Para provar uma implicação se p, então q, é suficiente fazer o seguinte:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Para provar uma implicação se p, então q, é suficiente fazer o seguinte:"

Transcrição

1 Prova de Implicações Uma implicação é verdadeira quando a verdade do seu antecedente acarreta a verdade do seu consequente. Ex.: Considere a implicação: Se chove, então a rua está molhada. Observe que a implicação não afirma nem que está chovendo nem que a rua está molhada, mas que existe uma certa relação de causa e efeito entre chover e a rua estar molhada. Quando sabemos que uma implicação é verdadeira, não podemos concluir que seu antecedente é verdadeiro, nem que seu consequente é verdadeiro, mas que não podemos considerar seu antecedente verdadeiro e seu consequente falso. Essa análise da relação entre o antecedente e o consequente de uma implicação verdadeira nos leva a considerar que para provar implicações, podemos utilizar o seguinte método. Método da Suposição Para provar uma implicação se p, então q, é suficiente fazer o seguinte: 1) Supor que o antecedente p é verdadeiro; 2) Provar que o consequente q é verdadeiro, usando p como premissa (hipótese). Ex.: Proposição: P(p, q) = Se n é um número natural par, então n² é um número natural par. Definição: seja n N. Dizemos que n é par se existe um número natural k tal que n = 2k.

2 Prova: p q Suponha que n é par. Então, n = 2k, em que k N. Desta forma, n 2 = 2 k 2 =2.2 k 2 =2 2 k 2, em que 2 k 2 N. Logo, n² é par e portanto P(p, q) é V. Método da Contraposição Para provar que p q, basta fazer o seguinte: 1) Supor que a negação do consequente, q, é verdadeira; 2) provar que a negação do antecedente, p, é verdadeira, usando q como premissa ( p q q p ) Ex.: Seja x um número natural qualquer. P(p, q) = Se x² é par, então x é par. Prova: x não é par x² não é par. Supondo que x é ímpar, temos que x = 2n + 1, n N. Logo, x 2 = 2 n+1 2 =4n 2 4 n+1=2 2n 2 2n 1, 2n 2 2n N. Assim, x² é impar, ou seja, x² não é par.

3 Tautologia (t): é uma proposição que é sempre verdadeira independentemente dos valores-verdade das afirmações que compõem a proposição. Exs.: p p, ( p) p, p p, (p q ) ( q p) Contradição (c): proposição que é sempre falsa. Exs.: p p, p p Método de Redução ao Absurdo (Prova por Contradição) A prova por contradição consiste em acrescentar a negação da conclusão ao conjunto de premissas e mostrar, através das regras de inferência, que esta inclusão leva logicamente a uma contradição. Conjunto de premissas: { p 1, p 2,, p n } Quero provar que {p 1, p 2,, p n } q. Basta mostrar que {p 1, p 2,, p n, q} { p i c é uma contradição. p i }, ou seja, q c, onde Ex.: Proposição: 2 não é um número racional. Premissas: I. Todo número racional positivo pode ser escrito como uma fração de dois números naturais a e b, com b 0. II. Toda fração a/b de dois números naturais pode ser simplificada até uma fração c/d, onde c e d não possuem fatores comuns. III.Todo número natural é par ou ímpar de maneira exclusiva. Os números pares podem ser escritos na forma 2m, m N e os ímpares, na forma 2n + 1, n N. IV.Se o quadrado de um número é par, então este número é par.

4 PROVA: Supor que 2 é um número racional. Logo, de (I), temos que 2= a b De (II), segue que 2= c d, em que c e d não possuem fatores em comum. Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, temos que 2= c2 d 2, ou seja, c 2 =2d 2 (1). De (III), concluímos que c² é par. De (IV), é possível concluir que c é par. Portanto, de (III), temos que: c = 2m (2) Substituindo (2) em (1), segue que: (2m)² = 2d² e, daí, 4m² = 2d² 2m² = d², ou seja, d² é par, e, consequentemente, d é par, e portanto, d = 2n. Assim, c = 2m e d = 2n, acarretando que c e d possuem 2 como um fator comum, contradizendo a premissa (II). Portanto, 2 não é um número racional. Função Proposicional p(x) torna-se uma proposição sempre que x for substituído por a A, ou seja, p(x) é uma sentença com a propriedade que p(a) é V ou F. Ex.: p x : x 2 7 é uma função proposicional se A=R, e não se A=C Outra maneira de lidar com funções proposicionais, observando que p(x) pode ser V para todo x A, para algum x 0 A ou para nenhum x A

