Capítulo 1. Limites nitos. 1.1 Limite nito num ponto

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1 Capítulo 1 Limites nitos 1.1 Limite nito num ponto Denição 1. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Dizemos que a função f possui ite nito no ponto p se existe um número real l tal que as imagens f(x podem ser tomadas próximas do valor l, o quanto se queira (o quanto se deseje, bastando para isso tomarmos valores de x D f valor p. Equivalentemente, temos: (diferentes de p sucientemente próximos do existe um número real l tal que tomando valores de x D f (diferentes de p próximos do valor p, as imagens f(x tomam valores próximos do valor l. Além disso, quanto mais próximo os valores de x D f estão de p, então mais próximos os valores de f(x estão de l. Neste caso, diremos que l é o ite da função f no ponto p e o denotaremos pelo símbolo ou ainda, f(x = l, f(x l, quando x p. 1

2 2 CAPÍTULO 1. LIMITES FINITOS Proposição 1. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Se a função f possui ite l no ponto p, então esse ite está univocamente determinado. 1.2 A álgebra dos ites nitos num ponto Proposição 2. Sejam funções f, g : D R R, x y = f(x e y = g(x, e p R tal que p D ou p é um ponto da extremidade de D. Se as funções f e g possuem ites nitos no ponto p, então: i a função soma f + g : D R R, x y = (f + g(x, onde (f + g(x = f(x + g(x, possui ite nito no ponto p e (f + g(x = f(x + g(x; ii a função produto por um escalar cf : D R R, x y = (cf(x, onde possui ite nito no ponto p e (cf(x = cf(x, para c R, (cf(x = c f(x; iii a função produto fg : D R R, x y = (fg(x, onde (fg(x = f(xg(x, possui ite nito no ponto p e (fg(x = f(x g(x; iv se a função g(x 0, para todo x D, e x p g(x 0, então a f ( f função quociente g : D R R, x y = (x, onde g ( f (x = f(x g g(x, possui ite nito no ponto p e ( f (x = x p f(x g x p g(x.

3 1.3. LIMITES E FUNÇÕES COMPOSTAS Limites e funções compostas Teorema 1. Sejam funções f : D f R R, x y = f(x, e g : D g R R, x y = g(x, vericando a condição Im(f D g. Seja um ponto p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f vericando as propriedades: i x p f(x = l; ii f(x l, para todo x D f. Se o ponto l R satisfaz as condições: iii l D g ou l é um ponto da extremidade de D g ; iv y l g(y = m, então a função composta g f : D f R, x y = (g f(x, onde (g f(x = g ( f(x, possui ite nito no ponto p e (g f(x = m. Teorema 2. As seguintes armações valem: (i Se P = P (x é uma função polinômial e p é um número real arbitrário, então P (x = P (p. (ii Se n é um inteiro positivo par e p é um número real não negativo arbitrário, então n x = n p. (ii Se n é um inteiro positivo par e p é um número real arbitrário, então n x = n p.

4 4 CAPÍTULO 1. LIMITES FINITOS 1.4 Teorema do confronto Teorema 3. Sejam funções f, g, h : D R R, x y = f(x, y = g(x e y = h(x, e p R tal que p D ou p é um ponto da extremidade de D. Suponhamos que f(x g(x h(x, para todo x D. Se as funções f e h possuem ites nitos no ponto p e f(x = h(x = l, então a função g também possui ite nito no ponto p e g(x = l. Teorema 4. Sejam funções f, g : D R R, x y = f(x e y = g(x, e p R tal que p D ou p é um ponto da extremidade de D. Suponhamos que a função g seja itada em D, isto é, possui a propriedade: existe um número real positivo M tal que, g(x M ( M g(x M, para todo x D. Se a função f possue ite nito no ponto p e f(x = 0, então a função produto fg também possui ite nito no ponto p e f(xg(x = Limite lateral nito num ponto Denição 2. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Dizemos que a função f possui ite lateral a direita (respec., esquerda nito no ponto p se existe um número real l tal que as imagens f(x podem ser tomadas próximas do valor l, o quanto se queira (o quanto se deseje, bastando para isso tomarmos valores de x D f do valor p e sucientemente próximos de p. (diferentes de p a direita (respec., esquerda

