Negação. Matemática Básica. Negação. Negação. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Regras do Jogo. Regras do Jogo

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1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 3 Parte 3 Matemática Básica 1 Parte 3 Matemática Básica 2 Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representa um número real)? Resposta: x 1. x < 1. Relação com a Teoria dos Conjuntos: se então A = {x x satisfaz p}, {x x satisfaz } = A C = }{{} U A. conjunto universo Parte 3 Matemática Básica 3 Parte 3 Matemática Básica 4

2 Fato: (p q) =() ( q). a negação de x < δ ou x >δ é x δ e x δ que pode ser escrita da seguinte forma compacta: δ x δ. Fato: (p q) =() ( q). a negação de δ <x <δ (isto é, δ <x e x <δ) é x δ ou x δ. Parte 3 Matemática Básica 5 Parte 3 Matemática Básica 6 Contrapositiva Fato: () =p. Parte 3 Matemática Básica 7 Parte 3 Matemática Básica 8

3 Contrapositiva Teorema A B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva B A é verdadeira. Demonstração. Dada uma sentença A B, sua contrapositiva é a sentença B A. a contrapositiva da sentença (assumindo que m representa um número natural) ( ) Suponha, por absurdo, que A B seja verdadeira, mas que B A seja falsa. Então, B A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x que satisfaz B, mas não satisfaz A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto, x é um contraexemplo para a sentença A B. Logo, a sentença A B é falsa, uma contradição. ( ) Basta usar ( ), trocando A B por B A e observando que ( A) =A e ( B) =B. se m 2 é um número par, então m é um número par é a sentença se m é um número ímpar, então m 2 é um número ímpar. Corolário: A B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva B A é falsa. Parte 3 Matemática Básica 9 Parte 3 Matemática Básica 10 Contrapositiva: exercício resolvido Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira! Se m 2 é par, então m é par. Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é, basta demonstrar que se m é ímpar, então m 2 é ímpar. Para isso, faremos uma demonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k Z tal que m = 2 k + 1. Portanto, m 2 =(2k + 1) 2 = 4 k k + 1 = 2 (2 k k)+1 é um número ímpar. Quantificadores Parte 3 Matemática Básica 11 Parte 3 Matemática Básica 12

4 Quantificador universal ( ) x X, q(x) (lê-se para todo x pertencente a X, q(x) ) é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) é verdadeira. Note que x X, q(x) é falsa se existe pelo menos um x X que não satisfaz o predicado q(x). Quantificador universal ( ) x X, q(x) (lê-se para todo x pertencente a X, q(x) ) é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) é verdadeira. Note que x X, q(x) é falsa se existe pelo menos um x X que não satisfaz o predicado q(x). x [1, [, x 2 x x R, x 2 x A sentença é verdadeira. Justificativa: se x [1, [, então x 1e x > 0. Portanto, x x 1 x, isto é, x 2 x. A sentença é falsa. Justificativa: existe x R tal que x 2 < x. De fato: se x = 1/2, então x R e x 2 = 1/4 < 1/2 = x. Parte 3 Matemática Básica 13 Parte 3 Matemática Básica 14 Quantificador universal ( ) x X, q(x) (lê-se para todo x pertencente a X, q(x) ) é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) é verdadeira. Note que x X, q(x) é falsa se existe pelo menos um x X que não satisfaz o predicado q(x). Quantificador existencial ( ) x X q(x) (lê-se existe x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que pelo menos um exemplo. Note que x X q(x) é falsa se todo a, b R, (a + b) 2 = a ab + b 2 x R x 2 x 1 = 0 A sentença é verdadeira. Justificativa: se a, b R, então (a + b) 2 = (a + b)(a + b) =a 2 + ab + ba + b 2 = a ab + b 2. A sentença é verdadeira. Justificativa: se x =(1+ 5)/2, então x R e x 2 x 1 = 0. Parte 3 Matemática Básica 15 Parte 3 Matemática Básica 16

5 Quantificador existencial ( ) x X q(x) (lê-se existe x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que pelo menos um exemplo. Note que x X q(x) é falsa se todo Quantificador existencial ( ) x X q(x) (lê-se existe x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que pelo menos um exemplo. Note que x X q(x) é falsa se todo x R x 2 x + 1 = 0 a, b, c N a 2 = b 2 + c 2 A sentença é falsa. Justificativa: para todo x R, x 2 x + 1 = (x 1/2) 2 + 3/4 > 0. A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3ec = 4, então a 2 = 25 = = b 2 + c 2. Parte 3 Matemática Básica 17 Parte 3 Matemática Básica 18 Quantificador existencial ( ) x X q(x) (lê-se existe x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que pelo menos um exemplo. Note que x X q(x) é falsa se todo n, a, b, c N n > 2ea n = b n + c n Quantificador existencial de unicidade (!)!x X q(x) (lê-se existe um único x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X que um único exemplo. Note que!x X q(x) é falsa se existe mais de um elemento x X que satisfaz o predicado q(x) ou se todo A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do Último Teorema de Fermat). Parte 3 Matemática Básica 19 Parte 3 Matemática Básica 20

