Introdução à Lógica Matemática

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1 Introdução à Lógica Matemática Disciplina fundamental sobre a qual se fundamenta a Matemática Uma linguagem matemática Paradoxos 1) Paradoxo do mentiroso (A) Esta frase é falsa. A sentença (A) é verdadeira (V) ou falsa (F). Se a sentença (A) for V, então, pelo enunciado da própria frase, a sentença (A) é F. Porém, isto é uma contradição. Por outro lado, se a sentença (A) for F, então o que ela diz não é fato, o que significa que, na realidade, a sentença é V. Novamente, temos uma contradição e, portanto, um paradoxo. 2) Paradoxo do cartão (Jourdain) Um lado do cartão tem a frase: (A) A sentença do outro lado do cartão é verdadeira. O outro lado do cartão tem a frase: (B) A sentença do outro lado do cartão é falsa. Se (A) é V, implica que (B) é V, portanto, (A) é F. Se (A) é F, implica que (B) é F, portanto, (A) é V. Sentenças (A), (B) são, ao mesmo tempo, V e F. Problema: auto-referência

2 Conclusão: linguagem coloquial não apropriada necessidade de linguagens formais. Proposições Proposições transmitem um pensamento de sentido completo, afirmam fatos. 1) 2 é um número irracional. 2) Machado de Assis escreveu A Divina Comédia. 3) Um hexágono tem seis lados. Regras Fundamentais de Lógica Matemática 1) Princípio de não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 2) Princípio do terceiro excluído: toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa. Isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Consequência desses princípios: toda a proposição assume valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F). Sentenças 1 e 3 possuem valor lógico V e a sentença 2 possui valor lógico F. Tipos de Proposições Proposição simples: aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte. Notação: letra minúscula romana do final do alfabeto; por exemplo, p, q, r, etc. Proposição composta: formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Notação: letra maiúscula romana do final do alfabeto; por exemplo, P, Q, R etc.

3 Exemplo: P(p, r): O número 36 é um quadrado perfeito e o pentágono tem cinco diagonais. Valor lógico de P(p, r) é V, pois 36=6 6 5! é dado por 2!3! 5=10 5=5. ; e o número de diagonais do pentágono Conectivos: são usados para forma novas proposições a partir de outras. Ex.: e, ou, não, se então, se e somente se Conectivos: Notação Símbolo Significado p / ~ p não p p q p e q p q p q p q p ou q se p então q p se e somente se q Tabela-verdade de conectivos: p V F Não... p F V

4 ...e......ou... p q p q p q p q V V V V V V V F F V F V F V F F V V F F F F F F Se... então... p q p q V V V V F F F V V F F V Outras locuções para p q 1) p implica q (p acarreta q). 2) p é uma condição suficiente para q. 3) q é uma condição necessária para p. Ex.: Se um SLIT é assintoticamente estável, então é BIBO estável. (i) x=[ 1 0 y=[1 0 2] x [ 1 1] 1] x u G s = 2 s 3 s 1 s 2 Assintoticamente estável BIBO estável

5 (ii) x=[ ] x [ 0 1] u G s = 1 y=[1 1] x s 2 Não é assintoticamente estável BIBO estável (iii) x=[ ] x [ 1 0] u G s = 1 y=[1 1] x s 1 Não é assintoticamente estável Não é BIBO estável Jamais chegaremos à conclusão que o antecedente p é V e o consequente q é F. Porém, q não implica p. BIBO estável não implica assintoticamente estável. No exemplo (ii), o sistema é BIBO estável, mas não é assintoticamente estável....se e somente se... p q p q V V V V F F F V F F F V Ex.: um SLIT controlável e observável é BIBO estável se e somente se (s.s.e.) é assintoticamente estável (não há cancelamento de polos e zeros).

6 Equivalência Lógica p q q p p p p q p q p q p q V V V V F F F V V F F V p q p p q V V F V V F F F F V V V F F V V A proposição p q é equivalente à proposição p q. Proposições equivalentes possuem a mesma tabela-verdade.

