FICHA DE TRABALHO N.º 2 MATEMÁTICA A - 10.º ANO CONJUNTOS E CONDIÇÕES

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1 FICHA DE TRABALHO N.º MATEMÁTICA A - 10.º ANO CONJUNTOS E CONDIÇÕES Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Considere a condição px : x é um número irracional. Qual das seguintes proposições é verdadeira? A p p B p p C ~ p p D p 4 p 5. Considere, em, as condições p x e q x definidas por: x 1 x px: x 1 e q x :6 x x Quais são os valores reais de x que transformam a condição px qx numa proposição verdadeira? A 1, B 1,5 C 1,5 D 1,. Considere a seguinte proposição: p: Não existem números reais cujo seu cubo seja 1 Qual das seguintes expressões traduz em linguagem a proposição p? A x : x 1 B x, x 1 C x, x 1 D x : x 1 Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano 1

2 4. Considere a proposição p: x, x x x. Qual é a expressão que representa a proposição ~ p? A x : x x x B x x x x : C x : x x x D x, x x x 5. Considere os conjuntos A, B e C, definidos por: 4 x 1 x A x : B x : x 10 C x x x : Qual dos seguintes pode definir o conjunto AB C? A 10, 10 B 7,10 10 C 10, 108, 10 D 7,10 108, 10, Seja U o conjunto dos números naturais inferiores a 6. Considere os seguintes conjuntos: A x U : x e B x U : x é múltiplo de 4 Em qual das opções estão representados em extensão os conjuntos A B e B\ A? A AB 4,16,6 ; B\ A 8,1,0,4,8, B AB 4,16 ; B\ A 1,9,5 C AB 4,16 ; B\ A 8,1,0,4,8, D AB 4,16,6 ; B\ A 1,9,5 Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano

3 7. Considere o conjunto A definido por A x : x x x Em qual das opções está representado o conjunto A em extensão? A B, 1 C, 1,0,1, D, 1,0 8. Considere, em \ 0, as seguintes condições: Qual das seguintes condições é universal? : 0 a x x e bx 6 :6x 5 x A ax bx B bx ax C ~ bx ~ ax D ~ ax bx 9. Considere o conjunto S, definido em extensão por S 8, 64, 51, Qual das seguintes proposições é falsa? A x S, x é uma potência de B x S: x é um quadrado perfeito C xs : x 16x 0 D xs, x GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA 10. Considere as proposições p e q tais que: p: x, x x x e q : x : x x x 10.1 Indique, justificando, o valor lógico das proposições p e q. No caso de alguma ser falsa, indique um contraexemplo Sem utilizar os símbolos, e ~, escreva em linguagem simbólica ~ p Indique, justificando, em qual dos universos,,,, e \ a condição ax: x x x é universal, possível mas não universal e impossível. Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano

4 11. Considere as proposições p, q e r tais que: 4 p: n, n n é par, q : n : n n é ímpar e n n r: n : n Escreva em linguagem corrente a proposição ~ q Mostre que a proposição q é falsa Qual é o valor lógico das seguintes proposições: a) p q r b) pq r c) ~ p q r q d) p r 1. Considere os conjuntos A, B e C definidos por: : 0, B x A: x 1 e C x x x A x x x : ~ Determine, na forma de intervalo ou união de intervalos, os conjuntos: a) B C b) C \ B A c) B C A 1.. Considere as proposições p e q tais que p: x, x A e q : x C : x x. a) Escreva em linguagem corrente a proposição q. b) Qual é o valor lógico das proposições p, q e p q p ~ q? c) Sem utilizar o símbolo, escreva em linguagem simbólica ~ p. 1.. Considere a condição x : x a x x. Determine o conjunto solução da condição a x e classifique-a no universo B. Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano 4

5 1. Seja n um número natural Mostre que n n é um número ímpar. 1.. Mostre que se n 5n é um número ímpar, então n é um número ímpar: a) por contra-recíproca. b) por absurdo. 1.. Mostre que se n não é um múltiplo de 9, então não é um múltiplo de 6: a) por contra-recíproca. b) por absurdo. 14. Sejam p x e q x duas condições. Mostre que: ~ x, px qx x, px ~ qx 14.. x, px qx x, ~ qx ~ px Considere a proposição p: n, n n n 70 n Escreva a contra-recíproca da proposição p Mostre que a proposição p é verdadeira Escreva uma expressão que defina ~ p. 16. Considere a seguinte proposição: q: Não existem números irracionais cujo quadrado seja um número racional Indique o valor lógico da proposição ~ q q q Usando quantificadores, escreva uma expressão que traduza em linguagem simbólica a proposição q. Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano 5

6 17. Considere as seguintes condições: p x : x x 6 e qx: x Em, indique se as seguintes condições são universais, possíveis não universais ou impossíveis: a) px ~ qx b) px qx c) ~ px qx d) px qx e) qx ~ px f) ~ qx p x g) ~ px ~ qx h) px qx qx ~ qx 17.. Mostre que é verdadeira a proposição x, px qx Indique o valor lógico das seguintes proposições. Nas falsas, apresente um contra-exemplo: a) x : px b) x :~ px c) x : px qx d) x \ : px qx Seja r x uma condição impossível em. Qual das seguintes condições é universal em? A ~ rx qx B px ~ rx C r x qx D rx px Numa pequena composição indique a opção correcta e explique as razões que o levam a rejeitar as restantes opções. Apresente três razões, uma por cada opção rejeitada. 18. Considere os conjuntos A, B e C definidos por: A x : x é um múltiplo de 5 B x : x é par C x : x é um múltiplo de 10 Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano 6

