CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior
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1 Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 4: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L Hôspital. Definir e calcular a aproximação linear de uma função derivável; Conhecer e determinar a diferencial; Apresentar e aplicar a Regra de L Hôspital. Aproximações Lineares Considere uma curva derivável f(x) e um ponto (p, f(p)) sobre ela. Em seguida, considere a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) (veja a figura abaixo), que possui equação L(x) = f(p) + f (p)(x p). Figura : Gráfico de uma função f. Se dermos um "zoom"na região próxima do ponto (p, f(p)), notamos que a curva se aproxima bastante da reta tangente, como podemos observar abaixo: Figura : Zoom no gráfico da função f. Figura 3: Zoom no gráfico da função f.
2 Cálculo I Aula n o 4 Dizemos então que a reta tangente é uma boa aproximação para o gráfico de f (de fato, num certo sentido, dizemos que a função L é a função polinomial de primeiro grau que melhor aproxima, localmente, a função f). Denotamos esta aproximação por f(x) L(x), para x suficientemente próximos de p. Assim, f(x) f(p) + f (p)(x p) Essa aproximação é chamada de aproximação linear de f em torno de p. A função dada por é chamada de linearização de f em p. L(x) = f(p) + f (p)(x p) Exemplo. Considere f(x) = sen x. Determine a linearização de f em p =. Utilize essa linearização para determinar uma aproximação de sen(,). Utilize uma calculadora para determinar o erro cometido. Note que f (x) = cos x e que f() = e f () =. Sendo assim, a linearização desejada é L(x) = f() + f ()(x ) = +.(x ) = x Assim, para determinar uma aproximação para sen(,), basta lembrar que L(x) f(x). Sendo assim, como L(,) =,, temos que sen(,), Utilizando uma calculadora, obtemos que sen(,),, Desse modo, o erro obtido na aproximação é de,6%. Exemplo. Na física, costuma-se trabalhar com aproximações lineares como a do exemplo anterior. Quando deduzimos a fórmula para o período de um pêndulo, encontramos a seguinte equação para a aceleração tangencial a T = g sen θ Sendo que em geral, utilizamos a aproximação linear acima e definimos que sempre que θ assume valores pequenos (próximos de zero), obtemos a T = gθ Exemplo 3. Encontre a linearização de f(x) = 5x em p =. Note que f (x) = 5 e que f() = = 8. Logo, L(x) = 8 + 5(x ) = 5x Observação. Quando se trata de uma função afim (polinomial de grau ), a linearização coincide com a própria função. Observação. Em geral, quando fazemos aproximações, cometemos algum tipo de erro, sendo importante sua determinação (ou ao menos saber estimá-lo!). No caso de aproximarmos uma função pela sua linearização, f(x) L(x) o erro cometido em x é dado por f(x) L(x) Exemplo 4. Encontre a aproximação linear da função g(x) = 3 + x em torno de x = e use-a para aproximar os números 3,95 e 3,. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior
3 Cálculo I Aula n o 4 Primeiramente, precisamos determinar a linearização de g(x). Sendo assim, note que g (x) = 3 3 ( + x). Logo, g () = e como g() =, temos que 3 L(x) = + 3 (x ) = + x 3 Assim, para valores de x próximos de x =, a aproximação linear é dada por 3 + x + x 3 Logo, 3,95 = 3,5 L(,5) =,5 =,95, e 3, = 3 +, L(,) = + 3 = 3 3,33333 Utilizando uma calculadora, podemos determinar o erro cometido nas aproximações acima. Dessa forma, observe que e f(,5) L(,5) = 3,95 L(,5),98347,983333,86 f(,) L(,) = 3, L(),38,33333,53 Exemplo 5. Encontre a linearização da função f(x) = em p = 7. Determine a aproximação linear x correspondente. Note que a derivada de f(x) é dada por f (x) =. Sendo assim, f(7) = x 4 e f (7) = 98. Portanto, L(x) = f(7) + f (7)(x 7) = 4 98 (x 7) = 7 x 98 A aproximação linear correspondente é dada por x 7 x 98 para valores de x próximos a 7. Diferencial Durante nosso estudo, destacamos que dy representa apenas uma notação para a derivada. O que dx faremos a seguir é interpretar dy como um quociente entre dois acréscimos. Consideremos o gráfico de dx uma função derivável y = f(x). Agora, tomemos um ponto (x, f(x)) sobre o gráfico e denotemos por x um acréscimo em x, como mostrado abaixo: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 3