5 Quantificadores:, Notação: = para todo ou qualquer que seja (quantificador universal) x A p x ou x, p x = existe, para algum, para ao menos um (quantificador existencial) x A p x ou x, p x Negação: proposições com quantificadores Ex.: Todos os homens são mentirosos não é verdade que (todos os homens são mentirosos) existe ao menos um homem que não é mentiroso x H (x é mentiroso) equivale a x H (x não é mentiroso) Teorema (De Morgan) x A p x x A p x x A p x x A p x Dado que x A p x x A p x, para mostrar que x, p x é falso, basta que x 0, p x 0 é falso. Tal x 0 é denominado de CONTRA-EXEMPLO

Introdução à Lógica Matemática

Introdução à Lógica Matemática Introdução à Lógica Matemática Disciplina fundamental sobre a qual se fundamenta a Matemática Uma linguagem matemática Paradoxos 1) Paradoxo do mentiroso (A) Esta frase é falsa. A sentença (A) é verdadeira

Leia mais

Negação. Matemática Básica. Negação. Negação. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Regras do Jogo. Regras do Jogo

Negação. Matemática Básica. Negação. Negação. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Regras do Jogo. Regras do Jogo Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 3 Parte 3 Matemática Básica 1 Parte 3 Matemática Básica 2 Qual é a negação do predicado

Leia mais

Matemática para controle:

Matemática para controle: Matemática para controle: Introdução à Lógica Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit@nacad.ufrj.br http://www.nacad.ufrj.br/ amit Introdução

Leia mais

MÓDULO II - PARTE II LÓGICA DOS PREDICADOS

MÓDULO II - PARTE II LÓGICA DOS PREDICADOS MÓDULO II - PARTE II LÓGICA DOS PREDICADOS Quantificadores Professora Dr. a Donizete Ritter 26 de julho de 2017 Ritter, D. (UNEMAT/DEAD/SI) LÓGICA 26 de julho de 2017 1 / 18 Sumário 1 INTRODUÇÃO 2 TIPOS

Leia mais

Unidade 1 - Elementos de Lógica e Linguagem Matemáticas. Exemplo. O significado das palavras. Matemática Básica linguagem do cotidiano

Unidade 1 - Elementos de Lógica e Linguagem Matemáticas. Exemplo. O significado das palavras. Matemática Básica linguagem do cotidiano A Pirâmide de aprendizagem de William Glasser Unidade 1 - Elementos de Lógica e Linguagem Matemáticas Matemática Básica Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense 2018.1 Segundo

Leia mais

Demonstrações. Terminologia Métodos

Demonstrações. Terminologia Métodos Demonstrações Terminologia Métodos Técnicas de Demonstração Uma demonstração é um argumento válido que estabelece a verdade de uma sentença matemática. Técnicas de Demonstração Demonstrações servem para:

Leia mais

Apresentação do curso

Apresentação do curso Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo

Leia mais

Lista 1 - Bases Matemáticas

Lista 1 - Bases Matemáticas Lista 1 - Bases Matemáticas Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Parte I 1 Atribua valores verdades as seguintes proposições: a) 5 é primo e 4 é ímpar. b) 5 é primo ou 4 é ímpar. c) (Não é verdade

Leia mais

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 2 13 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 2 13 de agosto de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 2 13 de agosto de 2010 Aula 2 Pré-Cálculo 1 Problemas de organização e erros frequentes Problemas

Leia mais

Lista 2 - Bases Matemáticas

Lista 2 - Bases Matemáticas Lista 2 - Bases Matemáticas (Última versão: 14/6/2017-21:00) Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Parte I 1 Atribua valores verdades as seguintes proposições: a) 5 é primo e 4 é ímpar. b) 5 é primo

Leia mais

Bases Matemáticas. Como o Conhecimento Matemático é Construído. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. Definições Axiomas.

Bases Matemáticas. Como o Conhecimento Matemático é Construído. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. Definições Axiomas. 1 Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2012-9-21 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Construído 2 Definições Axiomas Demonstrações Teoremas Demonstração: prova de que um

Leia mais

Indução Matemática. George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE

Indução Matemática. George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE Indução Matemática George Darmiton da Cunha Cavalcanti CIn - UFPE Introdução Qual é a fórmula para a soma dos primeiros n inteiros ímpares positivos? Observando os resultados para um n pequeno, encontra-se

Leia mais

Apresentação do curso

Apresentação do curso Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Parte 1 Matemática Básica

Leia mais

Para Computação. Aula de Monitoria - Miniprova

Para Computação. Aula de Monitoria - Miniprova Para Computação Aula de Monitoria - Miniprova 1 2013.1 Roteiro Provas e Proposições Conjuntos Provas e Proposições Proposição - Sentença que ou é verdadeira ou é falsa. ex: Hoje é sábado. -> É uma proposição.