5 1.6. A ÁLGEBRA DOS LIMITES LATERAIS FINITOS NUM PONTO 5 Equivalentemente, temos: existe um número real l tal que tomando valores de x D f (diferentes de p a direita (respec., esquerda do valor p e próximos de p, as imagens f(x tomam valores próximos do valor l. Além disso, quanto mais próximo os valores de x D f estão de p, então mais próximos os valores de f(x estão de l. Neste caso, diremos que l é o ite lateral a direita (respec., esquerda da função f no ponto p e o denotaremos pelo símbolo ou ainda, f(x = l (respec., + f(x = l, f(x l, quando x p + (respec., f(x l, quando x p. Proposição 3. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Se a função f possui ite lateral a direita (respec., esquerda l no ponto p, então esse ite está univocamente determinado. 1.6 A álgebra dos ites laterais nitos num ponto Proposição 4. Sejam funções f, g : D R R, x y = f(x e y = g(x, e p R tal que p D ou p é um ponto da extremidade de D. Se as funções f e g possuem ites laterais a direita nitos no ponto p, então: i a função soma f + g : D R R, x y = (f + g(x, onde (f + g(x = f(x + g(x, possui ite lateral a direita nito no ponto p e +(f + g(x = f(x + g(x; + + ii a função produto por um escalar cf : D R R, x y = (cf(x, onde (cf(x = cf(x, para c R, possui ite lateral a direita nito no ponto p e +(cf(x = c f(x; +

6 6 CAPÍTULO 1. LIMITES FINITOS iii a função produto fg : D R R, x y = (fg(x, onde (fg(x = f(xg(x, possui ite lateral a direita nito no ponto p e +(fg(x = f(x g(x; + + iv se a função g(x 0, para todo x D, e x p + g(x 0, então a f ( f função quociente g : D R R, x y = (x, onde g ( f (x = f(x g g(x, possui ite lateral a direita nito no ponto p e ( f (x = x p + f(x + g x p + g(x. Observação 1. A Proposição 4 também é válida quando substituimos a condição "lateral a direita"pela condição "lateral a esquerda". 1.7 Caracterização do ite nito num ponto Teorema 5. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. A função f possui ite nito l no ponto p, isto é, f(x = l se, e somente se, função f possui os seus dois ites laterais (a direita e a esquerda nitos e iguais a l nesse mesmo ponto p, isto é, 1.8 Continuidade f(x = l = f(x. + Denição 3. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Dizemos que a função f é contínua no ponto p se f verica as seguintes condições:

7 1.8. CONTINUIDADE 7 i p D f ; ii existe o ite f(x; iii f(x = f(p. Proposição 5. Sejam funções f, g : D R R, x y = f(x e y = g(x, e p R tal que p D ou p é um ponto da extremidade de D. Se as funções f e g são contínuas no ponto p, então as funções soma f + g, função produto por um escalar cf e a função produto fg são também contínuas no ponto p. Além disso, se a função g(x 0, para todo x D, então a função quociente f é também contínua no ponto p. g De fato, pois se f(x = f(p e g(x = g(p, então (f + g(x = f(x + g(x = f(p + g(p = (f + g(p; (cf(x = c f(x = cf(p = (cf(p; ( f g (fg(x = f(x g(x = f(pg(p = (fg(p; (x = x p f(x x p g(x = f(p g(p = ( f g (p. Denição 4. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x e I D f um intervalo. Dizemos que a função f é contínua no intervalo I se f é contínua em todo ponto p de I. Teorema 6. Todas as funções polinômiais são contínuas em R. Teorema 7. Para todo número real a( 1 > 0 : i as funções exponênciais de base a são contínuas em R; ii as funções logarítmicas de base a são contínuas em ]0, + ]. Teorema 8. As funções trigonométricas seno e co-seno são contínuas em R.

8 8 CAPÍTULO 1. LIMITES FINITOS 1.9 Aplicações Teorema 9. Os seguintes ites valem: a x 1 x 0 x ( = log e a, x sin x = e e x + x x 0 x = 1. Teorema 10. Se f(x = 0, então sin f(x f(x = 1 e a f(x 1 f(x 1.10 Limite nito no innito = log e a. Denição 5. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e a R tal que ]a, + [ D f (respec., ], a[ D f. Dizemos que a função f possui ite nito no innito + (respec., se existe um número real l tal que as imagens f(x podem ser tomadas próximas do valor l, o quanto se queira (o quanto se deseje, bastando para isso tomarmos valores crescentes (respec., decrescentes de x D f, sucientemente grandes em valores absolutos. Equivalentemente, temos: existe um número real l tal que tomando valores crescentes (respec., decrescentes de x D f, sucientemente grandes em valores absolutos,as imagens f(x tomam valores próximos do valor l. Além disso, quanto maiores são os valores absolutos de x D f, então mais próximos os valores de f(x estão de l. Neste caso, diremos que l é o ite da função f no ponto p e o denotaremos pelo símbolo ou ainda, f(x = l (respec., x + f(x = l, x f(x l, quando x + (respec. f(x l, quando x.