4 Cálculo I Aula n o 4 Figura 4: Chamando dy a variação sofrida pela linearização L de f em p (cujo gráfico é a reta tangente ao gráfico de f em p!), correspondente ao acréscimo dx = x, a partir do ponto p, como ilustrado abaixo Figura 5: Lembrando que a derivada é o coeficiente angular da reta tangente, temos que e portanto Fazendo x = dx, obtemos que f (x) = tg α = dy x dy = f (x) x. () dy = f dy (x).dx ou simplesmente dx = f (x) () Na aula de número, exibimos a variação em y como sendo y = f(x + x) f(x) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4
5 Cálculo I Aula n o 4 e que a taxa de variação média da função f é dada por y x Como a taxa de variação instantânea de f em relação a x é dada pelo ite da taxa média de variação, tomando x cada vez mais próximo de zero e que este ite é a derivada, teremos que y x x = f (x) Logo, para x muito próximo de zero, podemos considerar y x f (x) ou ainda y f (x) x Dessa forma, para x = dx, obtemos a seguinte aproximação: y dy = f (x)dx (3) Segue então que dy é uma boa aproximação para y sempre que x for muito pequeno. Fixando x, podemos entender () como uma função que associa cada valor de dx R a um único dy R dado por dy = f (x)dx. Essa função é chamada diferencial de f em x ou de y = f(x). Vejamos alguns exemplos da utilização da diferencial. Exemplo 6. Compare os valores de y e dy se y = f(x) = x 3 + x x + e x varia de para, 5. Calculando y. Precisamos determinar f() e f(, 5). Sendo assim, e Logo, f() = = = 9 f(, 5) = (, 5) 3 + (, 5).(, 5) + = 9, 7765 y = f(, 5) f() =, 7765 Agora, faremos o cálculo de dy. Para isso, note que dx =, 5 =, 5. Logo, como f (x) = 3x +x, temos que dy = f (x)dx = (3x + x )dx Em particular, para x = e dx =, 5, obtemos que dy = f (x)dx = (3. +. ),5 = 4.,5 =,7 Exemplo 7. A aresta de um cubo tem cm, com um possível erro de medida de, cm. Use a diferencial para estimar o erro máximo possível no cálculo do volume do cubo. Observação 3. Definimos o erro absoluto cometido em uma medição como sendo E o erro relativo é dado por Valor Real Valor Medido ou aproximado Valor Real Valor Medido ou aproximado Valor Medido ou aproximado Se a medição de tais valores é dada por uma função y = f(x), então o erro absoluto é dado por y. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5
6 Cálculo I Aula n o 4 O volume de um cubo de aresta x é dado por V = x 3. O erro absoluto cometido no cálculo do volume do cubo é dado por V e o erro cometido na medição da aresta é dx =,. Dessa forma, utilizando a aproximação V dv, temos que uma aproximação para o valor de V é: dv = V ().dx = 3. n., = 3 Então, o erro máximo no cálculo do volume é de 3cm 3. O erro relativo é dado por ε = 3 V () = 3 =,3 Logo o erro cometido é de 3%. Exemplo 8. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo y que a função y = x sofre quando passa de x = a x =,. Calcule o erro cometido na aproximação. A diferencial de y é dada por dy = f (x)dx = xdx. Em x =, temos que dy = dx. Como dx =,, então dy =, O erro que se comete na aproximação y dy é dado por y dy Como y = (, ) =,, então o erro cometido na aproximação é dado por,, =, = 6. 3 Regra de l Hôspital A regra de l Hôspital, que enunciaremos a seguir, aplica-se a cálculos de ites que apresentam indeterminações do tipo e. Teorema (Regra de l Hôspital). Suponha que f e g sejam deriváveis e g (x) em um intervalo aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que: ou que Então f(x) = e x a f(x) = ± e x a g(x) = x a g(x) = ±. x a f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x) se o ite do lado direito existir (ou for + ou ). Em outras palavras: A Regra de l Hôspital diz que o ite de uma função quociente é igual ao ite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas sejam satisfeitas. É muito importante verificar as condições relativas aos ites de f e g antes de usar a Regra de l Hospital. Observação 4. A Regra de l Hôspital é válida também para os ites laterais e para os ites no infinito. Exemplo 9. Calcule x 3 8 x x. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6
