, ou seja, o ponto x 1

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1 4 DERIVADAS, DIFERENCIAIS E SUAS APLICAÇÕES 4.1 Retas Tangentes e Taxas de Variação Muitos problemas de Cálculo envolvem a determinação da taxa de variação de uma função em determinado momento. Tais problemas estão diretamente relacionados com a determinação da reta tangente a uma curva dada em um determinado ponto dela. Para uma circunferência, a reta tangente à curva f (x) em um ponto x 1 D f é a reta que toca a curva num único ponto x 1,f x 1, ou seja, o ponto x 1,f x 1 é o único que pertence à reta e à curva ao mesmo tempo. Para uma curva geral, essa definição nem sempre é válida. Por exemplo, na ilustração a seguir, uma reta pode ser tangente à curva em um ponto (P) e cortar a curva em outro (Q). A reta tangente ao gráfico de uma função é determinada pela sua inclinação e pelo seu ponto de tangência. Considere uma curva C dada por uma equação y = f(x). Se quisermos encontrar a tangente a C em um ponto P(x 1, f(x 1 )), consideramos um ponto vizinho Q(x 2, f(x2)), onde x 2 x 1, e calculamos a inclinação da reta secante PQ (coeficiente angular m): m PQ = f x 2 f x 1 x 2 x 1

2 A letra grega Δ é utilizada para indicar variação. Assim, Δx é a variação dos valores de x, ou seja, Δx=x 2 x 1. Portanto, a inclinação da reta secante à curva nos pontos P e Q é calculada por: m PQ = f x 2 f x 1 Δx. Exemplo: Determine a inclinação da reta secante à curva f (x) = 3x nos pontos x 1 =1 e x 2 =3. Faça o gráfico de tal função e sua tangente também. f 1 =3. 1² 2=5 f 3 =3. 3² 2=29 m=29 5 =12 θ Se quisermos a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, podemos tomar a reta secante à curva nos pontos Q e P, então fixamos o ponto P e fazemos com que o ponto Q deslize sobre a curva na direção do ponto P. À medida que aproximamos Q de P, x 2 se aproxima de x 1, e a diferença x 2 x 1 se aproxima de zero, ou seja, Δx tende a zero. Se m r, tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P e tem inclinação m. O que corresponde a dizer que a reta tangente é a posição limite da reta secante PQ, quando Q tende a P.

3 Assim, a inclinação da reta tangente à curva f (x) no ponto P= x 1,f x 1 pode ser dada por f x 1 +Δx f x 1 Δx desde que o limite exista. Exemplo: Dada a parábola y=x 2 (a) Determine a inclinação da reta secante nos seguintes pontos: (2,4) e (3,9) m= =5 (2 ; 4) e (2,1 ; 4,41) m= 4,41 4 2,1 2 = 4,1 (2 ; 4) e (2,01 ; 4,0401) m= 4, ,01 2 = 4,01 (b) De acordo com o que foi calculado no item a, indique a inclinação da reta tangente à parábola no ponto (2,4): f x 1 +Δx f x 1 =4 Δx (c) De que outra maneira poderia ser calculada a inclinação da reta tangente à curva no ponto (2,4)?

4 ATIVIDADE 58. Calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto P x 1,f x 1. a) y= 9 x 2, P = (2, 5) b) y= 2x 2 4x, P = (1, 2) c) y=x 3 1, P = (-2, -7) d) y=3x 2 12 x+ 8, P = (1, -1) e) y=x 3 3x 4, P = (2, 6) Em diversos contextos, quando y é uma função de x, busca-se conhecer a taxa de variação de y em relação a x. Por exemplo, a taxa com que: - a quantidade de bactérias de uma colônia muda com o tempo; - o comprimento de um cano de metal muda com a temperatura; - os custos de produção mudam com a quantidade do produto que está sendo produzido; - o tempo de reação (reflexo) a uma situação muda de acordo com a quantidade de álcool na corrente sanguínea. Todas essas taxas podem ser interpretadas como inclinações de tangentes. Isso torna significativa a solução do problema da tangente. Sempre que resolvemos um problema de reta tangente, implicitamente estamos resolvendo uma grande variedade de problemas envolvendo as taxas de variação. Exemplo: Num metabolismo interessa a velocidade de uma reação química. Seja M = f(t) a massa de uma substância nutritiva como função do tempo. Suponhamos que a substância nutritiva se desintegra quimicamente e por conseqüência, que M decresce. Sejam t 1, t 2 dois instantes consecutivos. Seja

