Matemática A - 10 o Ano
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- Ronaldo Fidalgo
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1 Matemática A - 10 o Ano Resolução da Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Considerando os polinómios p e b no enunciado temos que o termo de maior grau de p b é a nx n b nx n = a nb nx n, logo o grau do polinómio p b é n e a proposição p é verdadeira. O grau do polinómio p b é 0 desde que todos os termos de grau superior a 0 se anulem, não necessitando que os termos de grau 0 se anulem, logo, a proposição q é falsa. Desta forma tem-se: p q V F = V ; p q V V = V ; p q V F = F ; p q é falsa pois p é verdadeira e q é falsa.. O polinómio p(x) = x 3 + 5x + 7x + 3 é divísivel pelo monómio x + 1 se o resto da divisão inteira de p pelo monómio for 0. Podemos avaliar a multiplicidade de uma hipotética raíz em x = 1 aplicando a Regra de Ruffini, obtendo-se que: Conclui-se então que x = 1 é uma raíz de multiplicidade, vindo p(x) = ( x + 1 ) ( x + 3 ). Desta forma tem-se que p é uma proposição falsa pois o resto da divisão inteira de um polinómio por um monómio x k ser nulo não implica que k seja uma raíz de multiplicidade 1 e q é também uma proposição falsa uma vez que p admite apenas duas raízes distintas. Desta forma tem-se: p q V V = V ; q p F F = V ; p q é verdadeira pois p e q têm o mesmo valor lógico; (p q) p (F F ) F V F = F 3. O polinómio p(x) = x 3 + 6x + 11x + 6 é divisível pelo monómio x + 1. Pela Regra de Ruffini obtém-se que: Logo tem-se que p(x) = (x + 1)(x + 5x + 6). Podem-se então agora calcular as raízes de x + 5x + 6 de forma a factorizar este polinómio vindo então: x = 5 ± x = x = 3 Logo x + 5x + 6 = ( x + ) ( x + 3 ) e portanto p(x) = ( x + 1 ) ( x + ) ( x + 3 ), concluindo-se que p tem raízes em x = 1, x = e x = 3, sendo então impossível em N ], 3[. 4. O polinómio A é de grau n e o polinómio B dado pela expressão B(x) = x 4 + 3x + x é de grau 4, pelo que o termo de maior grau de k 3 A B A é k 3 a nx n x 4 e uma vez que os coeficientes de todos os termos de A são a unidade vem que o termo de maior grau é k 3 x n+4, logo tem-se: k 3 x n+4 = 64x 7 k 3 = 64 n + 4 = 7 k = 4 n = 3 5. O polinómio A(x) = x +k 4 x+5 é divisível pelo monómio x + 1, pelo que aplicando o Teorema do Resto temos: A( 1) = 0 ( 1) +k 4 ( 1)+5 = 0 1 k 4 +5 = 0 Resposta Correcta: (A) k 4 = 3 k = ± *O resto da divisão inteira do polinómio A(x) = x n +x 4 x por x é 1088, logo, pelo Teorema do Resto: A() = 1088 () n = 1088 n = 64 O grau de A é n, logo 6. n = 6 n = 6 7. O polinómio A(x) = x 3 x k é divisível pelo monómio x k, logo, pelo Teorema do Resto: A(k) = 0 k 3 k k = 0 k 3 3k = 0 k(k 3) = 0 k = 0 k 3 = 0 k = 0 k = ± 3 Como k é um número positivo, k = 0 e k = 3 não são soluções do problema, logo k = *O polinómio A(x) = x 4 + x + n x + nk é divisível pelo monómio x 1, logo, pelo Teorema do Resto: A(1) = n + nk = 0 n + nk + 3 = 0 Estamos perante uma equação de segundo grau, pelo que aplicando a Fórmula Resolvente considerando a = 1, b = k e c = 3, vem: n = k ± k Repare-se que k k ± 1 k 1 = Resposta Correcta: (B) = k ± k 1 = k ± k k 1 4 = 4 3 k 4 3. = SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 1
