Semana 3 MCTB J Donadelli. 1 Técnicas de provas. Demonstração indireta de implicação. indireta de. Demonstração por vacuidade e trivial

Transcrição

1 Semana 3 por de por de 1 indireta por de por de

2 Teoremas resultados importantes, Os rótulos por de por de

3 Teoremas resultados importantes, Os rótulos Proposições um pouco menos importantes, por de por de

4 Os rótulos Teoremas resultados importantes, Proposições um pouco menos importantes, Lemas resultados auxiliares, por de por de

5 por de Os rótulos Teoremas resultados importantes, Proposições um pouco menos importantes, Lemas resultados auxiliares, Corolários consequência fácil de outro resultado, por de

6 por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos Proposições um pouco menos importantes, Lemas resultados auxiliares, Corolários consequência fácil de outro resultado, Conjeturas propostas de uma sentença verdadeira. Se for provada vira um teorema.

7 por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos Proposições um pouco menos importantes, Lemas resultados auxiliares, Corolários consequência fácil de outro resultado, Conjeturas propostas de uma sentença verdadeira. Se for provada vira um teorema. Exercícios:

8 por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos Proposições um pouco menos importantes, Lemas resultados auxiliares, Corolários consequência fácil de outro resultado, Conjeturas propostas de uma sentença verdadeira. Se for provada vira um teorema. Exercícios:

9 por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos Proposições um pouco menos importantes, Lemas resultados auxiliares, Corolários consequência fácil de outro resultado, Conjeturas propostas de uma sentença verdadeira. Se for provada vira um teorema. Exercícios: É subjetivo (exceto os exercícios ).

10 Exemplo por de por de Teorema Se (a, b) = (x, y) então a = x e b = y. Para provar o teorema usamos o resultado auxiliar: Lema Se { a, x } = { a, y } então x = y. Consequência fácil do teorema: Corolário Se a b então (a, b) (b, a). demonstrações nas notas de aula de conjuntos

11 Definições por de por de... são parte importante das demonstrações. Definição de número par Um inteiro n é par se, e somente se, n é da forma 2k para algum inteiro k. É um se, e somente se, usada em demonstrações como se fosse uma equivalência lógica, para qualquer n Z n é par k Z, n = 2k.

12 Exemplo por de por de Teorema Se x Z é par e y Z é par, então x + y é par.. Sejam x e y números inteiros. Assuma que x é par e y é par. Pela definição de número par, existem inteiros k 1 e k 2 tais que x = 2k 1 e y = 2k 2, logo x + y = 2(k 1 + k 2 ), portanto, pela definição, x + y é par.

13 Escrevendo direito por de por de As demonstrações devem se escritas em português, usando frases completas e com pontuação adequada. Fórmulas e símbolos matemáticos são partes de frases e não são tratados diferente de outras palavras.

14 por de por de Escrutínio 1) x é par e y é par. (hipótese) 2) x é par. (simplificação) 3) y é par. (simplificação) 4) x é par k 1 Z, x = 2k 1 (definição) 5) k 1 Z, x = 2k 1 (modus ponens) 6) x = 2k 1 (instanciação ) 7) y é par k 2 Z, y = 2k 2 (definição) 8) k 2 Z, y = 2k 2 (modus ponens) 9) y = 2k 2 (instanciação ) 10) x = 2k 1 e y = 2k 2 (conjunção) 11) x = 2k 1 e y = 2k 2 x + y = 2(k 1 + k 2 ) (compatibilidade) 12) x + y = 2(k 1 + k 2 ) (modus ponens) 13) x + y = 2(k 1 + k 2 ) c Z, x + y = 2c (generalização ) 14) c Z, x + y = 2c (modus ponens) 15) c Z, x + y = 2c x + y é par (definição) 16) x + y é par (modus ponens).

15 de por de Para demonstrar que A B é verdadeiro assumimos que A é verdadeiro e deduzimos que B é verdadeiro. por de

16 de por de Para demonstrar que A B é verdadeiro assumimos que A é verdadeiro e deduzimos que B é verdadeiro. por de : Sejam... Declare as variáveis Assuma/Suponha A Declare as hipóteses Argumente Portanto B Conclua

17 Exemplo por de por de Teorema Se a e b são números inteiros tais que 0 < a < b, então a 2 < b 2.

18 Exemplo por de por de. Sejam a e b são números inteiros. Suponha que 0 < a < b e vamos provar que a 2 < b 2. Se a < b e 0 < a então a 2 < ab. Se a < b e 0 < b então ab < b 2. Por transitividade a 2 < b 2.