5 Δt=t 2 t 1 o tamanho do intervalo de tempo e ΔM=f t 2 f t 1 o decrescimento da massa. Então ΔM Δt = f t 2 f t 1 t 2 t 1 Chama-se razão o quociente incremental de reação. Com nossas suposições, ΔM Δt é negativo. Especificamente falando, ΔM Δt é a taxa média de reação sobre o intervalo de tempo t 1 a t 2. A reação química não tem necessariamente uma razão constante. Considerando a taxa média de variação em intervalos cada vez menores fazendo t 2 tender a t 1 e, portanto, fazendo Δt tender a 0, o limite dessas taxas médias de variação é chamado taxa instantânea de variação, que é interpretada como a inclinação da tangente à curva no ponto dado. Exemplo: Um tanque de óleo deve ser drenado para limpeza. Sobram V litros de óleo no tanque t minutos após o início da drenagem, onde V=60 75 t 2, calcule: a) a taxa média em que é drenado o óleo para fora do tanque durante os primeiros 30 minutos. V 0 =60.75²=337500litros V 30 =60.45²=121500litros =7200 litros em média 30 0 b) a taxa em que o óleo está fluindo para fora do tanque 30 minutos após o início da drenagem Δt= 5400 litros taxa instantânea ATIVIDADES 59. No decorrer de uma experiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície plana de vidro. Se o líquido vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta uniformemente, qual será a taxa de crescimento instantânea da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio, quando o raio for igual a 5 cm? 60. Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por p(t) = t² - 6t, onde p(t) é medida em pés e t em segundos. a) Determine a velocidade em um instante t = a qualquer. b) Determine a velocidade da partícula em t = 0 e t = 4. c) Em que instante a velocidade é nula?

6 4.2 A Derivada Definição: A derivada de uma função f é denotada por f ', tal que seu valor em qualquer valor x do domínio de f seja dado por se esse limite existir. f '(x) f x+δx f x Δx Para indicar a derivada também usamos f' = y' = dy dx. Esta última notação, dizemos que é a derivada de y com relação a x. Tal notação torna-se útil quando temos funções com duas ou mais variáveis, e temos que calcular derivadas parciais. 2+x Exemplo: Seja f x = 3 x, determine f (x), utilizando a definição. 5 (3 x Δx ) (3 x ) f' ( x)= 5 (3 x 0 ) (3 x) = 5 (3 x ) 2 ATIVIDADES 61. Encontre f (x) ou a) f x = 7x 3 b) d 1 dx x+ 1 dy dx usando a fórmula f x+δx f x Δx. 62. Determine f (x) = f x f a x a a) f x =2 x 3, a = - 2 b) f x = 4 5x, a = 2 :

7 4.3 Técnicas de Diferenciação Nas expressões abaixo, u e v são funções da variável x e os termos a, b, c e n são constantes. Respeitando-se as limitações para u e v, temos as seguintes técnicas de derivação: I) A derivada da constante é zero. u = c u = 0. Isso acontece porque a função constante não apresenta inclinação com relação ao eixo x, ou seja, a sua inclinação é zero. dy Exemplo: Se f (x) = 5 então f' x = dx = 0 II) A derivada da função polinomial apresenta sempre um grau a menos que a função. u=x n u'=nx n 1 Exemplo: Se f x =x 2 então f' x = dy dx = 2x2 1 =2x III) A derivada da constante vezes a função é igual a constante vezes a derivada da função. y=c. v y'=c. v' Exemplo: y=3x 2, aqui c = 3 e v=x 2, logo y'= 3.2x = 6x. IV) A derivada da soma é a soma das derivadas. y=u+v y'=u'+v' Exemplo: Se h x =5x +x 2, então f x = 5x e g x =x 2, logo h x = 5 2x. V) A derivada do produto de duas funções é a soma do produto da primeira pela derivada da segunda com o produto da segunda pela derivada da primeira. y= u. v y'=u. v'+u'v Exemplo: h x = 2x 5. x³ 4x, aqui f x = 2x 5 f' x = 2 e g x =x³ 4x g' x = 3x² 4. Logo, h' x = 2x 5. 3x² 4 x³ 4x 2 h' x = 6x³ 8x 15 x² 20 2x³ 8x h' x =8x³ 15 x² 16 x 20 VI) A derivada do quociente entre duas funções é a fração onde o numerador é a diferença do produto do denominador pela derivada do numerador com o produto do numerador pela derivada do denominador, e o denominador é o denominador da função original ao quadrado.

