UFAL IM ANÁLISE REAL LISTA 1 CORPOS E NÚMEROS REAIS

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1 UFAL IM 013. ANÁLISE REAL LISTA 1 CORPOS E NÚMEROS REAIS 1-1 Seja K um corpo. (a) Se a, b K, então ( 1)a = a e ( a)( b) = ab. (b) Se a 0 e b 0 em K, então ab 0, (ab) 1 = b 1 a 1 e (a/b) 1 = b a. (c) Se a, b, c, d K, b 0 e d 0, então (i) a b + c ad + bc =. d bd (ii) a b c d = ac bd. 1- Dados n N e x, y num corpo K, mostre que (a) 1 x n = (1 x)(1 + x + x + + x n 1 ). (b) y n x n = (y x)(y n 1 + y n x + y n 3 x + + x n 1 ). (c) Deduza que se K é ordenado x > 0 e y > 0 então x n > y n se, e somente se, x > y. 1-3 Dados x e y num corpo ordenado K, se x + y = 0, prove que x = y = Se K é um subcorpo de R, mostre que K Q. 1-5 Seja K um corpo ordenado. (a) Dados a < b em K, então a média aritmética A = (a + b)/ = (a + b)(1 + 1) é tal que a < A < b. Em particular, se a > 0, então 0 < a/ < a. (b) Mostre que P, os elementos positivos de K, não tem menor elemento. (c) Dados a e b em K, mostre que ab a + b. Em particular, se a > 0 e b > 0, então ab a + b, onde vale a igualdade se, e somente se, a = b. (d) Conclua que xy x + y, onde x 0 e y 0. (a) Use (d) para provar que se x 1, x, x 3, x 4 são números reais nãonegativos, então a média geométrica destes números é menor do que ou igual à sua média aritmética, isto é, 4 x1 x x 3 x 4 x 1 + x + x 3 + x 4. (E 1 ) 4 1

2 CORPOS E NÚMEROS REAIS (ANÁLISE REAL J. ADONAI) - A igualdade ocorre se, e somente se, x 1 = x = x 3 = x 4. (b) Se x 1, x, x 3 são números reais não-negativos, então a média geométrica destes números é menor do que ou igual à sua média aritmética, isto é, 3 x1 x x 3 x 1 + x + x 3. (E ) 3 A igualdade ocorre se, e somente se, x 1 = x = x 3. (c) Na realidade, se x 1, x,..., x n são n números reais não-negativos, então a média geométrica destes números é menor do que ou igual à sua média aritmética, isto é, Prove isto. n x1 x x n x 1 + x + + x n. (E 3 ) n 1-7 Para quaisquer x, y, z em R, prove que x z x y + y z. Quando ocorre a igualdade? 1-8 Dados a e b em R, defina d(a, b) = a b. Quaisquer que sejam a, b, c R, valem as relações: (a) d(a, b) 0, e d(a, b) = 0 a = b. (b) d(a, b) = d(b, a) (c) d(a, b) d(a, c) + d(c, b). 1-9 Prove que a b < ɛ = a < b + ɛ Complete as seguintes tabelas da adição e da multiplicação em Z (a) Calcule 5 e 5 1. (b) Z 7 é um corpo? Em caso afirmativo, exiba os inversos de seus elementos não-nulos Seja p(x) = ax + bx + c um polinômio de grau em R[x]. (a) Mostre que p(x) = a((x + b 4ac a ) b + 4a ). (b) Ponha = b 4ac para concluir que p(x) = a((x + b a ) 4a ). (c) Conclua que se 0, então p(x) = a(x x 1 )(x x ), onde x 1 = b + a x = b. a (d) Conclua que x 1 e x são as raízes de p. (e) Suponha a > 0. Mostre que p(x) 0, x R, se, e somente se, 0.