19 Escrutínio do exemplo por de por de 1) 0 < a e a < b (hipótese) 2) a < b (simplificação) 3) 0 < a (simplificação) 4) se 0 < a e a < b, então 0 < b (transitividade do <) 5) 0 < b (modus ponens) 6) se a > 0 e a < b então a a < a b (compatibilidade do < com ) 7) a 2 < ab (modus ponens) 8) 0 < b e a < b (regra da conjunção) 9) se b > 0 e a < b então, a b < b b (compatibilidade do < com ) 10) ab < b 2 ( modus ponens) 11) a 2 < ab e ab < b 2 (regra da conjunção) 12) se a 2 < ab e ab < b 2 então a 2 < b 2 (transitividade do <) 13) a 2 < b 2 (modus ponens)

20 Demonstrações por de por de As demonstrações devem se escritas em português, usando frases completas e com pontuação adequada. Fórmulas e símbolos matemáticos são partes de frases e não são tratados diferente de outras palavras. Rascunho é muito importante para descobrir a estratégia geral para abordar o problema a ser resolvido, antes de examinar os detalhes. Demonstrar é um trabalho de exploração. A demostração mostra só resultado final desse trabalho.

21 Exemplo por de por de Teorema Sejam A, B, C conjuntos não vazios. Se A C B e a C então a A \ B.

22 Exemplo por de por de Teorema Sejam A, B, C conjuntos não vazios. Se A C B e a C então a A \ B. Teorema Sejam A, B, C conjuntos não vazios. Se A C B e a C então a A a B.

23 Exemplo Em símbolos: (A C B e a C) (a A a B) por de por de

24 Exemplo Em símbolos: (A C B e a C) (a A a B) por de por de assumimos: A C B e a C verdadeiro provamos: a A a B verdadeiro

25 Exemplo Em símbolos: (A C B e a C) (a A a B) por de por de assumimos: A C B e a C verdadeiro provamos: a A a B verdadeiro assumimos: A C B e a C e a A verdadeiro provamos: a B verdadeiro.

26 Enunciados por de por 1 Se 3 divide o inteiro n então 9 divide n 2. 2 Se n é um inteiro ímpar, então n 2 é ímpar. 3 Se m Z é par e n Z é par, então m + n é par. de

27 Enunciados por de por de 1 Se 3 divide o inteiro n então 9 divide n 2. 2 Se n é um inteiro ímpar, então n 2 é ímpar. 3 Se m Z é par e n Z é par, então m + n é par. Essas significam, 1 Para todo n Z, se 3 divide n então 9 divide n 2. 2 Para todo n Z, se n é ímpar, então n 2 é ímpar. 3 Para todo n Z, para todo m, se m é par e n é par, então m + n é par.

28 Prova de x D, P(x) Q(x) por de por de passo 1 considere c arbitrário em D passo 2 prove P(c) Q(c) passo 3 conclua x(p(x) Q(x)) pela regra da generalização universal.

29 Prova de x D, P(x) Q(x) por de por de passo 1 considere c arbitrário em D passo 2 prove P(c) Q(c) passo 3 conclua x(p(x) Q(x)) pela regra da generalização universal. : Tome x D qualquer/seja x um elemento arbitrário de D Demonstre P(x) Q(x). Portanto, P(x) Q(x) para todo x D.

30 por de por de Para demonstrar que A B é verdadeiro provamos que alguma sentença logicamente equivalente a A B é verdadeiro. (contrapositiva) A B B A (contradição) A B A B F

31 Contrapositiva por de por de B A : Sejam... Declare as variáveis Assuma/Suponha B Declare as hipóteses Argumente Portanto A Conclua

32 Contrapositiva por de por de B A : Sejam... Declare as variáveis Assuma/Suponha B Declare as hipóteses Argumente Portanto A Conclua Teorema Para todo n N, se n 2 é par então n é par.

33 Contradição por de por de (A B) (A B) F Um exemplo de estratégia para (A B) F 1) A (hipótese) 2) B (hipótese) 3) A (dedução) 4) A A (regra da conjunção) Eventualmente, na linha 3 deduzimos B e chegamos na contradição B B.

34 Contradição por de por de (A B) F : A prova é por contradição. Sejam... Assuma/Suponha A e B Argumente Portanto... e temos uma contradição. Logo A B.

35 Contradição por de por de Definição: a e b inteiros são coprimos se, e só se, mdc(a, b) = 1. Teorema Se a e b são números inteiros coprimos, então não são ambos par.

36 Exercícios por de por de Enuncie precisamente as abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis: 1 Seja x um inteiro não nulo. Existe um único y tal que para todo z vale zy = z x. 2 Seja x um real. Existe um único y tal que x 2 y = x y.

37 trivial e por vacuidade por de por de P Q é verdadeira ou porque P é falso (vacuidade) ou porque Q é verdadeiro (trivial). Para todo x conjunto, se x então x A Para todo x N, se n > 1 então n 2 > n. Para todo x R, se x < 0 então x 5 4. Para todo x R, se x > 0 então x > 0.

38 de por de por de Demonstrar que P Q é verdadeira. Usamos que (P Q) (P Q) (P Q). Escrevemos duas demonstrações: P Q e a recíproca Q P.

39 por de por de Definição: a, b Z a b se, e só se, existe q Z tal que aq = b. a b lê-se a divide b

40 por de por de de Teorema Para todos a, b Z não nulos, a b e b a se, e somente se, a = b ou a = b.. Sejam a e b números inteiros não-nulos quaisquer. Primeiro, assuma a = b ou a = b. [argumento]. Portanto, a b e b a. Agora, assuma a b e b a. [argumento]. Portanto, a = b ou a = b. Portanto, a b e b a se, e somente se, a = b ou a = b.