8 y= u v y'= u'v uv' v² Exemplo: h x = 2 +x 3 x, temos f x = 2 +x f' x = 1 e g x = 3 x g' x = 1. Logo, 3 x x. 1 3 x+ 2+x h' x = = = 5 3 x ² 3 x ² 3 x ² ATIVIDADES 63. Utilizando as propriedades, encontre a derivada da função: a) f x = 7x 5 b) g x =1 2x x 2 c) f x =x 3 3x 2 5x 2 d) f x = 1 8 x 8 x 4 e) f x =x2 3x 1 x 2 f) g x =4x2 1 4x 4 g) h x =x 4 5x +x 2 4x 4 h) g x = 3 x 2 5 x 4 i) f s = 3 s 3 s 2 j) f x = 2x 4 1 5x 3 6x k) f x = x 2 3x 2 2x 3 1 l) f x = x x 1 m) d dt 5t 1 2t 2 n) d dy y3 8 y Derivada das Funções Trigonométricas Algumas identidades trigonométricas úteis:

9 sen 2 x cos 2 x =1 tg x = sen x cos x cot g x = cos x sen x sec x = 1 cos x cosc x = 1 sen x sen 2 t = 1 1 cos 2t 2 sen a ± b = sen a cos b ± sen b cos a cos a± b = cos a cos b sen a sen b sen 2x = 2 sen x cos x cos 2x =cos 2 x sen 2 x tg 2 θ+1=sec 2 θ cot g 2 θ+1=cos ec 2 θ Derivadas das funções trigonométricas, onde u é uma função de x. I) Função Seno. y=sen u y'=u'. cos u II) Função Cosseno. y= cos u y'= u'. sen u III) Função Tangente. y= tg u y'=u'. sec² u IV) Função Cotangente. y= cot g u y'= u'. cos ec ² u V) Função Secante. y= sec u y'= u'. sec u tg u VI) Função Cossecante. y= cos ec u y'= u'. cos ec u cot g u Exemplo: f x =x 2 sen x f' x =x ²cos x 2 xsen x Exemplo: f x = sen x 1 2cos x

10 cos x [1 2cos x ] sen x [ 2sen x ] f' x = [ 1 2cos x ]² cos x 2cos² x 2sen² x f' x = [ 1 2cos x ]² cos x 2[ sen ² x cos² x ] f' x = [ 1 2cos x ]² cos x 2 f' x = [ 1 2cos x ]² ATIVIDADES 64. Determine a derivada das funções dadas: a) f x = 3 sen x b) f x = tg x cot g x d) g x = xsen x cos x e) h x = 4 sen x cos x f) h y =y 3 y 2 cos y 2 ysen y 2cos y g) f x = 3sec x tg x h) f x = x sen x x+ cos x 4.5 Derivada da função Exponencial e da Logarítmica Derivada da Função Logarítmica Natural e da Exponencial Natural À função logarítmica cuja base é o número de Euler e chamamos de ln. Tal função é conhecida como logarítmica natural ou logaritmo neperiano e cumpre as regras de logaritmos vistas anteriormente. Seja u uma função diferenciável de x e u(x) > 0 y= ln u y'= u' u Exemplo: f x =ln 3x 2 6x 8 f' x = 6x 6 3x² 6x 8 A função exponencial cuja base é o número de Euler e é chamada de função exponencial natural, sendo válida para ela todas as propriedades anteriormente definidas para os logaritmos. Seja u uma função de x, diferenciável y=e u y'=u'. e u

11 Exemplo: Dada a função y=e 1 x² determine a sua derivada. y'= 2 x³ e 1 x² ATIVIDADES 65. Faça o gráfico e diga o domínio e a imagem das funções f x = ln x e f x =e x. 66. Encontre as derivadas das funções logarítmicas abaixo: a) y= ln [ 4x 2 3 2x 1 ] x b) y= ln x+1 c) f x = ln 4 5x d) h x =ln 4 5x e) f t =ln 3t 1 2 f) g x = ln 2 3t 1 g) f x = ln 4 3 x 2 h) g y = ln ln y i) f y = ln sen 5y j) f x = cos ln x x k) h x = ln x 67. Encontre as derivadas das funções exponenciais naturais abaixo: a) y=e 5x b) y=e 3x 2 c) y=e x 2 3 cos x d) y=e e) y=e x sen e x f) y= e x x g) y=e e x h) y= e x e x e x +e x i) y=x 5 e 3ln x j) y=tg e 3x tg 3x +e