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/81 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 5

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 5 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 5 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,

Leia mais

Lógica de Predicados

Lógica de Predicados Lógica de Predicados Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. a) x

Leia mais

. Um termo ou designação é uma expressão que nomeia ou designa um ente.. Uma proposição é toda a expressão p susceptível de ser verdadeira ou falsa.

. Um termo ou designação é uma expressão que nomeia ou designa um ente.. Uma proposição é toda a expressão p susceptível de ser verdadeira ou falsa. Tema 1 Lógica e Teoria dos Conjuntos 1. Proposições e valores lógicos. Um termo ou designação é uma expressão que nomeia ou designa um ente.. Uma proposição é toda a expressão p susceptível de ser verdadeira

Leia mais

Lógica. Fernando Fontes. Universidade do Minho. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65

Lógica. Fernando Fontes. Universidade do Minho. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65 Lógica Fernando Fontes Universidade do Minho Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65 Outline 1 Introdução 2 Implicações e Equivalências Lógicas 3 Mapas de Karnaugh 4 Lógica de Predicados

Leia mais

Lógica de Predicados

Lógica de Predicados Lógica de Predicados Conteúdo Correção Exercícios Operações Lógicas sobre Predicados Condicional Quantificador de Unicidade (Rosen 37) Quantificadores com Restrição (Rosen 38) Tradução Português-Lógica

Leia mais

Aula 1 Aula 2. Ana Carolina Boero. Página:

Aula 1 Aula 2. Ana Carolina Boero.   Página: Elementos de lógica e linguagem matemática E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Linguagem matemática A linguagem matemática

Leia mais

Bases Matemáticas. Aula 1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática. Prof. Rodrigo Hausen. 24 de junho de 2014

Bases Matemáticas. Aula 1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática. Prof. Rodrigo Hausen. 24 de junho de 2014 Aula 1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Prof. Rodrigo Hausen 24 de junho de 2014 Definição Uma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não simultaneamente ambas.

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 6

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 6 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 6 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 2

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 2 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,

Leia mais

Aula 1 Aula 2 Aula 3. Ana Carolina Boero. Página:

Aula 1 Aula 2 Aula 3. Ana Carolina Boero.   Página: Elementos de lógica e linguagem matemática E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Linguagem matemática A linguagem matemática

Leia mais

Lógica Proposicional Métodos de Validação de Fórmulas. José Gustavo de Souza Paiva. Introdução

Lógica Proposicional Métodos de Validação de Fórmulas. José Gustavo de Souza Paiva. Introdução Lógica Proposicional Métodos de Validação de Fórmulas José Gustavo de Souza Paiva Introdução Análise dos mecanismos que produzem e verificam os argumentos válidos apresentados na linguagem da lógica Três

Leia mais

Teoria dos Conjuntos MATEMÁTICA DISCRETA CONCEITOS PRELIMINARES. Fundamentos de Lógica Técnicas Elementares de Prova A NOÇÃO DE CONJUNTO

Teoria dos Conjuntos MATEMÁTICA DISCRETA CONCEITOS PRELIMINARES. Fundamentos de Lógica Técnicas Elementares de Prova A NOÇÃO DE CONJUNTO SUMÁRIO MATEMÁTICA DISCRETA CONCEITOS PRELIMINARES Teoria dos Conjuntos Relações e Funções Fundamentos de Lógica Técnicas Elementares de Prova Newton José Vieira 21 de agosto de 2007 1 A NOÇÃO DE CONJUNTO

Leia mais

Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17)

Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17) Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17) Lista 1 - Bases Matemáticas Elementos de Lógica e Linguagem Matemática 1

Leia mais

Elementos de Lógica Matemática. Uma Breve Iniciação

Elementos de Lógica Matemática. Uma Breve Iniciação Elementos de Lógica Matemática Uma Breve Iniciação Proposições Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico verdadeiro ou falso. Exemplos de Proposições 2 > 1 (V); 5 = 1 (F). Termos

Leia mais

Argumentação em Matemática período Prof. Lenimar N. Andrade. 1 de setembro de 2009

Argumentação em Matemática período Prof. Lenimar N. Andrade. 1 de setembro de 2009 Noções de Lógica Matemática 2 a parte Argumentação em Matemática período 2009.2 Prof. Lenimar N. Andrade 1 de setembro de 2009 Sumário 1 Condicional 1 2 Bicondicional 2 3 Recíprocas e contrapositivas 2