3 CORPOS E NÚMEROS REAIS (ANÁLISE REAL J. ADONAI) Use o fato de que o polinômio do segundo grau n f(x) = (x i + xy i ) i= é não-negativo, para todo x R, para provar a desigualdade de Cauchy- Schwarz ( n ) ( n ) ( n ) x i y i. i=1 i=1 Prove que vale a igualdade se, e somente se, existe λ tal que x i = λy i, para todo i = 1,..., n. x i i=1 (a) Dados x, y, z R tais que x + y + z > 0, mostre que y i x 4 + y 4 + z 4 x + y + z xyz. (b) Dados x, y, z R tais que x, y, z 0, mostre que (x + y + z) 3 x 3 + y 3 + z 3 + 4xyz Se a 1 /b 1,..., a n /b n pertencem ao intervalo I = (a, b) R e b 1,..., b n são positivos, prove que a < a a n b b n < b. Nas mesmas condições, se t 1,..., t n são positivos, então a < t 1a t n a n t 1 b t n b n < b Seja Q[X] o anel dos polinômios sobre Q na indeterminada X, isto é, Q[X] = {p(x) = a 0 +a 1 X+ +a n X n, a 1, a,..., a n Q e n Z, n 0}. Dado p(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n Q[X], o coeficiente líder de p(x), indicado por cl(p(x)), é o racional a n. Defina Q(X) = { p(x), p(x), q(x) Q[X]}. q(x) Neste conjunto, p(x) q(x) = r(x), se p(x)s(x) = r(x)q(x). Agora introduza em Q(X) as seguintes s(x) operações: p(x) q(x) + r(x) s(x) = p(x)s(x) + r(x)q(x) q(x)s(x) p(x) q(x) r(x) s(x) = p(x)r(x) q(x)s(x). Mostre que com estas operações Q(X) é um corpo, chamado corpo de frações de Q[X]. (a) Seja P = { p(x) Q(X). cl(p(x)q(x)) > 0}. Mostre que P define q(x) um subconjunto de elementos positivos do corpo Q(X), isto é, Q(X) é

4 CORPOS E NÚMEROS REAIS (ANÁLISE REAL J. ADONAI) - 4 um corpo ordenado. (b) Mostre que a(x) = 3X + X 1 X 3 X + 5 > 0. (c) Mostre que b(x) = X5 + X 3 X + 1 X < 0. X + 5 (d) Mostre que X + 1 X > X3 + 1 X. (e) Dado n N, identifique n com o polinômio n(x) = n. Desta forma, podemos considerar N Q(X). Mostre que X > n(x). (f) Conclua que N é um subconjunto limitado de Q(X), tendo X como cota superior (estranho?) Considere p N um número primo. (a) Mostre que p / Q. (b) Agora mostre que n p / Q Considere f(x) Z[X] um polinõmio de grau k, isto é, f(x) = a k x k + a k 1 X k a 1 X + a 0, onde os coeficientes a j Z, j {0, 1,..., k} e a k 0. Considere, agora, x = m n Q uma raiz de f. (a) Mostre que a k m k + a k 1 m k 1 n + + a 1 mn k 1 = a 0 n k. (b) Mostre que a k 1 m k 1 n + + a 1 mn k 1 + a 0 n k = a k m k. (c) Deduza que se mdc(m, n) = 1, então n\a k e m\a 0. (d) Reobtenha os resultados de Considere f(x) Z[X] um polinõmio de grau k, isto é, f(x) = a k x k + a k 1 X k a 1 X + a 0, onde os coeficientes a 0 = a k = 1, k j=0 a j 0 e k j=0 a j( 1) j 0. (a) Mostre que as raízes reais de f(x), caso existam, são todas irracionais. (b) Mostre que 1 3 é raiz de f(x) = X 3 3X + 3X + 1 e conclua que 1 3 / Q Seja p N um número primo. Defina Q[ p] = {x R. x = a + b p, a, b Q}. (a) Mostre que a + b p = c + d p se, e somente se, a = c e b = d. Em particular, conclua que {1, p} é uma base para o espaço vetorial (sobre Q) Q[ p]. Qual a dimensão de Q[ p] sobre Q? (b) Dado x = a + b p Q[ p], defina x = a b p e N(x) = xx. (i) Mostre que N(x) = a pb. (ii) N(x) = 0 se, e somente se, x = 0. (iii) N(xy) = N(x)N(y), x, y Q[ p]. (iv) Se x 0, então x 1 = x N(x). (c) Mostre que Q[ p] é um subcorpo de R, isto é, 0, 1 Q[ p] e, se x, y Q[ p], então x + y Q[ p], xy Q[ p], x Q[ p] e, se x 0, x 1 Q[ p]. 1-0 Mostre que 3, 3 + e não são número racionais.