12 4.5.2 Derivada da função Exponencial e da Logarítmica Nem sempre as funções exponenciais e logarítmicas terão como base o número de Euler (e). Seja a um número positivo qualquer (a 1) e u uma função diferenciável de x: y=a u y'=u'a u ln a Exemplo: Encontre a derivada da função y=3 x² y'= 2x. 3 x². ln3 Para obtermos a derivada da função logarítmica de base diferente da base e temos que relembrar como é feita a mudança de base. No nosso caso, utilizaremos a mudança para a base e por ser mais útil. Da mudança de base log a x= log e x log e a =ln x ln a. Se o logaritmando for o número de euler e, teremos: log a e= log e e log e a =ln e ln a = 1 ln a. Se u for uma função diferenciável de x, então y= log a u y'= u' u. ln a Exemplo: Encontre a derivada da função logarítmica y= log 10 x 2 1 y'= 2x x²+1 ln10 ATIVIDADES 68. Encontre a derivada das funções abaixo. Utilize as propriedades de exponencial e de logaritmo quando for necessário. a) y= log x+1 10 x 2 1 b) f x =e nlnx c) f x =3 5x sen 2x d) f x =4 e) f x = 2 5x 3 4x 2 f) f x = x x

13 g) h x = log 10 x x h) f x = log a x i) f t =sec3 t2 j) f t =log 10 k) f x =x x 2 t t Regra da Cadeia Para obter a derivada de uma função composta, podemos utilizar as regras indicadas anteriormente ou a regra da cadeia descrita a seguir. Regra da Cadeia: Se f e g forem funções diferenciáveis e F= f g for a função composta definida por F x = f g x, então F é diferenciável e F é dada por F' x = f' g x g' x Na notação de Leibniz, se y=f u e u=g x forem diferenciáveis, então dy dx = dy du. du dx Exemplo: Seja F x = 4x onde g x = 4x² 1 F' x =3. 4x² 1 ². 8x F' x =24 x 4x² 1 ² Exemplo: y=sen x 2 3 y'= cos x²+ 3. 2x y'= 2xcos x²+ 3 ATIVIDADES 69. Usando a regra da cadeia, calcule a derivada das funções: a) g x = sen 2x b) f x = 2x 3 5x

14 c) h x = 2 x+1 5 d) f x = 2x 1 3 e) F x = x 2 4x 5 4 f) f x = x g) f u = 3u u 1 2 h) f x = 2x 5 1 4x 3 2 i) f x = 2x 1 3x 2 +x 2 3 j) f z = z2 5 3 z Derivadas de 2ª Ordem e Ordens Superiores Para obter a segunda derivada de uma função é necessário apenas determinar a derivada da primeira derivada. A terceira derivada é obtida pela derivada da segunda derivada, e assim por diante. Exemplo: Observe a função f(x) e sua primeira, segunda, terceira e subseqüentes derivadas. f x =x³ 5x² 3x 1 f' x =3x² 10 x+ 3 f '' x =6x 10 f ''' x =6 f 4 x =0 f 5 x =0 etc Em geral, funções polinomiais como essa vão para zero quando é feita a diferenciação separadamente. Já as funções racionais ficam cada vez mais confusas à medida que são obtidas as derivadas superiores. Exemplo: f x = x² 5 x+ 8 x+ 8 ² 59 f' x = x+ 8 ² f '' x = 118 x+ 8 ³

15 As derivadas superiores do seno e do cosseno são cíclicas. Exemplo: y=sen x y'= cos x y ''= sen x y '''= cos x y 4 =sen x Qual o significado das derivadas de ordem superior? Como já sabemos, a primeira derivada indica quão rápido uma função está mudando (crescendo ou decrescendo), isto é, indica sua inclinação. A segunda derivada diz quão rápida a primeira derivada (inclinação) está mudando. Uma terceira derivada indica quão rápida a segunda derivada está mudando, ou seja, quão rápido a razão da mudança da inclinação está mudando. Em geral, não é fácil compreender o significado das derivadas superiores. 4.8 Crescimento, Decrescimento, Concavidade e Pontos de Inflexão Os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrever o comportamento de uma função em um intervalo, à medida que percorremos seu gráfico da esquerda para a direita. Exemplo: Observe a função representada no gráfico abaixo. A função pode ser descrita como crescente nos intervalos,0 ] e [ 2,4 ], decrescente no intervalo [ 0,2 ] e constante no intervalo [ 4,. De modo geral, podemos afirmar que uma função diferenciável f é crescente em qualquer intervalo onde cada reta tangente ao gráfico tenha inclinação positiva, decrescente em qualquer intervalo onde cada reta tangente ao gráfico tenha inclinação negativa e constante em qualquer intervalo onde cada reta tangente ao gráfico tenha inclinação zero.

