Determinar a derivada resultante do produto de duas funções utilizando a regra do produto. Aplicar a Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos.

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1 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - GST1075 Semana Aula: 4 Regras de derivação Tema Regras de derivação Palavras-chave Derivada Objetivos Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: Verificar a derivada de uma soma. Determinar a derivada resultante do produto de duas funções utilizando a regra do produto. Determinar a derivada resultante da divisão de duas funções utilizando a regra do quociente. Aplicar a Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos. Procedimentos de Ensino 4.3 Derivada de uma soma (ou subtração) de funções Seja uma função do tipo y = f(x) ± g(x), em que: f(x) é uma função cuja derivada é f (x), g(x) é uma função cuja derivada é g (x). Então a derivada será: Exemplo: y = f (x) ± g (x) Derive as funções seguintes, utilizando as regras de derivação: a) y = 3x + x 10 y =.3x + x 0 y = 6x +

2 b) 𝑦 = 3𝑥 + 4𝑥 5 𝑦 =.3𝑥 + 4𝑥 0 6𝑥 + 4 c) 𝑦 = " 3𝑥 8𝑥 𝑦 = 3𝑥 10 8𝑥 𝑦 = 𝑥 3 5 d) 𝑦 = 100𝑥 4𝑥 + 3𝑥 10 𝑦 = 3.100𝑥.4𝑥 + 3𝑥 0 300𝑥 8𝑥 Derivada do produto de duas funções: a regra do produto Seja uma função do tipo o do tipo y = f(x). g(x), em que: f(x) é uma função cuja derivada é f (x), g(x) é uma função cuja derivada é g (x). Então a derivada será: y = f (x). g(x) + f(x). g (x) Exemplo: Utilizando as regras de derivação, obtenha as derivadas de cada uma das funções seguintes: a) 𝑦 = 𝑥. (4𝑥 + ) 𝑦 = 𝑓. 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥. 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 4𝑥 +

3 𝑓 𝑥 = 3𝑥 𝑔 𝑥 = 4 𝑦 = 3𝑥. 4𝑥 𝑥 𝑦 = 1𝑥 + 6𝑥 + 4𝑥 𝑦 = 16𝑥 + 6𝑥 b) 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥 + 1. (𝑥 3) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3𝑥 + 1 𝑓 (𝑥) = 6𝑥 + 3 𝑔 𝑥 =𝑥 3 𝑔 (𝑥) = 1 𝑦 = 6𝑥 + 3. 𝑥 3 + 𝑥 + 3𝑥 𝑦 = 6𝑥 18𝑥 + 3𝑥 9 + 𝑥 + 3𝑥 + 1 8𝑥 18𝑥 + 6𝑥 8 c) 𝑦 = 100𝑥 4𝑥. (3𝑥 0) 𝑓 𝑥 = 100𝑥 4𝑥 𝑓 (𝑥) = 300𝑥 8𝑥 𝑔 𝑥 = 3𝑥 0 𝑔 (𝑥) = 3 𝑦 = 300𝑥 8𝑥. 3𝑥 𝑥 4𝑥. 3 𝑦 = 900𝑥 6000𝑥 4𝑥 + 160𝑥 + 300𝑥 1𝑥 100𝑥 6036𝑥 + 160𝑥 d) 𝑦 =. (5𝑥 4𝑥 + ) 𝑓 𝑥 = 𝑓 (𝑥) = 𝑔 𝑥 = 5𝑥 4𝑥 + 𝑔 𝑥 = 50𝑥 4 5 5𝑥 𝑦 =. 5𝑥 4𝑥 𝑥 4 15𝑥 0𝑥 10 50𝑥 0𝑥 𝑦 = + +

4 375𝑥 0𝑥 Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente () Seja uma função do tipo o do tipo 𝑦 = (), em que: f(x) é uma função cuja derivada é f (x), g(x) é uma função cuja derivada é g (x). Então a derivada será: 𝒚 = 𝒇 𝒙. 𝒈 𝒙 𝒇(𝒙). 𝒈 (𝒙) [𝒈 𝒙 ]𝟐 Exemplo: Aplicando as regras de derivação, determine as derivadas das funções seguintes: a) 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 5𝑥 𝑓 (𝑥) = 0𝑥 𝑔 𝑥 = 3𝑥 𝑔 𝑥 = 6𝑥 0𝑥. 3𝑥 5𝑥. 6𝑥 3𝑥 60𝑥 30𝑥 𝑦 = 9𝑥 30𝑥 𝑦 = 9𝑥 10𝑥 3 𝑦 = Note que esta função pode ser simplificada antes de ser derivada: 5𝑥 5𝑥 𝑦= = 3𝑥 3 Derivando obtemos: 10𝑥 3