Leia mais

FICHA FORMATIVA 10º ANO

FICHA FORMATIVA 10º ANO FICHA FORMATIVA 10º ANO NOME: Nº: TURMA: ANO LETIVO: / DATA: / / CONDIÇÕES E RADICAIS 1 Considera as condições p( x) : x 0 e q( x) : x 1 0 Responde às seguintes questões, apresentando, para cada uma, justificação

Leia mais

Introdução aos Métodos de Prova

Introdução aos Métodos de Prova Introdução aos Métodos de Prova Renata de Freitas e Petrucio Viana IME-UFF, Niterói/RJ II Colóquio de Matemática da Região Sul UEL, Londrina/PR 24 a 28 de abril 2012 Sumário Provas servem, principalmente,

Leia mais

Elementos de Lógica Matemática p. 1/2

Elementos de Lógica Matemática p. 1/2 Elementos de Lógica Matemática Uma Breve Iniciação Gláucio Terra glaucio@ime.usp.br Departamento de Matemática IME - USP Elementos de Lógica Matemática p. 1/2 Vamos aprender a falar aramaico? ǫ > 0 ( δ

Leia mais

Conteúdo. Correção de Exercício Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42)

Conteúdo. Correção de Exercício Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42) Conteúdo Correção de Exercício Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42) Correção exercicios 11) P(x) = x = x 2 P(0) P(1) P(2) 12) Q(x) = x + 1 = 2x Q(0) Q(-1) Q(1) Correção

Leia mais

LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL FACULDADE PITÁGORAS Curso Superior em Tecnologia Redes de Computadores e Banco de dados Matemática Computacional Prof. Ulisses Cotta Cavalca LÓGICA PROPOSICIONAL Belo Horizonte/MG

Leia mais

Matemática Discreta - 04

Matemática Discreta - 04 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta - 04 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

Demonstrações Matemáticas Parte 2

Demonstrações Matemáticas Parte 2 Demonstrações Matemáticas Parte 2 Nessa aula, veremos aquele que, talvez, é o mais importante método de demonstração: a prova por redução ao absurdo. Também veremos um método bastante simples para desprovar

Leia mais

Fundamentos de Matemática. Lista de Exercícios Humberto José Bortolossi

Fundamentos de Matemática. Lista de Exercícios Humberto José Bortolossi GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Fundamentos de Matemática Lista de Exercícios Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 02 Demonstração direta, demonstração por absurdo e

Leia mais

Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos Análise de Algoritmos Técnicas de Prova Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG julho - 2015 Técnicas de Prova Definição Uma prova é um argumento válido que mostra a veracidade de um enunciado matemático.

Leia mais

MATEMÁTICA DISCRETA CONCEITOS PRELIMINARES

MATEMÁTICA DISCRETA CONCEITOS PRELIMINARES MATEMÁTICA DISCRETA CONCEITOS PRELIMINARES Newton José Vieira 21 de agosto de 2007 SUMÁRIO Teoria dos Conjuntos Relações e Funções Fundamentos de Lógica Técnicas Elementares de Prova 1 CONJUNTOS A NOÇÃO

Leia mais

Gabarito da Avaliação 3 de Lógica Computacional 1

Gabarito da Avaliação 3 de Lógica Computacional 1 Questões iguais em todas as provas: Gabarito da Avaliação 3 de Lógica Computacional 1 1. (5 pts) Utilize a Regra DC para mostrar que é válido o seguinte argumento: p q r, s ~r ~t, s u p u De acordo com

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS. Demonstrações diretas e por absurdo

LISTA DE EXERCÍCIOS. Demonstrações diretas e por absurdo LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 02 Demonstrações diretas e por absurdo Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa.

Leia mais

Introdução ao Curso. Área de Teoria DCC/UFMG 2019/01. Introdução à Lógica Computacional Introdução ao Curso Área de Teoria DCC/UFMG /01 1 / 22

Introdução ao Curso. Área de Teoria DCC/UFMG 2019/01. Introdução à Lógica Computacional Introdução ao Curso Área de Teoria DCC/UFMG /01 1 / 22 Introdução ao Curso Área de Teoria DCC/UFMG Introdução à Lógica Computacional 2019/01 Introdução à Lógica Computacional Introdução ao Curso Área de Teoria DCC/UFMG - 2019/01 1 / 22 Introdução: O que é

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/26 3 - INDUÇÃO E RECURSÃO 3.1) Indução Matemática 3.2)

Leia mais

Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matemática

Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matemática Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matemática Argumentação em Matemática Prof. Lenimar Nunes de Andrade e-mail: numerufpb@gmail.com ou lenimar@mat.ufpb.br versão 1.0

