Faculdades Integradas Campos Salles

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1 Curso: Administração e Ciências Contábeis Profª Alexandra Garrote Angiolin Disciplina: Matemática II Derivada O conceito de derivada foi introduzido em meados do século XVII em estudos de problemas de Física ligados à pesquisa dos movimentos. Entre outros, destacam-se nesse estudo, o físico e matemático inglês Isaac Newton ( ), o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz ( ) e o matemático francês Joseph-Louis Lagrange ( ). As idéias preliminares introduzidas na Física foram aos poucos sendo incorporadas a outras áreas do conhecimento. Em Economia, Administração e Ciências Contábeis o conceito de derivada é utilizado principalmente no estudo gráfico de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculos de taxas de variação de funções. Compreender o significado de taxa média de variação de uma função f(x), quando x passa do valor x 0 para o valor x 0 + x, nos leva a seguinte definição. Definição de derivada A derivada de uma função f em relação à variável x do domínio de f é a função f (x), dada por se este existir limite. Diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em x. Derivada num ponto Se x 0 for um número particular no domínio de f, então a derivada da função f no ponto x 0, denotada por f (x), é dada por Se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em x 0, ou seja, existe f (x). Indica-se a derivada de f(x) no ponto x 0 de várias maneiras, por exemplo, f (x), f (x 0 ), (x 0 ), (x 0 ), y (x 0 ) ou ainda y. Exemplo 1: Qual a derivada f(x) = x 2 no ponto x 0 =3. Temos: f (3) = f (3) = Interpretação: = = 1

2 a. A taxa média de variação da função nas proximidades do ponto x 0 = 3 é aproximadamente 6. Isso significa que, em pequenos intervalos contendo o ponto x 0 = 3, a variação correspondente é dada aproximadamente por : = 6. Assim, no intervalo [2,9;3] = 6. (0,1) = 0,6; no intervalo [2,95; 3,01] = 6. (0,06) = 0,36 no intervalo [3; 3,01] = 6. (0,01) = 0,6 b. A derivada da função no ponto pode também ser interpretada como valor marginal ou tendência neste ponto. No caso, a tendência da função y = x 2 no ponto x 0 = 3, acarretará um correspondente acréscimo de que é aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo Exemplo 2: Qual a derivada f(x) = x 2 no ponto x 0 = -2? Temos: f (-2) = f (-2) = = = Isso significa que um pequeno acréscimo de dado a x, a partir do ponto x 0 = -2, acarretará um correspondente decréscimo que é aproximadamente 4 vezes maior que o acréscimo de, em valor absoluto. Exemplo 3: Existe a derivada da função f(x) = no ponto x 0 = 0? Temos: f (0) = f (0) = = Logo: = = Como os limites laterais de no ponto = 0 não são iguais, resulta que não existe limite de quando 0. Portanto, a função f(x) = não é derivável no ponto x 0 = 0. 2

3 Exercícios propostos na página 158 do livro do Medeiros. 3

4 Função Derivada Dada uma função f(x), podemos pensar em calcular a derivada de f(x) em um ponto genérico x, em vez de calcular em um ponto particular x 0. A essa derivada, calculada em um ponto genérico x, chamamos de função derivável de f(x). A vantagem em calcular a função derivada é que com ela poderemos calcular a derivada de f(x) em qualquer ponto x 0, bastando para isso substituir, na função derivada, x por x 0. Exemplo1: Qual a função derivada de f(x) = x 2? f (x) = = = (2x + = 2x. f (x) = 2x Assim, por exemplo, se quisermos a derivada no ponto x 0 = 5, basta calcularmos f (5) = 2. (5) = 10. É importante observarmos ainda que: f (x), para pequeno. Desta forma, se x = 5 e = 0,1, teremos f (5) = 10. = f(5,1) f(5) = (5,1) = 1,01 = = 10,1. Portanto, f (5). Exemplo 2: Calcular a função derivada de y = 2x x 2, x > 0 = = = 2 2x - f (x) = (2 2x- = 2 2x. A função derivada de y = 2x x 2 é f (x) = 2 2x para x > 0. Exercícios (Morettin p. 118 e 119) 4