6 Quantificador existencial de unicidade (!) Quantificador existencial de unicidade (!)!x R 2 x 4 = 0!x ]0, [ x 2 = 4 A sentença é verdadeira. Justificativa: (Existência) Se x = 2, então x R e2x 4 = 2 (2) 4 = 4 4 = 0. (Unicidade) Sejam x 1, x 2 R tais que 2 x 1 4 = 0e2x 2 4 = 0. Logo 2 x 1 4 = 2 x 2 4. Portanto, 2 x 1 = 2 x 2. Assim, x 1 = x 2. A sentença é verdadeira. Justificativa: (Existência) Se x = 2, então x ]0, + [ e x 2 =(2) 2 = 4. (Unicidade) Sejam x 1, x 2 ]0, + [ tais que x1 2 = 4ex 2 2 = 4. Logo x1 2 = x 2 2 e x 1 + x 2 0. Portanto, x1 2 x 2 2 = 0ex 1 + x 2 0. Assim, (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 )=0ex 1 + x 2 0. Desta maneira, x 1 x 2 = 0, isto é, x 1 = x 2. Parte 3 Matemática Básica 21 Parte 3 Matemática Básica 22 Quantificador existencial de unicidade (!) Quantificador existencial de unicidade (!)!x R x 2 = 4!x ]0, [ x 2 = 2 A sentença é falsa. Justificativa: se x 1 = 2 ex 2 = 2, então x 1 R, x 2 R, x 2 1 = 4, x 2 2 = 4ex 1 x 2. A sentença é verdadeira. Justificativa: (Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudar primeiro o conceito de continuidade de funções reais. (Unicidade) Sejam x 1, x 2 ]0, + [ tais que x1 2 = 2ex 2 2 = 2. Logo x1 2 = x 2 2 e x 1 + x 2 0. Portanto, x1 2 x 2 2 = 0ex 1 + x 2 0. Assim, (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 )=0ex 1 + x 2 0. Desta maneira, x 1 x 2 = 0, isto é, x 1 = x 2. Parte 3 Matemática Básica 23 Parte 3 Matemática Básica 24

7 Cuidado: ordem dos quantificadores dos quantificadores dos Quantificadores ( x X, p(x)) = ( x X (x)) a R, b R b > a (Verdadeira) b R a R, b > a (Falsa) Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores! ( x X p(x)) = ( x X p(x)) = ( x X, (x)) (!x X p(x)) = ( x X, (x)) ( x X (p(x) ( y X p(y) (x y)))) Exemplos: ( x R, x 2 x) = x R x 2 < x ( x R x 2 x + 1 = 0) = x R, x 2 x ( b R a R, b > a) = b R, a R b a Parte 3 Matemática Básica 25 Parte 3 Matemática Básica 26 de uma implicação de uma implicação de Uma Implicação Supondo que p e q são dois predicados que dependem de x X: (p(x) q(x)) = x X (p(x) q(x)) Exemplos (supondo que x R): (1/x < 1 x > 1) = x R (1/x < 1 x 1) (4 x x 3) = x R [4 x 2 9 (x < 2 x > 3)] CUIDADO! A negação de uma implicação não é outra implicação! Erro comum: achar que a negação de p(x) q(x) é (x) q(x)! Parte 3 Matemática Básica 27 Parte 3 Matemática Básica 28

8 Saiba diferenciar! A B recíproca contrapositiva negação B A B A x A B para todo x real, x 2 x. existe x real tal que x 2 < x. Parte 3 Matemática Básica 29 Parte 3 Matemática Básica 30 para todo n natural positivo, n 2 + n + 41 é um número primo. existe x real tal que x 2 x + 1 = 0. existe n natural positivo tal que n 2 + n + 41 não é um número primo. para todo x real, x 2 x Parte 3 Matemática Básica 31 Parte 3 Matemática Básica 32

9 existem n, a, b, c naturais tais que n > 2ea n = b n + c n. existe b real tal que para todo a real, b > a. para todo n, a, b, c naturais, n 2oua n b n + c n. para todo b real, existe a real tal que b a. Parte 3 Matemática Básica 33 Parte 3 Matemática Básica 34 se n é primo, então 2 n 1 é primo. se a 2 > 1, então a > 1. existe n natural tal que n éprimoe2 n 1 não é primo. existe a real tal que a 2 > 1ea 1. Parte 3 Matemática Básica 35 Parte 3 Matemática Básica 36