Leia mais

FICHA DE TRABALHO N.º 2 MATEMÁTICA A - 10.º ANO CONJUNTOS E CONDIÇÕES

FICHA DE TRABALHO N.º 2 MATEMÁTICA A - 10.º ANO CONJUNTOS E CONDIÇÕES FICHA DE TRABALHO N.º MATEMÁTICA A - 10.º ANO CONJUNTOS E CONDIÇÕES Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Considere a condição px : x é um número

Leia mais

Lógica Matemática - Quantificadores

Lógica Matemática - Quantificadores Lógica Matemática - Quantificadores Prof. Elias T. Galante - 2017 Quantificador Universal Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não-vazio A e seja V p o seu conjunto verdade: V p = {x x A p(x)}.

Leia mais

MDI0001 Matemática Discreta Aula 01

MDI0001 Matemática Discreta Aula 01 MDI0001 Matemática Discreta Aula 01 e Karina Girardi Roggia karina.roggia@udesc.br Departamento de Ciência da Computação Centro de Ciências Tecnológicas Universidade do Estado de Santa Catarina 2016 Karina

Leia mais

Matemática para Ciência de Computadores

Matemática para Ciência de Computadores Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP Complexidade 2002/03 1 Teoria de Conjuntos Um conjunto é uma colecção de objectos/elementos/membros. (Cantor

Leia mais

Linguagem matemática e elementos de lógica. Ana Carolina Boero

Linguagem matemática e elementos de lógica. Ana Carolina Boero Linguagem matemática e elementos de lógica Ana Carolina Boero Quantificadores Em Matemática, os quantificadores existe e para todo, denotados respectivamente pelos símbolos e, são amplamente utilizados.

Leia mais

Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução

Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução Lógica Cálculo Proposicional Introdução Lógica - Definição Formalização de alguma linguagem Sintaxe Especificação precisa das expressões legais Semântica Significado das expressões Dedução Provê regras

Leia mais

ESCOLA ONLINE DE CIÊNCIAS FORMAIS CURSO DE INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA (2) METALÓGICA DO CÁLCULO PROPOSICIONAL

ESCOLA ONLINE DE CIÊNCIAS FORMAIS CURSO DE INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA (2) METALÓGICA DO CÁLCULO PROPOSICIONAL AULA 08 ARGUMENTAÇÃO E REDUÇÃO AO ABSURDO Argumentos DEINIÇÃO 1: Uma forma argumentativa da lógica proposicional (ou simplesmente argumento) é uma sequência finita de fórmulas da lógica proposicional.

Leia mais

1 Conjuntos, Números e Demonstrações

1 Conjuntos, Números e Demonstrações 1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para

Leia mais

Dedução Natural para Lógica Proposicional

Dedução Natural para Lógica Proposicional Dedução Natural para Lógica Proposicional Matemática Discreta I Rodrigo Ribeiro Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas Universidade de Federal de Ouro Preto 11 de dezembro de 2012 Motivação (I) Considere

Leia mais

Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza Lógica Formal Matemática Discreta Prof Marcelo Maraschin de Souza Implicação As proposições podem ser combinadas na forma se proposição 1, então proposição 2 Essa proposição composta é denotada por Seja

Leia mais

Lógica dos Conectivos: demonstrações indiretas

Lógica dos Conectivos: demonstrações indiretas Lógica dos Conectivos: demonstrações indiretas Renata de Freitas e Petrucio Viana IME, UFF 5 de novembro de 2014 Sumário Acrescentando premissas. Estratégias indiretas. Principais exemplos. Um problema

Leia mais

IME, UFF 10 de dezembro de 2013

IME, UFF 10 de dezembro de 2013 Lógica IME, UFF 10 de dezembro de 2013 Sumário.... Considere o seguinte argumento Um problema de validade (1) p q q r r s s t p t (1) é válido ou não? A resposta é sim... Uma demonstração Uma demonstração

Leia mais

Matemática Básica I Notas de aula - versão

Matemática Básica I Notas de aula - versão 1 - Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Matemática Básica I Notas de aula - versão 3 2011-1 Marlene Dieguez Fernandez Observações preliminares A disciplina Matemática Básica I é oferecida no mesmo

Leia mais

Matemática Discreta. Fundamentos e Conceitos da Teoria dos Números. Universidade do Estado de Mato Grosso. 4 de setembro de 2017