5 Derivada das principais funções elementares Vimos anteriormente que a função derivada de f(x) = x 2 era f (x) = 2x. Se conseguirmos achar a função derivada das principais funções elementares e se, além disso, soubermos achar as funções derivadas de somas, diferenças, produtos e quocientes dessas funções elementares, poderemos achar as derivadas de muitas funções sem termos de recorrer à definição (que muita vezes pode ser trabalhoso). Vejamos então como isso pode ser realizado. Derivada da função constante Se f(x) = c (função constante), então f (x) = 0, para todo x. Demonstração: f (x) = = = 0 para todo x. Exemplos: f(x) = 5 f (x) = 0 f(x) = f (x) = 0 Derivada da função potência Se f(x) = x n, então f (x) = n. x n 1. Exemplos: f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 f(x) = x 8 f (x) = 8x 7 f(x) = 4x 3 + 2x f (x) = 3.4x f (x) = 12x f(x) = = x -3 f (x) = -3.x -4 = Derivada da função identidade Se f(x) = x, então f (x) = 1. Derivada da função exponencial Se f(x) = a x, então f (x) = a x. ln.a, para todo x real (com a>0 e a 1). Exemplo: f(x) = 3 x f (x) = 3 x. ln 3 Derivada da função logarítmica Se f(x) = ln x, então f (x) = (para x > 0). Exemplo: f(x) = 3 ln x f (x) = (x > 0) Derivada da soma ou subtração de funções Se f(x)= u(x) + v(x), sendo u(x) e v(x) duas funções reais, então f (x) = u (x) + v (x). 5

6 Se f(x) = u(x) v(x), sendo u(x) e v(x) duas funções reais, então f (x) = u (x) - v (x) Exemplos: f(x) = x 3 + 2x 2 (com u(x) = x 3 e v(x) = 2x 2 ) f (x) = 3x 2 +4x f(x) = x 5 2x 3 f (x) = 5x 4 6x 2 Derivada do produto de uma constante por uma função Se f(x) = k. v(x), onde k é uma constante e v(x) uma função real, então f (x) = k. v (x). Exemplo: f(x) = 5x 3 f (x) = 15x 2 f(x) = 2x 4 + 3x 2 + 4x +1 f (x) = 8x 3 + 6x + 4 Derivada do produto Se f(x) = u(x). v(x), então f (x) = u(v). v (x) + u (v). v(x) Exemplo: f(x) = x 2 + 4x 4, com u(x) = x 2 e v(x) = 4x 4 f (x) = x 2. 16x 3 + 2x. 4x 4 f (x) = 16 x 5 +8x 5 Derivada do quociente Se f(x) =, então f (x) =. Exemplo: f(x) = f (x) = = Cálculo da derivada de algumas funções compostas Seja uma função u uma função derivável no ponto x e v uma função derivável no ponto correspondente u(x). Então a função composta, h(x) = v(u(x)) é derivável no ponto x e h (x) = v (u). u (x), isto é, Exemplos: f (x) = (derivada de v em relação a u). (derivada de u em relação a x). I) f(x) = (x 2 +5x + 7) 4 Fazendo-se u = x 2 +5x + 7, teremos v = u 4. Assim: f (x) = (4u 3 ). u II) f(x) = (x 2 1) 3 = 4(x 2 +5x + 7). (2x + 5) Considerando u = x 2 3, temos: 1 e v = u f (x) = 3u 2. u = 3(x 2 1) 2. (2x) 6x(x 2 1) 2 6

7 Regras de derivação Decorrem da derivada da função composta as seguintes regras de definição, onde v(x) é uma função real derivável: f(x) = [v(x)] n f(x) = a v(x) f(x) = log a v(x) f (x) = n[v(x)] n-1. v (x) f (x) = a v(x). ln a. v (x) Derivadas sucessivas de uma função Seja f a função derivada de uma função f, num intervalo aberto I. Se f é derivável em I podemos considerar a função f derivada de f em I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I. De modo análogo podemos definir as derivadas terceira, quarta etc., de f em I. Estas derivadas serão indicadas por uma das notações: f ; f (2) ; ; ; y derivada segunda f ; f (3) ; ; ; y derivada terceira f (n) ; ; ; y n derivada de ordem n Exemplos: 1. f(x) = x 2 f (x) = 2x f (x) = 2 f (x) = 0 f (x) = 0 2. f(x) = x 4 x 3 f (x) = 4x 3 3x 2 f (x) = 12x 2 6x f (x) = 24x 6 f (x) = 24 f (5) (x) = 0 7

8 3. f(x) = e x f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e x f (n) (x) = e x para todo n 1 4. f(x) = e 2x f (x) = 2e 2x f (x) = 4e 2x f (x) = 8e 2x. f (n) (x) = 2 n e 2x (derivada de ordem n) Referências: 8

9 MORETTIN, P. A; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao cálculo para administração, economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva, SILVA, Sebastião Medeiros et. al. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. 6ed. São Paulo: Atlas,