16 Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). a)se f' x 0 para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a, b]. b)se f' x 0 para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a, b]. c) Se f' x = 0 para todo valor de x em (a, b), então f é constante em [a, b]. Exemplo: Determine os intervalos nos quais a função f x = x² 4x 3 é crescente e os intervalos nos quais é decrescente. Primeiramente, vamos obter f' x. f' x = 2x 4 Para todo x<2 temos f' x 0 f é decrescente em,2 ]. Para todo x>2 temos f' x 0 f é crescente em [ 2,. Faça o gráfico da função apresentada neste exemplo e confirme os intervalos de crescimento e decrescimento da função f. Embora o sinal da derivada de f revele onde o gráfico de f é crescente ou decrescente, ele não revela a direção da curvatura do gráfico. Exemplo: O gráfico a seguir está crescendo em ambos os lados do ponto indicado, mas à esquerda está curvado para cima e à direita, para baixo. Nos intervalos em que o gráfico de f tiver uma curvatura para cima diremos que f é côncava para cima, e nos intervalos em que o gráfico tiver uma Teorema: Seja f diferenciável duas vezes em um intervalo aberto I. a) Se f '' x 0 para cada valor de x em I, então f é côncava para cima em I. b) Se f '' x 0 para cada valor de x em I, então f é côncava para baixo em I. curvatura para baixo diremos que f é côncava para baixo. Exemplo: Observe o gráfico da função f x =x³.

17 Podemos verificar no gráfico que f x =x³ é côncava para baixo no intervalo,0 e côncava para cima no intervalo 0,. A mesma constatação poderia ser obtida através do teorema citado enunciado anteriormente. Veja: f x = x³ f' x =3x² f '' x =6x f '' x 0 se x< 0 e f '' x 0 se x> 0 Para os pontos em que uma função muda de côncavo para baixo para côncavo para cima ou vice-versa há uma terminologia associada, a qual é definida a seguir. Definição: Se f é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto x 0 e muda de concavidade no ponto x 0,f x 0, então dizemos que o ponto x 0 do domínio, ou o ponto x 0,f x 0 do gráfico, é um ponto de inflexão de f. Exemplo: Considere a função f x = x³ 3x² 1. Usando as derivadas primeira e segunda de f, vamos determinar os intervalos nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo e localizar os pontos de inflexão. f x = x³ 3x² 1 f' x = 3x² 6x = 3x x 2 f '' x = 6x 6= 6 x 1 A análise de sinais dessas derivadas é mostrada nas tabelas a seguir:

18 INTERVALO 3x x 2 f' x CONCLUSÃO x< 0 f é crescente em,0 ] 0 < x< 2 f é decrescente em [ 0,2 ] x> 2 f é crescente em [ 2, INTERVALO 6 x 1 f '' x CONCLUSÃO x< 1 f é côncava para baixo em,1 x>1 f é côncava para cima em 1, A segunda tabela mostra que há um ponto de inflexão em x = 1, pois f muda de concavidade nesse ponto. O ponto de inflexão é 1, f 1 = 1, 1. A mesma conclusão poderia ser obtida através da análise do gráfico da função. ATIVIDADES 70) Em cada situação, esboce o gráfico de uma função f com as propriedades indicadas e discuta os sinais de f e f. a) A função f é côncava para cima e crescente no intervalo,+. b) A função f é côncava para baixo e crescente no intervalo,+. c) A função f é côncava para cima e decrescente no intervalo,+. d) A função f é côncava para baixo e decrescente no intervalo,+.

19 71) Seja f x = 0,1 x³ 3x² 9x. a) As soluções para f' x =0 são x =. b) A função f é crescente no(s) intervalo(s). c) A função f é côncava para baixo no(s) intervalo(s). d) é um ponto de inflexão do gráfico de f. 72) Em cada situação, use o gráfico de y = f(x) na figura abaixo para obter a informação requisitada. a) Indique os intervalos nos quais f é crescente. b) Indique os intervalos nos quais f é decrescente. c) Indique os intervalos nos quais f é côncava para cima. d) Indique os intervalos nos quais f é côncava para baixo. e) Indique todos os valores de x nos quais f tem um ponto de inflexão. 73) Para as funções abaixo apresentadas encontre: (i) os intervalos nos quais f é crescente; (ii) os intervalos nos quais f é decrescente; (iii) os intervalos nos quais f é côncava para cima; (iv) os intervalos nos quais f é côncava para baixo; (v) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. a) f x =x² 3x 8 b) f x = 2x 1 ³ c) f x = x x²+ 2 d) f x = 3 x²+x+ 1 e) f x =x ³ln x 4.9 Aplicações da Derivada Máximos e Mínimos

