DERIVADA. Aula 02 Matemática I Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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1 DERIVADA Aula 02 Matemática I Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

2 No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava correndo a 42 mph. Como pode ser provada tal afirmação? Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado não ajudará em nada. Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único instante de tempo, interrompemos o movimento! É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a velocidade de um objeto em algum instante de tempo.

3 Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no século cinco a.c. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em questão.

4 A Derivada O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação. As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.

5 Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais Aplicações

6 Na Física Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade. A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração. A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.

7 Na Química Os químicos têm interesse em calcular a taxa de reação instantânea de uma reação química. A taxa de reação instantânea é calculada pelo quociente entre a concentração de um reagente em função do tempo, quando o intervalo de tempo tende para zero.

8 Na Biologia Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos de uma população animal ou de plantas.

9 Na Economia Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de variação do custo em relação ao número de itens produzidos).

10 Outras Ciências Geólogo pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a envolve.

11 Saber a taxa segundo a qual a água escoa para dentro ou para fora de um reservatório. Engenheiro

12 Agrônomo Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio. Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz absorvida em diferentes densidades de plantas.

13 Geógrafo urbano Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à medida que a distância do centro aumenta.

14 Meteorologista Busca calcular a taxa de variação da pressão atmosférica em relação à altura.

15 Interessados na teoria de aprendizagem estudam a chamada curva de aprendizado, que é o gráfico de desempenho de alguém aprendendo alguma coisa como função do tempo de treinamento. Psicologia

16 Sociologia O cálculo diferencial é usado na análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões). Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato.

17 A Derivada Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.

18 Tem-se a produção de milho por hectare f (kg/ha) como função da quantidade de nitrogênio x (kg/ha), cujos resultados são apresentados na tabela a seguir: x f(x) ,8 1816,6 1945,4 2038,2 2095,4 2115,8 2100,6 2049,4 Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22 kg/ha?

19 2500 Valores Y

20 Derivada Para estimar a produção, avalia-se o que está acontecendo entre 20 e 30, encontrando a equação da reta que passa pelos pontos (20, 1816,6) e (30, 1945,4). Devemos calcular o coeficiente angular, ou taxa de variação: taxa de variação: f 30 f(20) 30 20

21 Este valor 12,88 representa a inclinação da reta unindo os pontos (20; 1816,6) e (30; 1945,4). Logo a equação da reta f(x) = b + a. x, para qualquer 0 x 10 a partir de x = 20, será: f 20 + x = f ,88x Com essa função podemos calcular o f(22).

22

23 Podemos ter uma taxa de variação diferente de acordo com o valor x. x f(x) ,9 1651,8 1738,7 1816,6 1885,5 1945,4 1996,3 2038,2 Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).

24 Se forem efetuadas novas medições de produção com intervalos de dosagem menores, isto é, tomando valores menores que x 2, mais precisa será a estimativa para x = 22. Efetuando-se essas operações sucessivamente, tem-se um processo de limite, expresso como f 20 + x lim x 0 x f(20)

25 f 20 + x lim x 0 x f(20) Este limite nada mais é que a derivada da função em x = 20 ou o valor da inclinação da reta tangente em x = 20, já que os pontos (20; 1816,6) e (20+ x; f(20+ x) estarão muito próximos pelo limite.

26 Derivada - Definição A expressão: f x + h f(x) h é chamada de quociente da diferença da função f(x). Tanto a taxa de variação quanto a inclinação podem ser determinados calculando o limite quando h tende a 0 de quociente diferença apropriado. Para unificar o estudo destas e outras aplicações que envolvem o limite de um quociente diferença, usamos a terminologia e notação a seguir.

27 Derivada de uma Função A derivada da função f(x) em relação a x é a função f (x) dada por: f f x + h f(x) x = lim h 0 h E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação. Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f (c) existe, ou seja, se o limite do quociente diferença que define f (x) existe no ponto x = c.

28 Exemplo Determine a derivada da função f x = 4,9x 2.

29 Taxa de Variação instantânea como uma Derivada A taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto x = c é dada por f (c). A expressão analítica para os dados citados no problema inicial é uma função quadrática: f x = 0,18x ,88x Podemos calcular a taxa de crescimento para x = 22 através da derivada da função: f (22).

