinômio. Eemplos - Encontre a derivada de = Encontre os pontos sobre a curva = onde a reta tangente é orizontal. Derivada da Função Eponencial Natural d ( e ) e d Eemplo Se = e -, encontre '(). 5

16 Regra do Produto Se f e g são funções diferenciáveis, então, d d d d d d f ( ). g( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) Prova: Seja F() = f().g() F( ) F( ) f ( ) g( ) f ( ). g( ) F '() = lim = lim 0 0 Adicionando e subtraindo do numerador a epressão f( + ) g(), temos: f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) F '() lim 0 g( ) g( ) f ( ) f ( ) lim f ( ) lim g( ) 0 0 [ g( ) g( )] [ f ( ) f ( )] lim f ( ).lim lim g( ).lim = f().g () + g().f () Eemplos - Se = e, encontre '(). - Se f ( t) t ( t), encontre f '(). Regra do quociente Se f e g são funções diferenciáveis e g() 0, então, d d g( ) f ( ) f ( ) g( ) d f ( ) d d d g( ) g ( ) 6

17 Eemplos - Seja. Encontre '(). 3 6 e - Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (, e/). Derivada de funções trigonométricas. Se f() = sen(), então sen( ) sen( ) f ( ) lim 0 sen cos cos sen sen sen cos sen cos sen lim lim 0 0 sen (cos ) sen cos cos sen lim lim cos lim sen.lim lim cos.lim cos cos 0 0 d ( sen ) cos d Usando o mesmo método, podemos mostrar que: d (cos ) sen d Para obter a derivada da função tangente, fazemos: 7

18 d d sen cos (sen )' sen (cos )' tg d d cos cos cos cos sen ( sen ) cos sen sec cos cos cos d ( tg ) sec d Usando a regra do quociente, encontramos também as derivadas das funções cotangente, secante e cossecante, obtendo: d (sec ) sec. tg d d (cossec ) cossec. cotg d d ( cotg ) scossec d Eemplos - Derive = sen. - Encontre a derivada de sec. tg 8

19 Regra da Cadeia As regras de derivação estudadas até agora nos permitem calcular a derivada de diversas funções, mas como derivar a função F() = função composta.? Observe que F() é uma Sabemos derivar ambas: d du e du d.entretanto queremos d, ou seja, precisamos de d uma regra que nos permita calcular a derivada de F = fg em termos das derivadas de f e g. A derivada da função composta fg é o produto das derivadas de f e g. Esse fato é uma das mais importantes regras de derivação, camada de regra da cadeia. Considere as seguintes taas de variação: d = taa de variação de em relação a u du d d du : taa de variação de em relação a é du d du d = taa de variação de u em relação a d Regra a cadeia Se g for derivável em e f derivável em g(), então a função composta F = fg, definida por F() = f(g()) será derivável em e F será dada pelo produto: F () = f (g()). g () Na notação de Leibniz, se = f(u) e u = g() forem funções deriváveis, então d d = d du. du d Eemplo: Utilize a regra da cadeia para Encontrar a derivada das funções a seguir: a) F() = 9

20 b) F() = ( + ) 5 Ao usarmos a regra da cadeia, trabalamos de fora pra dentro: Eemplo: Derive (a) = sen ( ) e (b) = sen () No eemplo anterior, quando calculamos a derivada de = sen ( ) combinamos a regra da cadeia com a regra para derivar a função seno. Em geral, se = sen (u) em que u é uma função derivável de, pela regra da cadeia: = sen u = cos u.u De modo análogo, todas as fórmulas para derivar funções trigonométricas podem ser combinadas com a regra da cadeia. 0

21 se = sen u = cos u.u se = cos u = - sen u.u se = tg u = sec u.u se = cotg u = - cossec u.u se = sec u = sec u.tg u.u se = cossec u = - cossec u.cotg u. u Se a função de fora f for uma função potencia, isto é, = [g()] n, podemos escrever = f(u) = u n, em que u = g(). Usando a regra da cadeia e a regra da pontência, obtemos d d = d du. du d = n.un-. du d = n.[g()]n-.g () Regra da potência combinada com a Regra da Cadeia Se n for qualquer número real e u = g() for derivável, então d n ( u ) nu d n du d Alternativamente Eemplo Encontre as derivadas: a) = ( 3 - ) 0 d n n g ( ) n g ( ). g '( ) d b) f() = 3 c) g(t) = 9 t t

22 d) = (3 + ) 3 ( - ) e) f() = sen(cos(tg )) Eercícios Determinar a derivada das seguintes funções compostas: a) = sen b) = cos( +-) - 3sen c) = (-) 3 d) = (+5).(3-) 4 e) = cos f) = sen.cos 3 g) = sen 3 ) = Derivada da função eponencial Podemos usar a regra da cadeia para derivar uma função eponencial com qualquer base a > 0. Sabemos que a = e ln a

23 Portanto, temos a fórmula para derivar uma função eponencial utilizando a regra da cadeia é: d ( a ) a ln a d Caso particular: Se = e ' = e ln e = e. Derivada da função eponencial composta Se = u v, em que u = u() e v = v() são funções deriváveis de em um intervalo I e u() > 0, I, então ' = v. u v- u + ln u.v Eemplo Encontre as derivadas: a) = 3 3 b) f() = ( ) 5 sen c) sen cos Derivada da função logarítmica Se = log ( a 0 e a ), em que u = u() então a ' log a ln e e ln a ln a Caso particular: Se = ln = ln. e 3