9 1.11. A ÁLGEBRA DOS LIMITES FINITOS NO INFINITO 9 Proposição 6. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e a R tal que ]a, + [ D f (respec., ], a[ D f. Se a função f possui ite l no innito + (respec.,, então esse ite está univocamente determinado A álgebra dos ites nitos no innito Proposição 7. Sejam funções f, g : D R R, x y = f(x e y = g(x, e a R tal que ]a, + [ D f. Se as funções f e g possuem ites nitos no innito +, então: i a função soma f + g : D R R, x y = (f + g(x, onde (f + g(x = f(x + g(x, possui ite no innito + e (f + g(x = f(x + g(x; x + x + x + ii a função produto por um escalar cf : D R R, x y = (cf(x, onde possui ite no innito + e (cf(x = cf(x, para c R, (cf(x = c f(x; x + x + iii a função produto fg : D R R, x y = (fg(x, onde (fg(x = f(xg(x, possui ite nito no innito + e (fg(x = f(x g(x; x + x + x + iv se a função g(x 0, para todo x D, e x + g(x 0, então a f ( f função quociente g : D R R, x y = (x, onde g ( f (x = f(x g g(x, possui ite nito no innito + e ( f (x = x + f(x x + g x + g(x.

10 10 CAPÍTULO 1. LIMITES FINITOS Observação 2. A Proposição 7 também é válida quando substituimos o símbolo + pelo síbolo.

11 Capítulo 2 Limites innitos 2.1 Limite innito num ponto Denição 6. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Dizemos que a função f possui ite innito no ponto p se podemos tomar valores crescentes (respec., decrescentes das imagens f(x, o quanto se queira (o quanto se deseje, bastando para isso tomarmos valores de x D f (diferentes de p sucientemente próximos do valor p. Equivalentemente, temos: tomando valores de x D f (diferentes de p próximos do valor p, as imagens f(x tomam valores crescentes (respec., decrescentes. Além disso, quanto mais próximo os valores de x D f estão de p, maiores são os valores de f(x, em valor absoluto. Neste caso, diremos que + (respec., é o ite da função f no ponto p e o denotaremos pelo símbolo ou ainda, f(x = + (respec.,, f(x + (respec.,, quando x p. 11

12 12 CAPÍTULO 2. LIMITES INFINITOS 2.2 Limite lateral innito num ponto Denição 7. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Dizemos que a função f possui ite lateral a direita (respec., esquerda innito no ponto p se podemos tomar valores crescentes (respec., decrescentes das imagens f(x, o quanto se queira (o quanto se deseje, bastando para isso tomarmos valores de x D f (diferentes de p a direita (respec., esquerda do valor p e sucientemente próximos de p. Equivalentemente, temos: tomando valores de x D f (diferentes de p a direita (respec., esquerda do valor p e próximos de p, as imagens f(x tomam valores crescentes (respec., decrescentes. Além disso, quanto mais próximo os valores de x D f estão de p, maiores são os valores absolutos de f(x. Neste caso, diremos que + (respec., é o ite lateral a direita (respec., esquerda da função f no ponto p e o denotaremos pelo símbolo (respec., f(x = + (respec., + f(x = + (respec., f(x =, + f(x =. 2.3 Caracterização do ite innito num ponto Teorema 11. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. A função f possui ite innito + (respec., no ponto p, isto é, f(x = + (respec.,. se, e somente se, função f possui os seus dois ites laterais (a direita e a esquerda innitos + (respec., nesse mesmo ponto p, isto é, f(x = f(x = + (respec.,. +

13 2.4. LIMITE INFINITO NO INFINITO Limite innito no innito Denição 8. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e a R tal que ]a, + [ D f (respec., ], a[ D f. Dizemos que a função f possui ite innito no innito + (respec., se podemos tomar valores crescentes (respec., decrescentes das imagens f(x, o quanto se queira (o quanto se deseje, bastando para isso tomarmos valores crescentes (respec., decrescentes de x D f, sucientemente grandes em valores absolutos. Equivalentemente, temos: tomando valores crescentes (respec., decrescentes de x D f, sucientemente grandes em valores absolutos, as imagens f(x tomam valores crescentes (respec., decrescentes. Além disso, quanto maiores são os valores absolutos de x D f, maiores são os valores absolutos de f(x. Neste caso, diremos que + (respec., é o ite da função f no + (respec., e o denotaremos pelo símbolo (respec., f(x = + (respec., x + f(x = + (respec., x f(x =, x + f(x =. x