Matemática Discreta. Fundamentos e Conceitos da Teoria dos Números. Universidade do Estado de Mato Grosso. 4 de setembro de 2017 Matemática Discreta Fundamentos e Conceitos da Teoria dos Números Professora Dr. a Donizete Ritter Universidade do Estado de Mato Grosso 4 de setembro de 2017 Ritter, D. (UNEMAT) Matemática Discreta 4

Leia mais

MD Métodos de Prova 1

MD Métodos de Prova 1 Métodos de Prova Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro MD Métodos de Prova 1 Introdução Objetivo: ter precisão de pensamento e linguagem para obter a certeza

Leia mais

Semana 3 MCTB J Donadelli. 1 Técnicas de provas. Demonstração indireta de implicação. indireta de. Demonstração por vacuidade e trivial

Semana 3 MCTB J Donadelli. 1 Técnicas de provas. Demonstração indireta de implicação. indireta de. Demonstração por vacuidade e trivial Semana 3 por de por de 1 indireta por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos Proposições um pouco menos importantes, por de por

Leia mais

Referências e materiais complementares desse tópico

Referências e materiais complementares desse tópico Notas de aula: Análise de Algoritmos Centro de Matemática, Computação e Cognição Universidade Federal do ABC Profa. Carla Negri Lintzmayer Conceitos matemáticos e técnicas de prova (Última atualização:

Leia mais

n. 19 QUANTIFICADOR UNIVERSAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE SENTENÇAS ABERTAS

n. 19 QUANTIFICADOR UNIVERSAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE SENTENÇAS ABERTAS n. 19 QUANTIFICADOR UNIVERSAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE SENTENÇAS ABERTAS As sentenças em que não é possível atribuir valor lógico verdadeiro ou falso, porque isso

Leia mais

Matemática Discreta. Prof. Nilson Costa 2014

Matemática Discreta. Prof. Nilson Costa 2014 1 Matemática Discreta Prof. Nilson Costa nilson.mtm@hotmail.com 2014 Definições Importantes 2 Proposição: É qualquer afirmação, verdadeira ou falsa, mas que faça sentido. Exemplos: A: Todo número maior

Leia mais

Lógica Texto 11. Texto 11. Tautologias. 1 Comportamento de um enunciado 2. 2 Classificação dos enunciados Exercícios...

Lógica Texto 11. Texto 11. Tautologias. 1 Comportamento de um enunciado 2. 2 Classificação dos enunciados Exercícios... Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 11 Tautologias Sumário 1 Comportamento de um enunciado 2 1.1 Observações................................ 4 2 Classificação dos enunciados 4 2.1

Leia mais

Fundamentos 1. Lógica de Predicados

Fundamentos 1. Lógica de Predicados Fundamentos 1 Lógica de Predicados Predicados e Quantificadores Estudamos até agora a lógica proposicional Predicados e Quantificadores Estudamos até agora a lógica proposicional A lógica proposicional

Leia mais

Lógica Proposicional Parte I. Raquel de Souza Francisco Bravo 11 de outubro de 2016

Lógica Proposicional Parte I. Raquel de Souza Francisco Bravo   11 de outubro de 2016 Lógica Proposicional Parte I e-mail: raquel@ic.uff.br 11 de outubro de 2016 Lógica Matemática Cáculo Proposicional Uma aventura de Alice Alice, ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana.

Leia mais

Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos:

Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos: 1 Noções Básicas de Lógica 1.1 Proposições Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. 1. Os sapos são anfíbios. 2. A capital do Brasil é Porto Alegre. 3. O tomate é um tubérculo.

Leia mais

Notas de Aula 2: Métodos de Prova

Notas de Aula 2: Métodos de Prova IFMG Campus Formiga Matemática Discreta Notas de Aula 2: Métodos de Prova Prof. Diego Mello 2o. Semestre 2012 Sumário 1 Introdução 2 2 Conceitos 2 3 Teoremas 4 4 Métodos de Prova 6 4.1 Prova Direta........................................

Leia mais

Lógica dos Conectivos: demonstrações indiretas

Lógica dos Conectivos: demonstrações indiretas Lógica dos Conectivos: demonstrações indiretas Renata de Freitas e Petrucio Viana IME, UFF 18 de junho de 2015 Sumário Olhe para as premissas Olhe para a conclusão Estratégias indiretas Principais exemplos

Leia mais

Exercícios e Respostas Lógica Matemática Prof. Jacson Rodrigues

Exercícios e Respostas Lógica Matemática Prof. Jacson Rodrigues Exercícios e Respostas Lógica Matemática Prof. Jacson Rodrigues As respostas encontram-se em itálico. 1. Quais das frases a seguir são sentenças? a. A lua é feita de queijo verde. erdadeira, pois é uma