2 9. Consideremos o polinómio p(x) = x 8 e calculem-se os restos da divisão inteira de p por x 1/ e por x + 1/ tais que os restos r 1 e r podem ser obtidos pelo Teorema do Resto: r 1 = p(1/) = (1/) 8 = 1/56 r = p( 1/) = ( 1/) 8 = 1/56 Logo tem-se que r 1 r = 1/56 1/56 = *Considerem-se os polinómios p(x) = ax 3 kx 4x + 4 e q(x) = kx + x + 4. Sabe-se que o polinómio p é divisível pelo monómio x, logo, pelo Teorema do Resto vem: p() = 0 a() 3 k() 4() + 4 = 0 8a 4k = 4 Sabe-se também que o termo de maior grau de p q é 15x 5, pelo que sabendo que o termo de maior grau de p q é dado por ax 3 kx = akx 5, tem-se ak = 15. Se a = 5 e k = 3, ak = 15 e 8a 4k = 40 1 = 8 4 pelo que não é solução; Se a = 3 e k = 5, ak = 15 e 8a 4k = 4 0 = 4, pelo que esta é a solução; Se a = 1 e k = 15, ak = 15 e 8a 4k = 8 60 = 5 4 pelo que não é solução; Se a = 15 e k = 1, ak = 15 e 8a 4k = 10 4 = pelo que não é solução. Resposta Correcta: (B) 11. O polinómio p(x) = x n +kx n +1 é divisível pelo monómio x + 1, logo, pelo Teorema do Resto: p( 1) = 0 ( 1) n + k( 1) n + 1 = 0 Se n é par tem-se que ( 1) n = 1 e então: ( 1) n + k( 1) n + 1 = 1 k + 1 = 0, logo k = 0 Se n é ímpar tem-se que ( 1) n = 1 e então: ( 1) n + k( 1) n + 1 = 1 k + 1 = k + = 0, logo k = Como apenas a combinação n é par e k = 0 está nas possíveis respostas tem-se que essa é a solução do problema. 1. O polinómio A(x) = x 4 + x 3 4x + kx + k tem 1 como uma multiplicidade de ordem, logo, pela Regra de Ruffini tem-se: k k 1 1 ( + 1k) 1 ( + 1k) ( + 1k + 1k ) 1 ( + 1k) ( 1 + 1k) Uma vez que o resto destas duas divisões devem ser nulos tem-se que Isto é, p(x) = (x 1)(x x ) e pela Fórmula Resolvente conseguimos obter as raízes de x x : x x = 0 x = 1 ± ( ) x = 1 x = Concluindo-se então que p(x) = ( x 1 ) ( x + 1 ) ( x ) e então obtém-se de um quadro de sinal: x x x x 0 + p(x) Conclui-se então que p(x) 0 em [ 1, 1] [, + [. Resposta Correcta: (B) 14. *Considere-se o polinómio p(x) = x 3 +ax +bx+1. Sabe-se que p(1) = 0 logo tem-se que: p(1) = a + b + 1 = 0 a + b = Sabe-se ainda que p(1) + p( 1) = 0 logo p( 1) = 0 e portanto vem que: p( 1) = 1 + a b + 1 = a b = 0, então a = b E como a + b = vem a = b = 1, vindo p(x) = x 3 x x + 1. O resto da divisão inteira de p por x 4 pode ser obtido pelo Teorema do Resto: p(4) = = = 45 Resposta Correcta: (A) 15. O prisma rectangular só se forma caso todas as dimensões deste sejam maiores que 0, isto é c(x) > 0, d(x) > 0 e h(x) > 0. Sabe-se que h(x) = x 3 4x = x(x 4) = x(x )(x + ), vindo então: c(x) > 0 d(x) > 0 x(x )(x + ) > 0 x 4 > 0 x 1 > 0 x(x )(x + ) > 0 Para analisar a última inequação, considere-se h(x) = x(x )(x + ) e use-se um quadro de sinal: x 0 + x x x 0 + h(x) Logo h(x) > 0 em ], [ ], + [ e como c(x) > 0 em ], + [ e d(x) > 0 em ]1, + [ vem que o intervalo de valores que corresponde à variável x é a intersecção destes três intervalos reais, logo ], + [. k + k = 0 k 1 = 0 k = 1 Resposta Correcta: (A) 13. *O polinómio p(x) = x 3 x kx + é divisível pelo monómio x 1, logo, pelo Teorema do Resto vem que: Fim Grupo I p(1) = 0 1 k + = 0 k = 1 Então tem-se p(x) = x 3 x x+ que se pode factorizar uma vez que se sabe que 1 é raíz de p, vindo então, pela Regra de Ruffini: SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano
3 Grupo II 1. Pretendemos determinar o grau de polinómios, tendo em conta que n N; a n, a n+1,..., a 1, a 0 R e a n 0; b n, b n+1,..., b 1, b 0 R e b n 0 e ainda os polinómios p(x) = a nx n + a n 1 x n a 0 e b(x) = b nx n + b n 1 x n b A soma de polinómios de grau n leva a que o polinómio resultante desta tenha grau n desde de que o coeficiente de maior grau não seja simétrico, isto é, desde que a n b n. Logo, o grau de a(x) + b(x) é n. 1. Sabe-se que a(x) + b(x) é de grau n pelo que a(x) (a(x)+b(x)) tem como coeficiente do termo de maior grau k 1 x n k x n = k 1 k x n, considerando k 1 o coeficiente do termo de maior grau de a e k o coeficiente do termo de maior grau de a + b. Conclui-se então que o grau deste polinómio é n. 1.3 O polinómio a(x) b(x) tem no seu termo de maior grau a nx n b nx n, contudo, se a n = b n vem que o termo a nx n b nx n = 0. Logo, não sabendo a relação entre os restantes coeficientes, admite-se que o termo de maior grau possível é agora a n 1 x n 1 b n 1 x n A relação entre os coeficientes dos termos dos polinómios a e b não afecta o termo de maior grau de a b uma vez que estes coeficientes nunca são nulos. Desta forma a(x) b(x) tem como termo de maior grau a nb nx n e o grau deste polinómio é n.. Pretendemos usar o algoritmo da divisão inteira para determinar o quociente e o resto da divisão de um polinómio A(x) por um outro B(x)..1 Seja A(x) = x + x + 1 e B(x) = x 3: x + 5 x 3 ) x + x + 1 x + 3x 5x + 1 5x Vindo então: R(x) = 16; Q(x) = x Seja A(x) = x 3 + 4x + x + 1 e B(x) = x : x + 6x + 14 x ) x 3 + 4x + x + 1 x 3 + x 6x + x 6x + 1x 14x x + 8 Vindo então: R(x) = 9; Q(x) = x + 6x Seja A(x) = x 4 + x + x + 1 e B(x) = x : x + 4 x ) x 4 + x + x + 1 x 4 + x 4x + x + 1 4x + 8 x Vindo então: R(x) = x + 9; Q(x) = x Seja A(x) = x 4 + 3x 3 + x + x + 1 e B(x) = x x: x + 5x + 6 x x ) x 4 + 3x 3 + x + x + 1 x 4 + x 3 5x 3 + x 5x 3 + 5x 6x + x 6x + 6x Vindo então: R(x) = 7x + 1; Q(x) = x + 5x Seja A(x) = 4x 5 + 3x 3 + x + x e B(x) = x 3 + x : 7x 4x 8x + 3 x 3 + x x ) 4x 5 + 3x 3 + x + x 4x 5 8x 4 + 4x 3 8x 4 + 7x 3 + x 8x x 3 8x 3x 3 7x + x 3x 3 46x + 3x 53x + 4x Vindo então: R(x) = 53x + 4x; Q(x) = 4x 8x *Seja A(x) = x x x e B(x) = x : x x x + 1 ) x x x x x 5 4 x x 5 4 x 5 1 x 3 8 x x Vindo então: R(x) = 0; Q(x) = x x *Seja A(x) = x 3 + x + kx + k e B(x) = x + : x + 5x + (5 + 1k) x 1 ) x 3 + 4x + kx + k x 3 + x 5x 5x + kx + 5x (5 + 1k) x + k (5 + 1k) x + (5 + 1k) (5 + k) Vindo então: R(x) = 5+k; Q(x) = x +5x+(5+k).8 *Seja A(x) = x 5 + x 3 + kx + 1 e B(x) = x 1: x 3 + x x 1 ) x 5 + x 3 + kx + 1 x 5 + x 3 x 3 x 3 + kx + x ( + 1k) x Vindo então: R(x) = ( + k)x + 1; Q(x) = x 3 + x SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 3
