13. Taxa de variação Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão relacionados com taxa de variação.

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1 3. Taxa de variação Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão relacionados com taxa de variação. Definição : Taxa de variação média. Considere x variável independente e y variável dependente. Taxa de variação média de A(x,y ) para B(x,y ) é calculada por: y y y tvm = x x x O coeficiente angular de uma reta é uma taxa de variação, velocidade e aceleração de um móvel são taxas de variação. Se quisermos estudar a variação da variável dependente quando a independente varia, temos uma taxa de variação. Definição : Taxa de variação Instantânea. Considere x variável independente e y variável dependente. Taxa de variação instantânea em A(x,y para B(x,y) é a variação da variável dependente quando a variação da variável independente tende a zero, para medir-se a taxa de variação no instante x = x. y y y tvi = lim lim z x x x x x Se quisermos a taxa de variação instantânea numa função dada, tem-se y=f(x) e y = f(x, e: f(x) f(x f(x ) f(x tvi = lim ou tvi = lim x x x x Exemplo: A tabela abaixo representa a altura de uma bola em relação ao solo t segundos após seu lançamento. t(seg),5,5 (m) 6,5 8 7,5 4 Calcule as seguintes velocidades médias: (a) de t =,5 para t = (b) de t = para t =,5 Nesse caso não teríamos como calcular a velocidade instantânea em t =, pois não temos a lei da função que relaciona a altura da bola com o tempo decorrido. Exemplo: Considere que altura da bola é descrita pela função: (t) = -5t² + t + Determine a velocidade instantânea da bola em t = s. IFRS CAMPUS RIO GRANDE

2 4. Interpretação geométrica da taxa de variação instantânea No gráfico abaixo constam o gráfico da função real f(x); os pontos P(x,f(x ) e Q(x,f(x)); a reta s que passa por P e Q e o triângulo retângulo PAQ, que define o coeficiente angular da reta s. Deste modo, o coeficiente y angular da reta s é dado por a = tan =. Ou seja, o coeficiente angular x da reta secante é a taxa de variação média da função entre P e Q. x = x =,6 x =,4 x =, A medida que diminuímos x, ou melor, fazemos x, observamos que Q P e assim, no limite, a reta secante é a reta tangente à função no ponto P. Ou seja, a taxa de variação instantânea no ponto x = x é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P(x,f(x ). Exemplo: Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = -x²+ 4x + no ponto em que x =. Por definição reta tangente a uma curva e a curva interseccionam-se em apenas um ponto. IFRS CAMPUS RIO GRANDE

3 5. Derivada Matemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo Definição : A derivada de uma função, cuja lei é y = f(x), num ponto em que x = x é: f(x) f(x f(x f'(x lim ou f (x x x ) f(x = lim x x Se o limite existir a função é dita derivável em x = x. Se o limite não existir, assim, a função não é derivável em x = x = x. dy df Notações: f (x, y (x, (x ), (x ) Observação muito importante: A derivada de uma função num ponto é definida como a taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto e ainda é o coeficiente angular da reta tangente à função no mesmo ponto. Exemplo:. Calcule a derivada da função, cuja lei é f(x) = x² - 9 nos pontos: (a) x = (b) x =. Calcule a derivada da função f(x) = senx no ponto x =. Em vez de calcularmos n vezes limites muito semelantes, podemos definir a função derivada f (x) e se precisarmos calcular em pontos específicos apenas substituir valores de x. Definição : Função derivada. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio, f é dita derivável e a função derivada f é a função resultante do seguinte limite: f(x ) f() f (x) = lim Exemplo: Calcule as funções derivadas das funções, cujas leis são: (a) f(x) = IFRS CAMPUS RIO GRANDE 3

