MATEMÁTICA I LIMITE. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

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1 MATEMÁTICA I LIMITE Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda@fcav.unesp.br

2 Parte 1 Limites Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência do ite Parte 2 Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica) Propriedades de ites Indeterminações

3 LIMITE DE UMA FUNÇÃO No cálculo e em suas aplicações, é comum estudar o comportamento de uma função y = f x quando x está numa vizinhança de um valor a, mesmo que a D f.

4 DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE Sejam a R e δ > 0 (suficientemente pequeno). Dizemos que x está na vizinhança (próximo) de a se x a < δ. O valor a é dito ite da variável x. Notação: x a. Exemplo. 0, ,999 1 então, 1 0,999 < δ

5 DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE No caso de uma variável real x, a aproximação do número a pode ser feita de duas maneiras: à direita e à esquerda. Limite à direita de a (valores maiores que a). Notação. x a + Limite à esquerda de a (valores menores que a). Notação. x a

6 LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM UMA VARIÁVEL REAL Exemplo 1. Seja a função f x = x + 4 definida para todo x R. Analisemos o comportamento de f x quando x assume valores próximos de 2, porém diferentes de 2. x f x x f x 1 3,00 3 1,00 1,5 2,50 2,5 1,50 1,7 2,30 2,3 1,70 1,9 2,10 2,10 1,90 1,99 2,01 2,01 1,99

7 LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM UMA VARIÁVEL REAL Note que na função f x = x + 4, quanto mais aproximamos x do valor 2 as diferenças x 2 e f x L se tornam suficientemente pequenas. Neste caso, x 2 f x = f 2 x 2 x + 4 = 2 y x

8 LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM UMA VARIÁVEL REAL Se a variável x se aproxima de a e os valores y = f x se aproximam de um valor real L, dizemos que: a função y = f x tem ite L ou tende a L, quando x tende para a. Notação: f x = L L f x 1 y y = f x Note que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x a < δ e x x 0 f x L < ε a x 1 x

9 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DO LIMITE Dada uma função y = f x, dizemos que existe o ite de f x quando x tende ao ponto a, se existirem e forem iguais os ites laterais à direita e a esquerda de a, isto é: f x = L f x = + f x = L L

10 LIMITE DE FUNÇÃO Exemplo 2. Considere a função f(x) = 2x + 3. Determine, caso exista, x 0 f x. f x = x 0 x 0 2x + 3 = 3 y f x = x 0 + x 0 + 2x + 3 = 3 x Portanto x 0 f x = 3

11 LIMITE DE FUNÇÃO Exemplo 3. Considere a função f x = 2, se x 0 x 2 + 1, se x > 0 Determine, caso exista, x 0 f x. f x = x 0 x 0 2 = 2 f x = x 0 + x 0 + x2 + 1 = 1 Uma vez que f x = x 0 que x 0 f x 2 1 = f x temos x 0 +

12 Parte 1 Limites Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência do ite Parte 2 Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica) Propriedades de ites Indeterminações

13 LIMITE DAS FUNÇÕES ELEMENTARES Se m, a ε R, então mx + b = m a + b Portanto, para calcular o ite da função linear, f(x) = mx + b, quando x a, basta substituir a variável x pelo valor aproximado a. Observações: a) Fixando m = c uma constante e b = 0 temos: cx + 0 = cx = c a cx = c a b) Fixando m = 0 e b = k, k é uma constante, temos: 0x + k = k = k k = k o ite da constante é a própria constante.

14 Se n ε N, então Exemplo 4. LIMITE DA POTÊNCIA f x n = f a n a) Seja f x = x 2, quando x 3 temos que: x 3 x2 = 3 2 = 9 b) Seja f x = 3x 1 3, quando x 2 temos que : 125 x 2 3x = = 1

15 LIMITE DA N-ÉSIMA RAIZ Dada a função y = n f x, se n é par e f a > 0, ou n é ímpar, então: Exemplo 5. n f x n = f a a) Seja f x = x 2 + 5, quando x 2 temos que: x 2 x = = = 9 = 3 3 b) Seja f x = 3x 2 1, quando x 0 temos que : x 0 3 3x = = 1 = 1

16 LIMITE DA EXPONENCIAL Seja b R + e b 1, então: bf x = f a b Em particular, se b = e = 2,71, temos: Exemplo 6. ef x = f a e a) Seja f x = 2 3x 1, quando x 1 temos que: x 1 23x 1 = = = 2 2 = 4 b) Seja f x = e 3x 1, quando x 1 3 x 1/3 e3x 1 temos que : = e = e 1 1 = e 0 = 1

17 Seja b R + e b 1, então, se f x > 0: log b f x = log b f a, f a > 0 Em particular, se a base b = e = 2,71 (n. de Euler), temos: Exemplo 7. ln f x = ln f a, f a > 0 a) Seja f x = log x 2, quando x 10 temos que: x 10 log x 2 = log 10 2 = log 10 = 1 b) Seja f x = ln 5x 4, quando x 1 temos que : ln 5x 4 = ln = ln 1 = 0 x 1 LIMITE DO LOGARITMO

18 Função Seno: LIMITE DAS TRIGONOMÉTRICAS sen f x = sen f a Função Cosseno: cos f x = cos f a Função Tangente: tg f x = tg f a, com f a π + kπ 2

19 LIMITE DE POLINÔMIOS Para o polinômio de grau n, n N, dado por: p n x = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 temos que: p n x = p n a

20 PROPRIEDADES DE LIMITES LIMITE DA SOMA E DIFERENÇA f ± g x = f x ± g x LIMITE DO PRODUTO f g x = f x g x LIMITE DO QUOCIENTE f f x g x =, g x g x 0

21 INDETERMINAÇÕES Calcule o ite da função f x x 1. = 2x 2 x 1 quando Solução: x 1 2x 2 x 1 = x 1 2 x 1 x 1 = 2 Para tratar as indeterminações, pode-se manipular algebricamente e simplificar as expressões einando as indeterminações.

22 5ª. LISTA DE EXERCÍCIOS