4 3. Considere-se k uma constante real. 3.1 O resto da divisão inteira do polinómio p(x) = x 3 + k x + x 10 pelo monómio x 4 é 70, logo, pelo Teorema do Resto: p(4) = k = k + 6 = 70 4k = 8 k = ± = ± 3. O termo independente da multiplicação do polinómio p(x) = x 4 +kx +k pelo polinómio q(x) = x 5 +x 4 + kx + k é k k = k 4. Sabendo que este termo é igual a 3 vem: k 4 = 3 k 4 = 16 k = ± 3.3 O polinómio p(x) = x 4 k 3 x 3 + 1x x + 8 tem 1 como raíz de multiplicidade, logo é divisível por x 1, vindo pelo Teorema do Resto: p(1) = 0 1 k = 0 k 3 = 8 k = 3.4 O polinómio p(x) = x 3 + x + x k verifica p(x) + p( x) = 0, logo vem: p(x) + p( x) = 0 x 3 + x + x k + ( x) 3 + ( x) + ( x) k = 0 4x k = 0 k = x 3.5 *O resto da divisão inteira do polinómio p(x) = x + 4x pelo monómio x k é n, logo, pelo Teorema do Resto: p(k) = n k +4k = n k +4k+( n ) = 0 Desta forma, aplicando a Fórmula Resolvente tendo em conta que a = 1, b = 4 e c = n : k = 4 ± ( n ) 4 ± 4 + 4n = n ± = ± 6 + n O resto da divisão inteira do polinómio p(x) = x 3 x +x+1 pelo monómio x k é igual ao resto da divisão inteira do polinómio q(x) = x + x + 1 pelo monómio x k, logo pelo Teorema do Resto: p(k) = q(k) k 3 k + k + 1 = k + k + 1 k 3 3k = 0 k (k 3) = 0 k = 0 k = *O polinómio p(x) = x 3 + x kx + k é divisível pelo polinómio q(x) = x x + 1. Factorizando q com auxílio da Fórmula Resolvente para calcular as raízes de q: x = ± 4 4 = 1 Logo x x + 1 = (x 1), e aplicando a Regra de Ruffini vem: 1 k k (3 + k) 1 3 (3 + k) (3 + 1k) 1 3 (3 + k) (7 + k) Ora, de forma a que p seja divisível por q os restos da divisão inteira de p pelos monómios x 1 devem ser nulos logo: 3 k = 0 7 k = 0 k = 3 k = 7 Conclui-se então que não existe k de forma a que o polinómio p(x) = x 3 +x kx+k seja divisível pelo polinómio q(x) = x x + 1 = 3.8 *Seja p(x) = x n+1 x n 3x + k é divisível pelo monómio x + 1, logo sabendo que n + 1 é sempre um número ímpar e que n é sempre um número par considerando n N, vem então: p( 1) = ( 1) n+1 ( 1) n 3( 1) + k = k = k + 1 Como p é divisível pelo monómio x + 1, vem do Teorema do Resto: p( 1) = 0 k + 1 = 0 k = 1 4. Pretende-se determinar o polinómio P (x). 4.1 Sabe-se que o polinómio P é de grau e que P (1) = P (0) = 0, logo, pelo Teorema do Resto tem-se que 1 e 0 são raízes de P. Sendo P de grau, estas são raízes de multiplicidade 1 e então P (x) = ax(x 1) em que a é uma constante real. Sabe-se ainda que o resto da divisão inteira de P por x + é igual a 18, logo vem: P ( ) = 0 a ( ) ( 3) = 18 a = 3 Concluindo-se que P (x) = 3x(x 3). 4. Sabe-se que o polinómio P é de grau 3, o termo independente é 1, é divisível por x 4, logo P () = 0 e 1 é uma raíz de multiplicidade. Conclui-se então que as raízes de P são e 1, sendo esta última de multiplicidade tem-se que: P (x) = a(x )(x 1) = a(x )(x x + 1) P (x) = a(x 3 4x + 5x ) Logo o termo independente é a, em que a é uma constante real, e então a = 1 a = 6, vindo então que P (x) = 6x 3 4x + 30x *O polinómio é de grau 5, o coeficiente do termo de grau 4 é 60, 3 é uma raíz de multiplicidade e 0 é uma raíz de multiplicidade 3, logo tem-se que P (x) = ax 3 (x + 3) em que a é uma constante real. Como P (x) = ax 3 (x + 6x + 9) = a(x 5 + 6x 4 + 9x 3 ) tem-se que o termo de grau 4 é 6ax 4, vindo então 6a = 60 a = 10. Vindo então: P (x) = 10x 3 (x + 3) 4.4 *O polinómio é de terceiro grau e 0 é uma raíz de multiplicidade, logo P (x) = ax (x b), vindo que a = 1, uma vez que o termo de maior grau é ax 3 e o coeficiente deste termo é unitário. Repare-se que x 0, x R pelo que a inequação P (x) 0 terá como conjunto-solução o intervalo [b, + [ uma vez que x b é positiva à direita de x = a e negativa à esquerda de x = b. Como a inequação tem como conjunto-solução o intervalo [4, + [, tem-se b = 4 e P (x) = x (x 4). Utilizando um quadro de sinal e considerando b > 0 verifica-se a resposta: x 0 b + x x b 0 + P (x) Repare-se que se b < 0, a inequação P (x) 0 continuaria a ter como conjunto-solução o intervalo [b, + [: x b 0 + x x b P (x) SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 4