Leia mais

Tema I Introdução à lógica bivalente e à teoria de conjuntos

Tema I Introdução à lógica bivalente e à teoria de conjuntos Tema I Introdução à lógica bivalente e à teoria de conjuntos Unidade 1 Proposições Páginas 13 a 9 1. a) 3 é uma designação. b) 3 = 6 é uma proposição. c) é o único número primo par é uma proposição. d)

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA I. Curso: EB

ANÁLISE MATEMÁTICA I. Curso: EB ANÁLISE MATEMÁTICA I (com Laboratórios) Curso: EB Lógica - Resumo Ana Matos DMAT Noções básicas de Lógica Consideremos uma linguagem, com certos símbolos. Chamamos expressão a qualquer sequência de símbolos.

Leia mais

Alfabeto da Lógica Proposicional

Alfabeto da Lógica Proposicional Ciência da Computação Alfabeto da Lógica Sintaxe e Semântica da Lógica Parte I Prof. Sergio Ribeiro Definição 1.1 (alfabeto) - O alfabeto da é constituído por: símbolos de pontuação: (, ;, ) símbolos de

Leia mais

Unidade II. A notação de que a proposição P (p, q, r,...) implica a proposição Q (p, q, r,...) por:

Unidade II. A notação de que a proposição P (p, q, r,...) implica a proposição Q (p, q, r,...) por: LÓGICA Objetivos Apresentar regras e estruturas adicionais sobre o uso de proposições. Conceituar implicação lógica, tautologias, e as propriedade sobre proposições. Apresentar os fundamentos da dedução,

Leia mais

MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados 1

MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados 1 Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados

Leia mais

LFA. Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos

LFA. Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos LFA Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos Técnicas de Demonstração Um teorema é uma proposição do tipo: p q a qual, prova-se, é verdadeira sempre que: p q Técnicas de Demonstração

Leia mais

PROVA COM CONETIVAS BOOLEANAS. Introdução-31

PROVA COM CONETIVAS BOOLEANAS. Introdução-31 PROVA COM CONETIVAS BOOLEANAS Introdução-31 Passos válidos usando, e Para cada conetiva: padrões de inferência A P pode seguir-se qualquer fórmula que seja sua consequência Ex: (dupla negação) P dá origem

Leia mais

Matemática discreta e Lógica Matemática

Matemática discreta e Lógica Matemática AULA 2 - Proposicionais Prof. Dr. Hércules A. Oliveira UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa Departamento Acadêmico de Matemática Lógicas Proposições compostas - Definição 1

Leia mais

2 Lógica Fuzzy. 2 Lógica Fuzzy. Sintaxe da linguagem

2 Lógica Fuzzy. 2 Lógica Fuzzy. Sintaxe da linguagem 2 Lógica Fuzzy 2.1 Cálculo proposicional (lógica proposicional) 2.2 Lógica de Predicados 2.3 Lógica de múltiplos valores 2.4 Lógica Fuzzy Proposições fuzzy Inferência a partir de proposições fuzzy condicionais

Leia mais

1. Métodos de prova: Construção; Contradição.

1. Métodos de prova: Construção; Contradição. Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Bacharelado em Ciência da Computação Fundamentos Matemáticos para Computação 1. Métodos de prova: Construção; Contradição.

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Proposta de teste de avaliação Matemática A 10º ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II O Grupo I inclui quatro questões de escolha múltipla O Grupo

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/81 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional

Leia mais

Gestão Empresarial Prof. Ânderson Vieira

Gestão Empresarial Prof. Ânderson Vieira NOÇÕES DE LÓGICA Gestão Empresarial Prof. Ânderson ieira A maioria do texto apresentado neste arquivo é do livro Fundamentos de Matemática Elementar, ol. 1, Gelson Iezzi e Carlos Murakami (eja [1]). Algumas

Leia mais

Os Fundamentos: Lógica de Predicados

Os Fundamentos: Lógica de Predicados Os Fundamentos: Lógica de Predicados Área de Teoria DCC/UFMG Introdução à Lógica Computacional 2019/01 Introdução à Lógica Computacional Os Fundamentos: Lógica de Predicados Área de Teoria DCC/UFMG - 2019/01

Leia mais

Lógica Computacional Aulas 8 e 9

Lógica Computacional Aulas 8 e 9 Lógica Computacional Aulas 8 e 9 DCC/FCUP 2017/18 Conteúdo 1 Lógica proposicional 1 11 Integridade e completude dum sistema dedutivo D 1 111 Integridade do sistema de dedução natural DN 1 112 3 12 Decidibilidade