24 Derivada da função logarítmica composta Se = log u ( a 0 e a ), então a ' u' u.ln a Caso particular: Se = ln u, em que u = u(), então = u '. u Eemplo Encontre as derivadas: a) = log3(sen ) d) e ln b) f() = sen. ln e) e ln c) (ln ) Eercícios Encontre as derivadas: a) f () = 4 b) = e sen 3 c) e 5 d) = 3. 3 e) = sen 3. 3 sen f) = e.ln + e.ln g) = ) = log3( -5) i) = ln ( + + ) j) = ln 3 k) = ln 3 l) ln m) = ln. sen n) = ln(sen) o) = ln. log ln a. log e a 4

25 Derivada da função inversa Seja = f() uma função inversível definida em um intervalo (a, b) e seja = g() sua inversa. Se f '() eiste e é diferente d e zero para qualquer (a, b), então g = f é derivável e definida como: g'( ) f '( ) f '[ g( )] Eemplos Calcule a função inversa e suas respectivas derivadas: a) = 4-3 b) log3 Derivada das funções trigonométricas inversas Função arco seno (-, ) e ' = Seja f : [-,],, definida por f() = arcsen. Então = f() é derivável em Função arco cosseno Seja f : [-,] [0, ], definida por f() = arccos. Então = f() é derivável em (-, ) e ' Função arco tangente Seja f : R, ', definida por f() = arctg. Então = f() é derivável e 5

26 Para as funções trigonométricas inversas, temos as seguintes derivadas: Se = arcsen u '. u' u Se = arccos u '. u' u Se = arctg u '. u' u Se = arccotg '. u' u Se = arcsec u, u '. u', u > u u Se = arccossec u, u ' u u Eemplos: Determine a derivada: a) = arcsen( + ) b) arctg Derivada das funções iperbólicas As funções iperbólicas são definidas em termos das funções eponenciais. Se = sen, então: d d e e d d Similarmente, obtemos as derivadas das demais funções iperbólicas: = sen u ' = cos u. u' = cos u ' = sen u. u' = tg u ' = sec u. u' = cotg u ' = - cossec u. u' = sec u ' = - sec u. tg u. u' = cossec u ' = - cossec u. cotg u. u' Eemplos: Determine a derivada das funções iperbólicas: a) = sen( 3 + 3) 6

27 b) = ln(tg(3)) Derivada das funções iperbólicas inversas Função arco seno iperbólico Se = arcsen = ln. Logo, a derivada da função arcsen é: De modo similar, podemos obter as derivadas das demais funções iperbólicas inversas. Se = arcsen u '. u' u Se = arccos u '. u ', u u Se = arctg u '. u ', u u Se = arccotg u '. u ', u u Se = arcsec u '. u ',0 u u u Se = arccosec u '. u ', u 0 u u Eemplo Determine a derivada: a) = arccos 7

28 b) = arcsen - Derivadas de ordem superior Se f é uma função derivável em um determinado intervalo, sua derivada f ' também é uma função definida no mesmo intervalo. Portanto, podemos pensar na derivada da função f '. Definição: Seja f uma função derivável. Se f também for derivável, então sua derivada é camada de derivada segunda de f e é representada por f ''(). Eemplos a) Se f() = , determine f ''(). b) Se f() = tg, determine f ''() Se f '' é uma função derivável, sua derivada, representada por f ''', é camada de derivada terceira de f(). Sucessivamente, para n inteiro positivo, f (n) () indica a derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f que é obtida partindo-se de f e calculando suas derivada sucessivas n vezes. Utilizando a notação de Leibniz, temos: 3 d d d n d ; ; ;... ; d d d d Eemplos: a) Se f() = = determine f (iv). 8

29 b) Calcule a derivada terceira da função 4 c) Se f() = e, calcule f n (). Diferenciação Implícita: Sempre que temos uma função escrita na forma = f(), dizemos que é uma função eplícita de, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a epressão da função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra, dizemos que é uma função implícita de. Considere, por eemplo, a equação = 3. Observe que é uma função eplícita de, pois podemos escrever = f (), onde f () = 3. A equação 4 = 6 define a mesma função, pois isolando obtemos = 3. Quando escrita na forma 4 = 6, dizemos que é uma função implícita de. 9

30 OBS: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em e pode definir mais de uma função implícita. Eemplo: A equação + = pode definir várias funções implícitas, tais como, seus gráficos:,,, 0,3 0,3, dentre outras. Vejamos os Derivada da função implícita Supona que f(, ) = 0 define implicitamente uma função derivável = f(). Utilizando a regra da cadeia, podemos determinar ' sem eplicitar. Eemplos: a) Dada a equação 4 = 6, determine (). Obs: é função de, podemos escrever a equação como 4 () = 6. b) Derive a equação + 3 = 3 +. c) e + ln( + ) = + sen 30

31 d) Utilizando derivação implícita, mostre que se = arcsen, então ()= e) Seja (0, 0) =,. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da equação + = 4. Eercícios. Calcule d/d por derivação implícita: a) 5 b) 3 3 c) d) 3 3 e) 5 f) ln tg. Utilizando derivação implícita, que se = arc cos, então () =. 3

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