5 5. Usando a Regra de Ruffini, pretende-se calcular o quociente Q e o resto R da divisão do polinómio p(x) pelo polinómio q(x), escrevendo o polinómio p na forma p(x) = q(x)q(x) + R(x). 5.1 Seja p(x) = x + x + 1 e q(x) = x 1: Portanto vem p(x) = (x 1)(x + 3) Seja p(x) = x 3 + x + k e q(x) = x 1: k ( + 1k) Portanto vem p(x) = (x 1)(x + x + ) + k Seja p(x) = kx 4 kx 3 + kx kx + k e q(x) = x + 1: k k k k k 1 k k 3k 4k k k 3k 4k 5k Portanto vem p(x) = (x + 1)(kx 3 kx + 3kx 4k) + 5k. 5.4 Seja p(x) = x 5 + x 3 4x 5 e q(x) = x 4: Portanto vem p(x) = (x )(x 4 + x 3 + 6x + 1x + 0) + 35 e como x = x 4 tem-se ( ) p(x) = (x 4) x 4 + x3 + 3x + 6x Seja p(x) = x 3 + x 1/ e q(x) = x 1: Portanto vem p(x) = (x 1/)(x + x + 1) e como x 1/ = x 1 tem-se p(x) = (x 1)(x +x+1/). 5.6 *Seja p(x) = x 3 6x + 11x 6 e q(x) = x 1: Logo tem-se que p(x) = (x 1)(x 5x + 6) e como x 5x + 6 = (x + 1)(x 6) + 1 tem-se que p(x) = (x 1) [ (x+1)(x 6)+1 ] = (x 1)(x 6)+1x Considerem-se as constantes reais diferentes entre si a, b e c são as únicas raízes de um polinómio p de grau n. 6.1 Considere-se n = 10 e que a é uma raíz de multiplicidade 4 e b é uma raíz de multiplicidade 3. Temse então que p(x) = (x a) 4 (x b) 3 (x c) k q(x). Repare-se que a, b e c são as únicas raízes de p, pelo que q não pode ser de grau ímpar uma vez que um polinómio de grau ímpar tem sempre uma multiplicidade. Logo k pode ser 1 ou 3 porque caso fosse, q teria obrigatoriamente uma raíz e então p teria 4 quatro raízes distintas o que não é possível. Note-se ainda que um polinómio de segundo grau pode não ter raízes, por exemplo, x *Considere-se n = 5 e que a é uma raíz de multiplicidade e b é uma raíz de multiplicidade 1, referente ao polinómio p. Logo tem-se p(x) = (x a) (x b)(x c) k q(x), logo tem-se que k = pois se k = 1, q tem uma raíz distinta de a, b e c e se k = 0, c não é multiplicidade de p. Logo, tendo multiplicidade para p, c é uma raíz de multiplicidade 4 para p. 6.3 *Considere-se p(x) = x 6 1x x 4 144x x 13x + 36 e que a = 1 e b = são ambas raízes de p de multiplicidade. Aplicando a Regra de Ruffini para factorizar p vem: Logo tem-se que p(x) = (x 1) (x ) (x 6x + 9). Pela Fórmula Resolvente consegue-se factorizar x 6x + 9, pelo que, calculando as raízes tem-se: x = 6 ± = 3 Vindo então que x 6x + 9 = (x 3) e portanto p(x) = (x 1) (x ) (x 3), logo c = 3 e tem multiplicidade. 