41 por por de por de O argumento aqui por para P Q é usado quando P pode ser escrito na forma P 1 P 2 P n baseado na equivalência lógica ((P 1 P 2 P n ) Q) ((P 1 Q) (P 2 Q) (P n Q)) as implicações P i Q são os.

42 por por de por de Teorema Se n Z então n 2 + n é par.. Seja n um inteiro arbitrário. Então n é par ou n é ímpar. Caso 1: Assuma n par. [argumento]. Portanto n 2 + n é par. Caso 2: Assuma n ímpar. [argumento]. Logo n 2 + n é par. Portanto, para todo n inteiro, n 2 + n é par.

43 por Teorema Seja n um número inteiro. Se 1 n 40 então n 2 n + 41 é primo. por de por de

44 por de por de por Teorema Seja n um número inteiro. Se 1 n 40 então n 2 n + 41 é primo.. Defina f(n) = n 2 n f(1) = 41 é primo, f(2) = 43 é primo, f(3) = 47 é primo, f(4) = 53 é primo, f(5) = 61 é primo, f(6) = 71 é primo, f(7) = 83 é primo, f(8) = 97 é primo, f(9) = 113 é primo, f(10) = 131 é primo, f(11) = 151 é primo, f(12) = 173 é primo, f(13) = 197 é primo, f(14) = 223 é primo, f(15) = 251 é primo, f(16) = 281 é primo, f(17) = 313 é primo, f(18) = 347 é primo, f(19) = 383 é primo, f(20) = 421 é primo, f(21) = 461 é primo, f(22) = 503 é primo, f(23) = 547 é primo, f(24) = 593 é primo, f(25) = 641 é primo, f(26) = 691 é primo, f(27) = 743 é primo, f(28) = 797 é primo, f(29) = 853 é primo, f(30) = 911 é primo, f(31) = 971 é primo, f(32) = 1033 é primo, f(33) = 1097 é primo, f(34) = 1163 é primo, f(35) = 1231 é primo, f(36) = 1301 é primo, f(37) = 1373 é primo, f(38) = 1447 é primo, f(39) = 1523 é primo, f(40) = 1601 é primo.

45 de por de por de x D, P(x) construtiva: Exibe c D tal que P(c). não-construtiva: Infere, indiretamente, c D tal que P(c).

46 de por de por de Teorema Existe um inteiro positivo n que pode ser escrito como a soma de dois cubos de duas maneiras diferentes.

47 de por de por de Teorema Existe um inteiro positivo n que pode ser escrito como a soma de dois cubos de duas maneiras diferentes. (construtiva). Tome n = 1729, pois 1729 = =

48 por de por de Definição: O número real x é racional se existem números inteiros n e m, com m 0, tal que x = n m. Se x não é racional então x é irracional. Note que se x é racional, n m não é único A fração n m está na forma reduzida se mdc(n, m) = 1.

49 de por de Teorema Para todo racional y, existe um inteiro x tal que y < x. por de

50 por de por de de Teorema Para todo racional y, existe um inteiro x tal que y < x. (construtiva). Seja p q um racional arbitrário. Vamos exibir um inteiro n tal que p q < n. Faça n = p + 1. Temos da definição de valor absoluto que p q p q. Ademais p q p e p < p + 1. Portanto < p + 1. p q

51 por de Teorema O polinômio p(x) = x 3 + x 1 tem uma raiz real. de por de

52 por de por de de Teorema O polinômio p(x) = x 3 + x 1 tem uma raiz real. (não-construtiva). Se p(x) = x 3 + x 1, então p: R R é uma função real contínua. Vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário para p(0) = 1 < 0 e p(1) = 1 > 0. Pelo TVI, para todo b [p(0), p(1)], existe a [0, 1] tal que p(a) = b. Façamos b = 0 e concluímos que existe a [0, 1] tal que p(a) = 0. Portanto a é raiz de p.

53 de Teorema Existem x, y irracionais tais que x y é racional. por de por de

54 por de por de de Teorema Existem x, y irracionais tais que x y é racional. (não-construtiva). Sabemos que 2 é irracional. O número 2 2 é racional ou irracional. Caso 1: Se 2 2 é racional então faça x = y = 2 e temos x y racional. Caso 2: Se 2 2 é irracional então faça x = 2 2 e y = 2 e temos x y = = 2 2 = 2 que é racional. Portanto existem x, y irracionais com x y racional.

55 por de por de Exercícios 1 Prove que não há uma quantidade finita de números primos. 2 Prove que não há um menor racional positivo. 3 Prove que para qualquer natural n > 1, existe uma sequência formada por n números naturais consecutivos tal que nenhum deles é primo (dica:(n + 1)! + j é divisível por j.). 4 Prove que no domínio dos números reais a seguinte sentença é verdadeira: ε > 0, δ > 0, x R, ( x 3 < δ 2x 2 5x 3 x 3 ) < ε