14 14 CAPÍTULO 2. LIMITES INFINITOS

15 Capítulo 3 Derivadas 3.1 Motivação Velocidade instantânea de um móvel Consideremos um móvel (m deslocando-se numa via. Suponhamos que o espaço percorrido (s pelo móvel, em função do tempo (t, seja dado por uma função s = s(t, que indica o espaço percorrido pelo móvel, decorrido t unidades de tempo. Dado um intervalo de tempo [t 0, t], então denimos a velocidade média de m, no intervalo [t 0, t], como sendo o valor s(t s(t 0 t t 0. A velocidade média de m, no intervalo [t 0, t], nos da uma idéia da rapidez (média que o móvel deve deve ter, para percorrer o espaço s(t s(t 0 no intervalo de tempo t t 0. No entanto, a velocidade média de um móvel (m não nos informa o que possa ter ocorrido em cada momento, entre os tempos t 0 e t. Para reduzirmos esse problema, podemos diminuir o intervalo de tempo em questão. Assim, o valor s(t s(t 0. t t 0 t t 0 no indicará uma velocidade, relativo a um intervalo que se reduz a um único momento, a saber: o tempo t 0. 15

16 16 CAPÍTULO 3. DERIVADAS Intuitivamente, esse valor indica uma velocidade instantânea num ponto, isto é, uma velocidade no tempo t Reta tangente a um ponto de uma curva Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p D f. Figura 3.1: Reta tangente t, em um ponto (p, f(p, do gráco de uma função f 3.2 Derivada num ponto Denição 9. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p D f. Dizemos que a função f possui derivada ponto p ou que é derivável no ponto p se existe o ite nito no ponto p, abaixo: x p f(x f(p. x p Nesse caso, denotaremos o valor do ite pelos símbolos f (p, df(x df (p ou dx dx (p.

17 3.3. REGRAS DE DERIVAÇÃO 17 Assim, f (p = x p f(x f(p x p ( = df(x dx (p. Observação 3. 1 No cálculo da derivada de uma função num ponto p, tomando x p = h, teremos x = p + h implicando em f (p = x p f(x f(p x p = h 0 f(p + h f(p. h 2 Em geral, substituimos o ponto p pelo ponto x, cando f (x = h 0 f(x + h f(x. h Proposição 8. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p D f. Se a função f é derivável no ponto p, então ela é contínua nesse ponto. Demonstração. De fato, f(x = = ( f(x f(p + f(p ( f(x f(p ( (x p = 0 f (p + f(p = f(p. x p + f(p 3.3 Regras de derivação Proposição 9. Sejam funções f, g : D R R, x y = f(x e y = g(x, e p D. Se as funções f e g são deriváveis no ponto p, então: i a função soma f + g : D R R, x y = (f + g(x, onde (f + g(x = f(x + g(x, é derivável no ponto p e (f + g (p = f (p + g (p;

18 18 CAPÍTULO 3. DERIVADAS ii a função produto por um escalar cf : D R R, x y = (cf(x, onde é derivável no ponto p e (cf(x = cf(x, para c R, (cf (p = cf (p; iii a função produto fg : D R R, x y = (fg(x, onde (fg(x = f(xg(x, é derivável no ponto p e (fg (p = f (pg(p + f(pg (p; iv se a função g(x 0, para todo x D, então f ( f a função quociente g : D R R, x y = g ( f (x = f(x g g(x, é derivável no ponto p e ( f g (p = f (pg(p f(pg (p [g(p] 2. Proposição 10. Valem as seguintes regras de derivações: i (x n (p = np n 1 ; (x, onde ii iii iv v vi vii (a x (p = a p ln a; ( log a x (p = 1 p ln a ; ( sin x (p = cos p; ( cos x (p = sin p; ( tan x (p = sec 2 p; ( cot x (p = csc 2 p.

19 3.4. DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS Derivadas de funções compostas Teorema 12. Sejam funções f : D f R R, x y = f(x, e g : D g R R, x y = g(x, vericando a condição Im(f D g e p D f. Se f é derivável no ponto p ( D f e g é derivável no ponto f(p ( D g, então a função composta g f : D f R, x y = (g f(x, onde (g f(x = g ( f(x, para todo x D f, é derivável no ponto p e vale a seguinte regra de derivação (g f (p = g ( f(p f (p. Proposição 11. Valem as seguintes regras de derivações: ( i f n (x (p = nf(p n 1 f (p; ii iii iv v vi vii (a f(x (p = a f(p f (p ln a; ( log a f(x (p = f (p f(p ln a ; ( sin f(x (p = cos f(p f (p; ( cos f(x (p = sin f(p f (p; ( tan f(x (p = sec 2 f(p f (p; ( cot f(x (p = csc 2 f(p f (p.