20 Se imaginarmos o gráfico de uma função como uma cordilheira bidimensional com morros e vales, então o topo dos morros e o fundo dos vales são chamados máximos e mínimos locais (relativos), respectivamente. Os máximos e os mínimos locais são os pontos mais altos e mais baixos em sua vizinhança próxima. Definição: Seja p um ponto no domínio de f: o f tem um mínimo local em p se f(p) é menor ou igual a todos os valores de f em todos os pontos perto de p. o f tem um máximo local em p se f(p) é maior ou igual a todos os valores de f em todos os pontos perto de p. o p é um ponto crítico de f se f (p) = 0 ou f (p) não está definida. o f(p) é um valor crítico de f se p é um ponto crítico da função f. Geometricamente, em um ponto crítico no qual f' p = 0, a reta tangente ao gráfico de f é horizontal (caso mais comum). Em um ponto no qual f' p não esteja definida (caso mais raro), não há tangente horizontal ao gráfico há uma tangente vertical ou não há tangente alguma. Se uma função é contínua em um intervalo do seu domínio, tem um máximo ou mínimo local em p, então p é um ponto crítico ou um extremo do intervalo. Observe nos gráficos abaixo, que uma função pode ter nenhum, um, dois ou mais pontos críticos.

21 Exemplo: Vamos encontrar todos os pontos críticos de f x = x³ 3x 1. A função f, por ser um polinômio, é diferenciável. Para determinar seus pontos críticos, precisamos primeiramente conhecer a derivada de f. f' x = 3x² 3 Agora, resolvemos a equação f' x = 0 3x² 3=0 3 x² 1 =0 3 x 1 x+ 1 =0 x 1=0 x 1=0 x=1 x= 1

22 Concluímos que os pontos críticos ocorrem em x = -1 e x = 1. A mesma conclusão poderia ser obtida pela observação do gráfico da função. Teste da primeira Derivada para Máximos e Mínimos Locais: Uma função f tem um extremo local naqueles pontos críticos em que sua derivada (f ) troca de sinal. Suponha que p é um ponto crítico de uma função contínua f. o Se f passa de decrescente a crescente em p, então f tem mínimo local em p. o Se f passa de crescente a decrescente em p, então f tem máximo local em p. Exemplo: Vamos retomar a função do exemplo anterior: f x = x³ 3x 1. Sabemos que ela possui pontos críticos em x = -1 e x = 1. O gráfico sugere que f tem um máximo local em x = -1 e um mínimo local em x = 1. Vamos confirmar isso pelo teste da derivada primeira. Iniciamos fazendo uma análise dos sinais dessa derivada. Intervalo 3 x 1 x+ 1 f' x x < -1-1 < x < 1 x > 1

23 O sinal de f' x muda de + para em x = -1, de modo que ocorre um máximo local nesse ponto. O sinal muda de para + em x = 1, de modo que ocorre um mínimo local nesse ponto. A concavidade do gráfico fornece uma maneira alternativa de distinguir entre mínimos e máximos locais. Teste da segunda Derivada para Máximos e Mínimos Locais: Suponha que p é um ponto crítico de uma função contínua f, e que f' p = 0. o Se f é convexa em p, f '' p 0, então f tem mínimo local em p. o Se f é côncava em p, f '' p 0, então f tem máximo local em p. o Se f '' p = 0, então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo local ou nenhum dos dois em p. Exemplo: Use o teste da segunda derivada para confirmar que f x =x³ 9x² 48 x+ 52 tem máximo local em x = -2 e mínimo local em x = 8. Fazendo a primeira derivação, temos: f' x = 3x² 18 x 48= 3 x 8 x+ 2 É fácil verificar que f' 8 = f' 2 = 0. Derivando novamente, temos: f '' x = 6x 18 Como f '' 8 = = =30 f' 2 = = 12 18= 30 o teste da segunda derivada confirma que x = 8 é um mínimo local e que x = -2 é um máximo local. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman, GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, HUGHES-HALLETT, D. [et al.]. Cálculo Aplicado. Rio de Janeiro: LTC, STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 2006.