7. Considere-se o polinómio p(x) = x 4 + 5x 3 6x O polinómio p pode ser escrito na forma p(x) = q(x)q(x) + C em que q e Q são polinómios de segundo grau e C uma constante real, colocando x em evidência de tal forma que se tem: p(x) = x 4 + 5x 3 6x 10 = x (x + 5x 6) *Pretende-se calcular as soluções da equação p(x) + q(x) = 0 em que q(x) = 5x 3 + 4x + 11, isto é: p(x) + q(x) = 0 x 4 + 5x 3 6x 10 5x 3 + 4x + 11 = 0 x 4 x + 1 = 0 Esta é uma equação biquadrada que pode ser resolvida procedendo à mudança de variável y = x de forma a obter uma equação de segundo grau: y y + 1 = 0 y = ± = 1 Logo tem-se, por fim: C.S: { 1, 1}. y = 1 x = 1 x = ±1 7.3 Tem-se da alínea anterior que y y + 1 = (y 1) e sendo y = x devido à mudança de variável y = x vem p(x) q(x) = x 4 x +1 = (x 1). Repare-se que (x 1) 0, logo o conjunto-solução da inequação p(x) + q(x) < 0 é o conjunto vazio. C.S:. SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 5
6 8. *Considere-se o polinómio p(x) = ax 5 3x 4 +bx 3 +7x + cx + 1 em que a, b e c são constantes reais. 8.1 O polinómio p é divisível por x 1, logo, pelo Teorema do Resto tem-se: p(1) = 0 a 3+b+7+c+1 = 0 a+b+c = Considerando a = 1, b = 5 e c = 3 tem-se que o polinómio p tem uma raíz dupla para x =. Tem-se p(x) = x 5 3x 4 5x 3 + 7x 3x + 1 e repare-se que a + b + c = 36, logo p é também divisível por x 1. Aplicando a Regra de Ruffini tem-se: Logo p(x) = (x ) (x 1)(x + x 3). Aplicando a Fórmula Resolvente podem-se obter as raízes de x + x 3 de forma a factorizar este mesmo, logo: x = ± ( 3) Então p(x) = ( x 1 ) ( x ) ( x + 3 ). x = 1 x = Considerando a = b = c = 0, vem p(x) = 3x 4 + 7x + 1 = 3(x 4 9x 4). Aplicando a mudança de variável y = x para resolver a equação biquadrada vem x 4 9x 4 = y 9y 4 e pela Fórmula Resolvente: y = 9 ± ( 4) = 9 ± 97 Sendo y = x tem-se: x = 9 ± 97 9 ± 97 9 ± 97 x = ± = ± 9 ± 97 (9 ± 97) x = ± = ± Repare-se que (9 97) < 0, logo a raíz quadrada não é definida neste valor pelo que o conjunto-solução ( 97+9) ( 97+9) é então: C.S: {, }. 9. Considere-se o seguinte quadro de sinais e uma constante positiva k: x 0 k k + p(x) O polinómio p tem grau 3 e tem três raízes de acordo com o quadro de sinais em x = 0, x = k e x = k, logo: p(x) = ax(x k )(x k) Como o termo de maior grau é ax 3 e este tem coeficiente unitário a = 1 e p(x) = x(x k )(x k). 9.3 *Considerando k = 1/ tem-se que: ( p(x) = x x 1 ) ( x 1 ) 4 O polinómio q(x) = x x + 1 x pode ser factorizado colocando x em evidência, vindo: 8 ( q(x) = x x 3 4 x + 1 ) 8 Aplicando a Fórmula Resolvente pode-se factorizar x 3 4 x + 1 8, vindo: x = 3/4 ± 9/16 1/ x = 1/ x = 1/4 ) ( x 1 4 ) = p(x) e Desta forma q(x) = x ( x 1 através de um quadro de sinais pode-se resolver a inequação p(x) q(x) 0, tal que: x 0 1/4 1/ + p(x) q(x) p(x) q(x) Logo p(x) q(x) 0 sse x {0, 1/4, 1/}. 10. **Considere n e k constantes reais tal que 0 < n < 1 e k > 0. Ora o polinómio p(x) = x 4 x kx + n é divisível pelo monómio x k, logo, pelo Teorema do Resto: p(k) = 0 k 4 k k + n = 0 k 4 k + n = 0 Considerando a mudança de variável y = k tem-se y y + n = 0, vindo: y = ± n = ± 4 4n = 1 ± 1 n Repare-se que 4 4n = 4 4n = 1 n. Como 0 < 4 n < 1, a raíz quadrada está sempre definida e então se k = y tem-se: k = 1 ± 1 n k = ± 1 ± 1 n Temos que k > 0, logo k = 1 ± 1 n. Fim Grupo II 9.1 Da tabela de sinais tem-se que 0 < k < k, logo como k < k tem-se k k < 0 k(k 1) < 0. x k k k(k 1) Verifica-se então que k(k 1) < 0 sse 0 < k < 1. SINAL + Nuno Miguel Guerreiro Resolução da Ficha de Trabalho Matemática A - 10 o Ano 6
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