7 Lei de De Morgan Para obter a negação de uma proposição composta, substitui-se todo um, e vice-versa, e toda proposição simples p por p. por p q p q p q p q (Leis de De Morgan) Note que p q q p. DEMONSTRAÇÃO p q p q q p r= q; s= p q p r s r s p q q p (proposição contrapositiva)

8 Prova de Implicações Uma implicação é verdadeira quando a verdade do seu antecedente acarreta a verdade do seu consequente. Ex.: Considere a implicação: Se chove, então a rua está molhada. Observe que a implicação não afirma nem que está chovendo nem que a rua está molhada, mas que existe uma certa relação de causa e efeito entre chover e a rua estar molhada. Quando sabemos que uma implicação é verdadeira, não podemos concluir que seu antecedente é verdadeiro, nem que seu consequente é verdadeiro, mas que não podemos considerar seu antecedente verdadeiro e seu consequente falso. Essa análise da relação entre o antecedente e o consequente de uma implicação verdadeira nos leva a considerar que para provar implicações, podemos utilizar o seguinte método. Método da Suposição Para provar uma implicação se p, então q, é suficiente fazer o seguinte: 1) Supor que o antecedente p é verdadeiro; 2) Provar que o consequente q é verdadeiro, usando p como premissa (hipótese). Ex.: Proposição: P(p, q) = Se n é um número natural par, então n² é um número natural par. Definição: seja n N. Dizemos que n é par se existe um número natural k tal que n = 2k.

9 Prova: p q Suponha que n é par. Então, n = 2k, em que k N. Desta forma, n 2 = 2 k 2 =2.2 k 2 =2 2 k 2, em que 2 k 2 N. Logo, n² é par e portanto P(p, q) é V. Método da Contraposição Para provar que p q, basta fazer o seguinte: 1) Supor que a negação do consequente, q, é verdadeira; 2) provar que a negação do antecedente, p, é verdadeira, usando q como premissa ( p q q p ) Ex.: Seja x um número natural qualquer. P(p, q) = Se x² é par, então x é par. Prova: x não é par x² não é par. Supondo que x é ímpar, temos que x = 2n + 1, n N. Logo, x 2 = 2 n+1 2 =4n 2 4 n+1=2 2n 2 2n 1, 2n 2 2n N. Assim, x² é impar, ou seja, x² não é par.

10 Tautologia (t): é uma proposição que é sempre verdadeira independentemente dos valores-verdade das afirmações que compõem a proposição. Exs.: p p, ( p) p, p p, (p q ) ( q p) Contradição (c): proposição que é sempre falsa. Exs.: p p, p p Método de Redução ao Absurdo (Prova por Contradição) A prova por contradição consiste em acrescentar a negação da conclusão ao conjunto de premissas e mostrar, através das regras de inferência, que esta inclusão leva logicamente a uma contradição. Conjunto de premissas: { p 1, p 2,, p n } Quero provar que {p 1, p 2,, p n } q. Basta mostrar que {p 1, p 2,, p n, q} { p i c é uma contradição. p i }, ou seja, q c, onde Ex.: Proposição: 2 não é um número racional. Premissas: I. Todo número racional positivo pode ser escrito como uma fração de dois números naturais a e b, com b 0. II. Toda fração a/b de dois números naturais pode ser simplificada até uma fração c/d, onde c e d não possuem fatores comuns. III.Todo número natural é par ou ímpar de maneira exclusiva. Os números pares podem ser escritos na forma 2m, m N e os ímpares, na forma 2n + 1, n N. IV.Se o quadrado de um número é par, então este número é par.

11 PROVA: Supor que 2 é um número racional. Logo, de (I), temos que 2= a b De (II), segue que 2= c d, em que c e d não possuem fatores em comum. Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, temos que 2= c2 d 2, ou seja, c 2 =2d 2 (1). De (III), concluímos que c² é par. De (IV), é possível concluir que c é par. Portanto, de (III), temos que: c = 2m (2) Substituindo (2) em (1), segue que: (2m)² = 2d² e, daí, 4m² = 2d² 2m² = d², ou seja, d² é par, e, consequentemente, d é par, e portanto, d = 2n. Assim, c = 2m e d = 2n, acarretando que c e d possuem 2 como um fator comum, contradizendo a premissa (II). Portanto, 2 não é um número racional. Função Proposicional p(x) torna-se uma proposição sempre que x for substituído por a A, ou seja, p(x) é uma sentença com a propriedade que p(a) é V ou F. Ex.: p x : x 2 7 é uma função proposicional se A=R, e não se A=C Outra maneira de lidar com funções proposicionais, observando que p(x) pode ser V para todo x A, para algum x 0 A ou para nenhum x A

12 Quantificadores:, Notação: = para todo ou qualquer que seja (quantificador universal) x A p x ou x, p x = existe, para algum, para ao menos um (quantificador existencial) x A p x ou x, p x Negação: proposições com quantificadores Ex.: Todos os homens são mentirosos não é verdade que (todos os homens são mentirosos) existe ao menos um homem que não é mentiroso x H (x é mentiroso) equivale a x H (x não é mentiroso) Teorema (De Morgan) x A p x x A p x x A p x x A p x Dado que x A p x x A p x, para mostrar que x, p x é falso, basta que x 0, p x 0 é falso. Tal x 0 é denominado de CONTRA-EXEMPLO