30 Significado do sinal da Derivada f (x) Se a função f é derivável em x = c, f é crescente em x = c f é decrescente em x = c f (x) > 0 f (x) < 0

31 f(x) = 4,9x²

32 Notação de Derivada A derivada f (x) da função y = f(x) muitas vezes é escrita na forma dy sobre dê x) ou df (dê f sobre dê x). dx Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = c [f (c)] é escrito na forma: dx (dê y dy dx df x = c ou dx Assim, por exemplo, se y = x², temos: dy dx = 2x E o valor da derivada no ponto x = -3 é dado por: dy dx x = c x = 3 = 2x x = 3 = 2. 3 = 6

33 Tangentes m PQ = f x f(a) x a Se uma curva C tiver uma 14 equação y = f(x) e quisermos 12 encontrar a reta tangente a C 10 em uma ponto P(a, f a ), 8 consideramos um ponto próximo Q x, f x, onde 6 x a, e calculamos a 4 inclinação da reta secante PQ. 2 0 Q(x, f(x)) P(a, f a ) f(x) f(a) x a 0 2a 4x 6 8

34 Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x a tender a a. Se m PQ tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P e tem inclinação m t P Q Q Q

35 A reta tangente A reta tangente à curva y = f(x) em um ponto P(a, f x ) é a reta passando por P com a inclinação desde que o limite exista. f x f(a) m = lim x a x a

36 Exemplo Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x 2 no ponto P (1,1).

37 Inclinação como uma derivada A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto [c, f(c)] é dada por m tan = f c. Usamos: y f c = f c x x 1 ou y f c = m x x 1

38 Exemplo 2 f(x)=x³ Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = -1. Qual a equação da reta tangente neste ponto?

39 Exercícios: 1) Calcule a derivada da função f x = x 3 1 e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto x =

40 Descansando a mente Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.

41 Técnicas de Derivação

42 Regra da Constante Para qualquer constante c, d dx c = 0 Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula. f x = c f x = 0 Esta regra é comprovada pela regra da potência. f x = 15 f x = 0

43 Regra da Potência Para qualquer número real n, d dx xn = n. x n 1 Para calcular a derivada de x n, reduzimos de 1 o valor do expoente e multiplicamos o resultado pelo valor original do expoente. f x = x n f x = n. x n 1 f x = 2x 3 ; f x = 1 ; f x = x7 x2

44 Regra da multiplicação por uma constante Se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, cf(x) também é uma função derivável e d dx cf x = c d [f x ] dx A derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada. g x = cf x g x = cf (x) f x = 3x 4 ; f x = 7 x

45 Regra da soma Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma S x = f x + g x também é uma função derivável e S x = f x + g x, ou seja: d dx f x + g x = d dx f x + d [g x ] dx A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas. h x = f x + g x. Se f (x) e g (x) existem, então: h x = f x + g (x) f(x) = 3x 4 + 8x + 5 g(y) = 9y 5 4y² + 2y + 7

46 Regra da subtração Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma S x = f x + g x também é uma função derivável e S x = f x g x, ou seja: d dx f x g x = d dx f x d [g x ] dx A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas. h x = f x g x. Se f (x) e g (x) existem, então: h x = f x g (x) f x = x 4 8x g y = 2y 3 5y

47 Derivada da função exponencial Dada uma função exponencial f x = a x (a > 0, a 1). A derivada f x = a x ln a (a > 0, a 1).

48 Derivada da função exponencial natural Se y = e x, então y = e x ln e = e x.

49 Função Derivada y = c y = 0 y = x y = 1 y = c. f(x) y = c. f (x) y = h x + g(x) y = h x + g (x) y = h x. g(x) y = h x. g x + h x. g (x) y = h(x) g(x) y = a x (a > 0, a 1) y = g x. h x g x. h(x) [g(x)] 2 y = a x. ln a

50 Calcule a derivada das funções: a) y = x 4 b) y = 2 c) y = πr 2 d) y = 2x e) y = 9 t f) y = x 2 + 2x + 3 g) y = x 9 5x 8 + x + 12 h) y = 0,02x 3 + 0,3x i) y = 1 t + 1 t 2 1 t j) y = x5 4x² x³ k) 3 y = x x

51 Problemas Estima-se que daqui a x meses a população de um município será P x = x x a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses? b) Qual será a variação da população durante o 16º mês?

52 O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por N t = t 2 + 5t bilhões de dólares, onde t é o número de anos após a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005? b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005?

53 Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s t = t 3 6t 2 + 9t + 5. a) Determine a velocidade do corpo e discuta seu moimento entre os instantes t = 0 e t = 4. b) Determine a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 4. c) Determine a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.