7 18.1. Mostre que: a) C B b) A B. c) C A B Considere a condição x a x : x x 1 x ~ x 1. a) Determine o conjunto solução da condição a x. b) Classifique a condição a x em B e em C Indique, justificando, o valor lógico das seguintes proposições: a) x, x A B x C b) x : x A x C c) x, x A B x C d) x : xc x B 19. Sejam U o conjunto dos números naturais inferiores a 16 e A, B e C três subconjuntos de U. Sabe-se que: U \ A B C, 4,14 AB 1,,5,6,7,8,9,10,1,15 AB,15 A\ B 6,9,1 A B C 1,7,1, Escreva em compreensão o conjunto A Escreva em extensão os conjuntos: a) B b) C Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano 7

8 c) A C \ B d) C\ B e) B C A f) AB C 19.. Considere os conjuntos X e Y definidos por X A B justificando, o valor lógico das seguintes proposições: a) x, xy x X e Y x U : x é ímpar inferior a 11. Indique, b) x, xy \ B x 9 c) x: x X \ Y x é primo n Considere as condições an: n 0 e b n : n n 17 é primo. Classifique em U as seguintes condições: a) an b) bn c) an ~ bn d) bn an Números primos até 00:,, 5, 7, 11, 1, 17, 19,, 9, 1, 7, 41, 4, 47, 5, 59, 61, 67, 71, 7, 79, 8, 89, 97, 101, 10, 107, 109, 11, 17, 11, 17, 19, 149, 151, 157, 16, 167, 17, 179, 181, 191, 19, 197, 199, 11,, 7, 9,, 9, 41, 51, 57, 6, 69, 71, 77, 81, 8, Seja P o universo de todos os polígonos Considere as seguintes proposições: ax: x é um quadrado, bx: x é regular e cx: x é um pentágono a) Usando pelo menos uma das condições, escreva, simbolicamente, uma condição universal em P. b) Indique, justificando, o valor lógico da proposição x P, ~ a x b x. c) Sem usar os símbolos e escreva a negação da proposição x P, a x b x c x. 0.. Considere a proposição p definida por: p: Não existem polígonos com pelo menos dois lados distintos, que sejam regulares Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano 8

9 a) Usando quantificadores, escreva uma expressão que traduza em linguagem simbólica a proposição p. b) Mostre, por absurdo, que a proposição p é verdadeira. *1. Classifique, em, a seguintes condições: 1.1. p x : a, a x 8 0 x qx: a, a x x 0 r x : a : a x 8 0 x s x : a : a x 8 0 x 0 Adaptado de um exercício do manual Dimensões 10 da Editora Santillana SOLUCIONÁRIO GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. D. B. C 4. A 5. B 6. C 7. D 8. C 9. C GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA A proposição p é falsa; por exemplo se x 0,5, 0,5 0,5, mas 0,5. A proposição q é verdadeira. ~ p : x : x x x x x \ Universal em e em ; possível mas não universal em e em ; impossível em \ Por exemplo: A soma de todo o número natural com o seu quadrado é um número par a) Verdadeira 11.. b) Verdadeira 11.. c) Falsa 11.. d) Falsa 1.1. a) 1, 1.1. b),0, 1.1. c), 1.. a) Existe pelo menos um elemento de C cujo seu quadrado é igual a si próprio. 1.. b) p é verdadeira, q é falsa e p q p ~ q 1.. c) ~ p : x : x \ A é verdadeira. 1.. CS.. 0, ; Condição possível e não universal, pois 0, B, mas 0, B. Neste caso tem-se 0, B n, n 4 n n n n n n n n 4 : Falsa 16.. x \, x a) Universal b) Possível não universal c) Impossível d) Possível não universal Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano 9

10 17.1. e) Possível não universal f) Possível não universal g) Universal h) Impossível 17.. a) Verdadeira 17.. b) Falsa 17.. c) Verdadeira 17.. d) Verdadeira B 18.. a), 1, b) Possível não universal em B; impossível em C a) Falsa 18.. b) Verdadeira 18.. c) Verdadeira 18.. d) Falsa Por exemplo, A x U : x é múltiplo de 19.. a) B 1,,5,7,8,10, b) C 1,,4,7,1,14, c) AC \ B 6,9,11,1, d) \ 6,9,11,1 C B 19.. e) B C A,,4,6,9,1,14, a) Verdadeira 19.. b) Verdadeira 19.. c) Falsa 19.. f) A B C a) Possível não universal b) Universal c) Impossível d) Possível não universal 0.1. a) cx ~ ax 0.1. b) Verdadeira 0.1. c) xp : ax bx ~ cx 0.. a) x P, x tem pelo menos dois lados distintos xnão é regular 1.. a) Universal 1.. a) Possível não universal 1.. c) Universal 1.. b) Possível não universal Ficha de Trabalho n.º Matemática A 10.º Ano 10