4 (b) f(x) = 3x + 8 Matemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo (c) f(x) = x² 6. Funções não deriváveis Existem funções que não possuem derivadas em alguns pontos e também que não são deriváveis em nenum ponto. Vamos analisar a característica geométrica da função que não é derivável em algum ponto. Como sabemos, a derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado. Para a derivada não existir, o limite que a define não existe, ou seja: f(x) f(x f(x) f(x lim lim x x x x x x x x O coeficiente da reta tangente que se aproxima do ponto em que x = x pela esquerda é diferente do coeficiente da reta tangente que se aproxima pela direita. Assim temos duas retas tangentes distintas para o mesmo ponto. Quando isso acontece? Observe o gráfico ao lado. A reta a (azul) é a reta tangente ao gráfico no ponto A(, pela esquerda. A reta b (vermela) é a reta tangente ao gráfico no ponto A pela direita. O gráfico possui um bico neste ponto, assim como no ponto B(-,. A função f não é derivável nos pontos A e B. Para uma função ser derivável o comportamento do gráfico não pode ter mudanças abruptas. Outro fator que torna uma função não derivável num ponto é a descontinuidade. Pelo mesmo motivo dos bicos, quando a função é descontínua num ponto, as retas tangentes pela esquerda e pela direita deste ponto não coincidem. No gráfico à esquerda, a função é descontinua no ponto O(,. A reta tangente à função no ponto O pela esquerda IFRS CAMPUS RIO GRANDE 4

5 é a reta orizontal d (verde) e a reta tangente à função no ponto O pela direita é a reta vertical e (vermela). Também não é derivável. Proposição 4: Se a função y = f(x) não é contínua no ponto x = x, então f(x) não é derivável no ponto x= x. Corolário 5: (Contra recíproca) A função derivável no ponto x = x é contínua no ponto x = x. Outra possibilidade é a derivada, resultado do limite, ser infinita. Como a derivada num ponto é o coeficiente angular da reta tangente à curva neste ponto, e o coeficiente angular é a= tan, temos tan =, assim o possível seria de 9º. Assim sendo, se num ponto a derivada é infinita, quer dizer que a reta tangente à curva neste ponto é vertical. 7. Formulário de derivadas. Na medida que resolvermos a função derivada para funções básicas, temos como aplicar para toda função do mesmo tipo, dando origem a uma espécie de formulário. Por exemplo, a derivada da função f(x) = é f (x) =, e se f(x) = 3, f(x) = -, ou melor, se f(x) = k, k R? Proposição : Funções derivadas de funções básicas: dy (a) y = k, k R dy (b) y = x (c) u = f(x) d(au) du a (d) u = f(x) e v = g(x) d(u v) du dv (e) y = x n dy nx n- (f) u = f(x) e v = g(x) d(u v) dv u du v (g) u = f(x) e v = g(x) d u v v du v² dv u Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo: (a) f(x)= x³ - x + IFRS CAMPUS RIO GRANDE 5

6 (b) g(x)= (x + 3)(4x² - 3) (c) (x) = x 3 4x (d) f(x)= (x³ - x +)² (e) g(x)= (x +)³ (f) (x)= x 3x² 5 A próxima proposição é fundamental. A derivada de funções compostas, ou melor, se conecemos duas funções u=f(x) e v=g(x), se soubermos as derivadas f (x) e g (x), qual é a derivada da função fog(x)? Proposição : Regra da cadeia Suponamos que sejam deriváveis a função u = f(x) e v = g(x) em relação à variável x, sendo elas f (x) e g (x), então: fog (x)= f (g(x)).g (x) IFRS CAMPUS RIO GRANDE 6

7 Demonstração: f(g(x )) f(g(x)) (f g(x )) (f g(x)) g(x ) g(x) fog (x)= lim = lim. g(x ) g(x ) (f g(x )) (f g(x)) g(x ) g(x) f(g(x )) f(g(x)) g(x ) g(x) lim. lim.lim () g(x ) g(x) g(x ) g(x) g(x ) g(x) f(g(x )) f(g(x)) Sabemos que lim =g (x). Precisamos resolver: lim g(x ) g(x) Faremos uma troca de variáveis: t = g(x+) g(x). Com, teremos t. Isolando g(x+) = g(x) + t. Substituindo isso no limite: f(g(x) t) f(g(x)) f(g(x) t) f(g(x)) lim lim f'(g(x)). t g(x) t g(x) t t Voltando a (): f(g(x )) f(g(x)) g(x ) g(x) fog (x)= lim.lim =f (g(x)).g (x) g(x ) g(x) Observação:. Sabendo as derivadas f (x) e g (x), a derivada da composta é o produto de derivada de f, substituindo x por g(x), por g (x).. Toda essa demonstração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g (x). Ela é fundamental, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA. 3. No formulário encontrarás a regra da cadeia na fórmula, mas ela está presente em todas as derivadas seguintes. Corolário 3: Seja v = g(x) e f(x)=x n, considerando a função g(x) derivável e dv g (x)=, então a derivada da função fog(x)=f(g(x))=v n é dada por: d n (v n dv ) nv. (F 7) Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo: (a) f(x)= (x + ) (b) g(x)= 4x² 3 Observe o formulário, da fórmula em diante, todas têm a regra da cadeia embutida. Por exemplo, se fizermos a derivada da função f(x) = cosx, obteremos f (x)= - senx. Mas se fizermos a composta dessa função, com a função g(x)= 3x, ou g(x)=x², ou ainda g(x)=lnx, qualquer que seja g(x)=v. Assim d(cos v) dv teremos a fórmula 8: senv.. Faça os exemplos abaixo, procurando no formulário a derivada adequada. IFRS CAMPUS RIO GRANDE 7