7 Cálculo I Aula n o 4 Note que Exemplo. Calcule Note que x 3 8 x x = x 3 8 x x = x 3x =. x x 5 6x 3 + 8x 3 x 4. x 5 6x 3 + 8x 3 x x 4 = x 5 6x 3 + 8x 3 (x 5 6x 3 + 8x 3) 5x 4 8x + 8 x x 4 = x (x 4 ) = x 4x 3 = 5 4. Exemplo. Calcule Note que x sen(ax). x sen(ax) = x x sen(ax) a. cos(ax) = = a. x x x Observação 5. Algumas vezes é necessário aplicarmos várias vezes a Regra até einarmos a indeterminação, como no exemplo a seguir. Exemplo. Calcule Veja que x x 4 x 3 3x + 5x x 3 3x. + 3x x 4 x 3 3x + 5x x x 3 3x = + 3x x 4 x 3 3x + 5x 4x 3 3x 6x + 5 x x 3 3x = + 3x x 3x = 6x + 3 Aplicando novamente a Regra de l Hôspital no resultado anterior, temos: 4x 3 3x 6x + 5 x 6x 6 x 3x = = 6x + 3 x 6x 6 Aplicando mais uma vez a Regra de l Hôspital no resultado anterior, temos: x 6x 6 4x 6 = = 8 x 6x 6 x 6 6 = 3. [ ] Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7
8 Cálculo I Aula n o 4 Exemplo 3. Calcule tg(x) x x x 3. Como x tg(x) x = e x x 3 =, temos que: Aplicando a Regra de l Hôspital, temos que: tg(x) x x x 3 = tg(x) x sec (x) x x 3 = x 3x = Aplicando a Regra de l Hôspital no resultado anterior, temos: sec (x) sec (x) tg(x) x 3x = = x 6x 3.tg(x) = x 3.tg(x) = x 3. sec (x) = 3. Observação 6. É importante verificar se o quociente de fato tem a forma ou regra, para não incorrermos em erro. antes de aplicarmos a Exemplo 4. Calcule Temos que: Portanto, não há indeterminação. x π x π cos(x). cos(x) = =. Exemplo 5. Calcule Veja que: ( x x ). ( x x ) = [ ] e portanto nada podemos afirmar inicialmente. Observe, no entanto, que ( x x ) [ ] x = = x x Aplicando então a Regra de l Hôspital, temos x cos(x) = x x x + x cos(x) = Aplicando então novamente a Regra de l Hôspital, obtemos x cos(x) + x cos(x) = x cos(x) + cos(x) x = =. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 8
9 Cálculo I Aula n o 4 Exemplo 6. Calcule Note que ( ) x ln. x + x + Pela regra de l Hôspital, temos que x + x + x x + x x + = [ ] + + = x + = Logo, como g(u) = ln u é contínua em u =, temos que ( ) x ln = ln = x + x + Exemplo 7. Calcule Observe que ( x + x ). ( x + x ) = [ ] Portanto inicialmente nada podemos concluir. No entanto, reescrevendo o ite dado, obtemos ( x + x ) ) = ( x + x x. Temos agora que x + x = +. Como, utilizando a Regra de l Hôspital, temos que segue que e portanto que Exemplo 8. Calcule Como vamos reescrever o ite dado: (sec(x) tg(x)) = x π x x + = x x + cos(x) = =, ) ( x = = x + ) ( x + x x = [+ ] = +. (sec(x) tg(x)). x π (sec(x) tg(x)) = [ ] x π ( x π cos(x) ) cos(x) x π cos(x) cos(x) = x π = =. = = x π cos(x) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 9
10 Cálculo I Aula n o 4 Exemplo 9 (Limite Trigonométrico Fundamental). Verifique, utilizando a Regra de L Hôspital, que =. x x Observe que Aplicando a Regra de l Hôspital, temos = x x. cos(x) = =. x x x Exemplo. Calcule o ite: Note que Logo, pela Regra de l Hôspital, temos que Aplicando novamente a regra, obtemos que e x x x 3 e x x x 3 = [ ] + e x x x 3 = e x x 3x = e x e x x 3x = x 6x = Finalmente, utilizando a Regra uma última vez, temos que [ ] + [ ] + e x x 6x = e x x 6 = Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 6 9 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 9 3 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior
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