5 b) 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 8𝑥 1 𝑓 𝑥 = 10𝑥 + 8 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 𝑔 𝑥 = 𝑦 = 10𝑥 + 8. 𝑥 3 5𝑥 + 8𝑥 1. 𝑥 3 0𝑥 30𝑥 + 16𝑥 4 10𝑥 16𝑥 + 𝑦 = 𝑥 3 10𝑥 30𝑥 𝑥 3 " c) 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5 𝑓 𝑥 = 4𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 4𝑥 𝑔 𝑥 = 3𝑥 8𝑥 𝑦 = 4𝑥. 𝑥 4𝑥 𝑥 𝑥 8𝑥 𝑥 4𝑥 4𝑥 16𝑥 3𝑥 + 8𝑥 75𝑥 + 00𝑥 𝑦 = 𝑥 4𝑥 𝑥 8𝑥 75𝑥 + 00𝑥 𝑥 4𝑥

6 4.6 Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos (Problema de Otimização) Para verificar se um ponto, que anula a derivada primeira de uma função, representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-se o teste da derivada de segunda ordem, ou seja: a) Deriva-se a função f(x); b) Iguala-se a derivada primeira a zero: f (x)=0 e determine as raízes de f (x); c) Determine a segunda derivada f (x). i. se f (x) > 0, então x é ponto de mínimo absoluto. ii. se f (x) < 0, então x é ponto de máximo absoluto. d) Mínimo e Máximo absoluto; i. Máximo absoluto é f(x) para x onde f (x) < 0. ii. Mínimo absoluto é f(x) para x onde f (x) > 0. Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3𝑥 9𝑥 + 7 Primeira Derivada f (x): 𝑓 𝑥 = 3𝑥 6𝑥 9 Igualando a deriva a zero: 3𝑥 6𝑥 9 = 0 Raízes da função derivada: 𝑥1 = 3 e 𝑥 = 1 Segunda derivada f (x): 𝑓"(𝑥) = 6𝑥 6 𝑓"(3) = 6(3) 6 = 1 > 0 𝑥 = 3 é 𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝐼𝑁𝐼𝑀𝑂 𝑓"( 1) = 6( 1) 6 = 1 < 0 𝑥 = 1 é 𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝑂 Determine os pontos de Máximo e Mínimo: 𝑓 3 = (3) 3 3 𝑓 1 = ( 1) = 0 𝑀𝐼𝑁𝐼𝑀𝑂 𝐴𝐵𝑆𝑂𝐿𝑈𝑇𝑂 = 1 𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝑂 𝐴𝐵𝑆𝑂𝐿𝑈𝑇𝑂

7 Indicação de Leitura Específica O aluno poderá calcular a enésima derivada de uma função com uma prática calculadora. A calculadora para cálculo de Derivadas está disponível em: Aplicação: articulação teoria e prática I. Calcule as Derivadas: a) f(x) = 5x³ + x b) f(x) = x³ c) f(x) = x³ + x² + x + 1 II. Calcule a derivada usando as regras do produto e do quociente: a) f(x) = x(x +1) b) f x = III. Encontre o máximo e o mínimo absoluto no intervalo dado:

8 Avaliação I. Calcule as Derivadas: a) f(x) = 5x³ + x Resposta: f'(x) = 3.5x² + = 15x² + b) f(x) = x³ Resposta: f'(x) = 3x² c) f(x) = x³ + x² + x + 1 Resposta: f'(x) = 3x² + x + 1 II. Calcule a derivada usando as regras do produto e do quociente: a) f(x) = x. (x +1) Resposta: 3x +1 b) f x = Resposta: -/(x-) III. Encontre o máximo e o mínimo absoluto no intervalo dado: Resolução: Para encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função nós calculamos a derivada e procuramos os zeros da derivada que são: x-5 = 0 x =.5.

9 Calculamos a segunda derivada: f"(x) = > 0 x =,5 é pto de MINIMO f,5 = (,5) 5,5 + 7 = 0,75 é o MINIMO ABSOLUTO. Dado o intervalo [-1,3], considere a seguinte tabela dos valores da f(x) nos pontos críticos e nos pontos extremos do intervalo: f 1 = = 13 f 3 = = 1 f,5 = (,5) 5,5 + 7 = 0,75 x f(x) Máximo absoluto ,5 0,75 Mínimo absoluto Então podemos ver que o máximo absoluto ocorre em x = -1 e é 13 e o mínimo absoluto ocorre em x =.5 e é 0.75.