Leia mais

Gabarito da lista de Exercícios sobre Técnicas de Demonstração

Gabarito da lista de Exercícios sobre Técnicas de Demonstração Universidade Federal Fluminense Curso: Sistemas de Informação Disciplina: Fundamentos Matemáticos para Computação Professora: Raquel Bravo Gabarito da lista de Exercícios sobre Técnicas de Demonstração

Leia mais

Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação. Sentenças Abertas

Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação. Sentenças Abertas Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação Sentenças Abertas Lógica Computacional 1 Site: http://jeiks.net E-mail: jacsonrcsilva@gmail.com Sentença

Leia mais

Lógica predicados. Lógica predicados (continuação)

Lógica predicados. Lógica predicados (continuação) Lógica predicados (continuação) Uma formula está na forma normal conjuntiva (FNC) se é uma conjunção de cláusulas. Qualquer fórmula bem formada pode ser convertida para uma FNC, ou seja, normalizada, seguindo

Leia mais

1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c

1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c CAPÍTULO 1 Exercícios 1..n) Como x 0 para todo x, o sinal de x(x ) é o mesmo que o de x; logo, x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0.. n) Como x 1 1 0 para todo x, multiplicando-se os dois

Leia mais

Dedução Indução Contra-exemplos Contradição Contrapositiva Construção Diagonalização

Dedução Indução Contra-exemplos Contradição Contrapositiva Construção Diagonalização Dedução Indução Contra-exemplos Contradição Contrapositiva Construção Diagonalização 1 Provas, lemas, teoremas e corolários Uma prova é um argumento lógico de que uma afirmação é verdadeira Um teorema

Leia mais

MATEMÁTICA 3 MÓDULO 1. Lógica. Professor Renato Madeira

MATEMÁTICA 3 MÓDULO 1. Lógica. Professor Renato Madeira MATEMÁTICA 3 Professor Renato Madeira MÓDULO 1 Lógica SUMÁRIO 1. Proosição. Negação 3. Conectivos 4. Condicionais 4.1. Relação de imlicação 4.. Relação de equivalência 5. Álgebra das roosições 6. Quantificadores

Leia mais

Lógica e Matemática Discreta

Lógica e Matemática Discreta Lógica e Matemática Discreta Proposições Prof clezio 26 de Abril de 2017 Curso de Ciência da Computação Inferência Lógica Uma inferência lógica, ou, simplesmente uma inferência, é uma tautologia da forma

Leia mais

Teorema. Existe alguma raiz primitiva módulo n se, e só se, n = 2, n = 4, n = p k ou n = 2p k onde p é primo ímpar.

Teorema. Existe alguma raiz primitiva módulo n se, e só se, n = 2, n = 4, n = p k ou n = 2p k onde p é primo ímpar. raízes primitivas Uma raiz primitiva módulo n é um inteiro b tal que {1, b, b 2,... ( mod n)} = U(n). Teorema. Existe alguma raiz primitiva módulo n se, e só se, n = 2, n = 4, n = p k ou n = 2p k onde

Leia mais

01/09/2014. Capítulo 3. Propriedades semânticas da Lógica Proposicional

01/09/2014. Capítulo 3. Propriedades semânticas da Lógica Proposicional Capítulo 3 Propriedades semânticas da Lógica Proposicional 1 Introdução Propriedades Definição 3.1 (propriedades semânticas básicas da Lógica Proposicional) Sejam H, G, H 1, H 2,...,H n, fórmulas da Lógica

Leia mais

SMA Elementos de Matemática Notas de Aulas

SMA Elementos de Matemática Notas de Aulas Universidade de São Paulo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação SMA 341 - Elementos de Matemática Notas de Aulas Ires Dias Sandra Maria Semensato de Godoy São Carlos 2009 Sumário 1 Noções

Leia mais

Matemática Discreta. Lógica Proposicional. Profa. Sheila Morais de Almeida. agosto DAINF-UTFPR-PG

Matemática Discreta. Lógica Proposicional. Profa. Sheila Morais de Almeida. agosto DAINF-UTFPR-PG Matemática Discreta Lógica Proposicional Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG agosto - 2016 Tautologias Tautologia é uma fórmula proposicional que é verdadeira para todos os possíveis valores-verdade

Leia mais

Matemática discreta e Lógica Matemática

Matemática discreta e Lógica Matemática AULA 1 - Lógica Matemática Prof. Dr. Hércules A. Oliveira UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa Departamento Acadêmico de Matemática Ementa 1 Lógica Sentenças, representação

Leia mais