8 Exemplos: Calcule as derivadas das funções abaixo: (a) g(x)= 3 x- (b) f(x)= ln(x -) (c) (x)= sen(5x-4) (d) g(x)= 3 x-.cos(x) (e) f(x)= tan(4x) e x (f) g(x)= arctan( 3x ) IFRS CAMPUS RIO GRANDE 8

9 (g) (x)= ln(sen(3x)) Matemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo ln5x () g(x)= x (i) f(x)= arcsen(cos(3x)) IFRS CAMPUS RIO GRANDE 9

10 8. Derivadas sucessivas O princípio é simples. Dizemos que derivada segunda de uma função é a derivada da função derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada segunda e assim por diante. d f Notação: Para derivada segunda (derivada da derivada) f" y" 3 d f Para derivada terceira (derivada da derivada segunda) = f = y 3 Exemplo: Determine as derivadas indicadas: (a) Derivada segunda de f(x)= (x + ) (b) Derivada quinta de f(x)= arcsen(cos(5x)) A aplicação da existência da derivada e das derivadas sucessivas serão estudados mais profundamente na disciplina de Matemática II / Cálculo II. 9. Exercícios Observação: Procure mais exercícios em livros de cálculo I. Em relação às funções abaixo, calcule as derivadas nos pontos indicados se existirem: - f(x) = x³ determine f () 3- f(x) = x determine f () - f(x) = x²+ x determine f () 4- f(x) = x² determine f ( Determine a equação da reta tangente às funções abaixo, nos pontos indicados: 5- f(x) = x²- 3x 4 no ponto em que x = - 6- f(x) = x no ponto em que x = 7- f(x) = x no ponto em que x = 5 IFRS CAMPUS RIO GRANDE

11 8- Um projétil é lançado de um penasco de,5 metros de altura. O deslocamento s, em metros, do projétil em função do tempo t, em segundos, é descrito pela função s(t)=4,9t², determine a velocidade e a aceleração do projétil nos instantes: (a) t = s (b) t = s (c) t = 3 s (d) Em que atinge o solo. Determine as funções derivadas das funções abaixo: 9- f(x) = 3x(8x³-) - g(x) = x x² 3 - (x) = 3 6x² 7x - f(x) = e (x³+)³ 3- g(x) = x ln(x ) 5- f(x) = 3x x 6- g(x) = x 7- (x) = cos(4x²-) 8- f(x)= sen ² 4x 4 9 senx - f(x) = ln x 3x² 4 - g(x) = ln 9x² x e 3- (x) = (3x²+5) 4x+ 4- f(x) = tan (5x ) 4- (x) = xe x 9- g(x)=ln(cos(5x)) - (x) = tan( x ) 9. Respostas dos exercícios do item e³ e - ln 3-8ln 4-5- lim f(x), lim (f x) x x e lim (f x) 6- lim (f x), lim (f x) x x x e lim (f x) x 7- lim (f x) lim x x (f x) e lim (f x) 8- lim f(x) lim f(x) x x x e lim (f x) x 9- lim (f x), lim (f x) x x e lim (f x) x 3- Descontínua 3- Descontínua 3- Contínua 33- Descontínua 34- Contínua 35- Contínua IFRS CAMPUS RIO GRANDE