5 CORPOS E NÚMEROS REAIS (ANÁLISE REAL J. ADONAI) Exemplifique um conjunto de números irracionais, limitado superiormente, com supremo racional. 1- Dado ɛ R, ɛ > 0, existe n N tal que 0 < 1 < ɛ. Conclua daí, que Q n é denso em R, isto é, dados a < b R existe q Q tal que a < q < b. Também é denso em R o conjunto dos irracionais R Q. 1-3 Sejam A, B R dois subconjuntos limitados de R e c R. Defina Mostre que ca = {x = ca, a A} A + B = {x = a + b, a A e b B} AB = {x = ab, a A e b B}. (a) sup ca = c sup A e inf ca = c inf A, se c > 0. (b) sup ca = c inf A e inf ca = c sup A, se c < 0. (c) sup(a + B) = sup A + sup B. (d) inf(a + B) = inf A + inf B. (e) sup AB = sup A sup B e inf AB = inf A inf A, se A, B [0, + ).

6 LISTA 1 SUGESTÕES & RESPOSTAS 1-1 (c) (ii) ab/cd = ab(cd) 1 = ac 1 bd 1 = (a/c)(d/d). 1- (a) Defina S n = 1 + x + x + + x n 1. Então, xs n = S n + x n 1. Você pode, também, usar indução. ( ) n ) x (b) y n x n = y (1 n, se y 0. Agora use o item anterior. y 1-3 Use o fato que, num corpo ordenado, o quadrado de todo elemento não-nulo é sempre positivo K. Logo, Z K. Donde Q K (c) Use ( a b ) 0. (d) Ponha a = x e b = y. Agora use (c). (a) Escreva x 1 + x + x 3 + x 4 4 = x 1 + x + x 3 + x 4 4. (b) Ponha a = 3 x 1 x x 3 e use (a) com x 4 = a. (c) Veja and_geometric_means. 1-7 Escreva x z = x z + y y. A igualdade ocorre quando y está entre x e z. 1-9 Use a segunda desigualdade triangular (a) 5 = e 5 1 = 3. (b) Sim. Inversos em Z 7 x x (e) Se > 0, então p(x) < 0, para x 1 < x < x, onde x 1 e x são como em (c). 1-1 Calcule para o polinômio f, e use (e) de

7 SUGESTÕES & RESPOSTAS (ANÁLISE REAL J. ADONAI) (a) Use o exercício 1-1 para mostrar que (x + y + z)xyz x 4 + y 4 + z 4 y z + x z + x y. Agora, aplique outra vez 1-1 a y z + x z + x y. (b) Expanda o lado esquerdo e depois aplique (E 3 ) com n = a a n b b n < b 1b + + b n b b b n = b. (c) Temos que cl((3x +X 1)(X 3 X+5)) = 3 > 0. Logo, a(x) > 0. (e) X n(x) = X n = X n/1. Logo, X n(x) > 0. (a) Escreva p = (r/s), onde mdc(r, s) = 1. Logo, ps = r, o que implica que p divide r, pois p é primo. Logo, r = pr e, portanto, s = r p. Donde, p, também, divide s. Absurdo. (d) Para (a), considere f(x) = X p e para (b), f(x) = X n p. (a) Use o exercício 1-17 (a) dim Q[ p] =. (b) (ii) Use o fato que p não é racional. 1-0 Para 3 +, considere o produto ( 3 + )( 3 ) = 1, suponha que 3 + seja racional e obtenha uma contradição. 1-1 A = {x = /n, n N}. Mostre que sup A = Tome n > 1/ɛ. Logo, 1/n < ɛ. Se 0 < a < b, então b a > 0. Tome n N tal que 1/n < b a e m N o menor inteiro tal que m/n > a. Logo, a < m/n < b. Para a densidade de R Q, comece construindo /n < ɛ e (c) Indique por s A = sup A e s B = sup B. Então a s A, a A e b s B, b B. Logo, a + b s A + s B, a A, b B. Logo, s A + s B é uma cota superior de A + B. Se ɛ > 0, então existem a A e b B tais que s A ɛ/ < a s A e s B ɛ/ < b s B. Donde, s B + s B ɛ < a + b s A + s B, o que prova o item.

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] DE FIGUEIREDO, D. G. Introdução a Análise. IMPA, Rio de Janeiro-RJ, [] LIMA, E. L. Curso de Análise, Volumes 1. IMPA, Rio de Janeiro-RJ, [3] RUDIM, W. Principle of Mathematical Analysis. McGRAW-Hill, Singapore, 1976.