exercícios de análise numérica II

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1 exercícios de análise numérica II lic. matemática aplicada e computação (4/5) aulas práticas - capítulo Exercício. Mostre que a soma dos polinómios base de Lagrange é a função constante. Exercício. Usando a fórmula interpoladora de Lagrange determine a solução do sistema a 3 a 4 8 a = a 3 Exercício.3 Considere a tabela de interpolação para uma função f, Prove que existe uma e uma só função da forma para a qual se tem F (x i ) = f i (i =,..., ). x x x n f(x) f f n. F (x) = c k e kx Exercício.4 Considere a tabela de interpolação para os valores de uma função f(x k ) = f k Pretende-se uma função da forma (com β > ) S (x) = k= x x n f f n k= c k (x x k ) + β tal que S (x i ) = f i (i =,..., ). a) Escreva o sistema que permite obter os coeficientes c k. b) Mostre que existe sempre um β > tal que o sistema tenha uma e uma só solução. c) Para β =, determine S relativo à tabela (usando o Mathematica). x k f k -

2 Exercício. Considere o problema de interpolação geral, usando quaisquer funções u,, u n definidas (pelo menos) nos pontos x,, x n, que são os nós de interpolação. Ou seja, pretende-se determinar os coeficientes a,, a n de forma a que n s n (x) = a k u k (x) verifique s n (x ) = f,, s n (x n ) = f n. a) Defina A a matriz do sistema, e mostre que se k= Ax = = x = então o problema de interpolação tem solução e é única. b) Considere u (x) =, u (x) = x, u 3 (x) = g(x), em que g é ímpar, e a tabela com α >. Mostre que: se β = β então a solução não é única; se β β a solução não existe. x α α f(x) β β, Exercício. Seja h o espaççamento dos nós x,..., x n. Mostre que f[x,..., x n ] = n f n!h k. Exercício.3 Suponha que f (k) (x) k!, para qualquer k, x R, e considere a tabela x f(x) 3 3. a) Construa a tabela de diferenças progressivas e determine a expressão do polinómio interpolador através dessa tabela. b) Calcule um valor aproximado para f(4) e determine um majorante para o erro de interpolação. c) Calcule a expressão do polinómio interpolador, usando diferenças divididas. Justifique que ξ ], 7[: f (ξ) 3 4. Exercício 3. Seja P m um polinómio qualquer, de grau m, e considere x,, x n nós distintos. Mostre que para qualquer x R, q m n (x) se n < m P m [x,, x n, x] = a m se n = m, se n > m em que q m n é um polinómio de grau m n e a m é o coeficiente de x m em P m. Exercício 3. Considere a tabela de interpolação x q(x) 3 3, em que q é um polinómio (de grau desconhecido). Sabendo que q[,, ] = 4 e que q[,,, 4, x] = 3, x R \ {,,, 4}, determine q.

3 Exercício 3.3 Interpolação Inversa. Seja f uma função injectiva em [, 3] tal que: x - 3 f(x) a) Determine uma aproximação de f em [ 5, ] usando a interpolação polinomial. b) Usando a), determine um valor aproximado para a raiz de f em [, 3]. c) Indique em que casos o polinómio interpolador da função inversa coincide com a inversa do polinómio interpolador. Exercício 4. Considere o polinómio de grau n + e mostre que: n w n (t) = (t k) a) { wn ( n t) = w n( n + t) se n ímpar w n ( n t) = w n( n + t) se n par b) { wn (t + ) < w n (t) se t ], n [ w n (t) < w n (t + ) se t ] n, n [ excepto para t =,, n, em que w n (t) = w n (t + ) =. c) Conclua que w n (t) < n! para t ], n[ Exercício 4. Pretende-se aproximar a função f(x) = x 3 por um polinómio de grau de forma a que seja mínimo. max f(x) p (x) x [,] Exercício 4.3 Seja p n o polinómio interpolador de f C n+ em x,, x n [a, b]. a) Mostre que se existir M > tal que f (n+) M n então lim n f p n =, ou seja, há convergência uniforme da sucessão de funções definida pelos polinómios interpoladores p n (para quaisquer nós distintos) em [a, b]. b) Conclua acerca da convergência uniforme quando f(x) = sin(αx) e f(x) = e αx. Exercício 5. Considere a seguinte tabela para a interpolação de Hermite (geral), em que são apenas considerados dois nós x e x x f(x ) = f f (n) (x ) = f (n) x f(x ) = f f (m) (x ) = f (m). a) Apresente as condições que definem a base canónica e escreva a expressão geral do polinómio interpolador nessa base. b) Deduza a fórmula para o erro de interpolação. Exercício 5. Seja f C[a, b] e p n o polinómio interpolador de Lagrange para os nós x,, x n. Mostre que f p n ( + Λ n ) inf q P n f q em que P n é o conjunto de polinómios de grau n e Λ n é a constante de Lebesgue. 3

4 Exercício 5.3 Considere a tabela de interpolação x i f i...8 f i 3 em que consideramos f i os valores aproximados para f i. a) Determine um majorante para a constante de Lebesgue em [, 6]. b) Apresente uma estimativa para o erro absoluto da interpolação aproximada face à interpolação exacta. Exercício 6. Mostre que n j= (n k)j πi e n+ = (n + )δ nk. Exercício 6. Sejam f = (f,, f n ), g = (g,, g n ). Mostre as igualdades, (Plancherel) F(f), F(g) = f, g (Parseval) F(f) = f em que F é a Transformação de Fourier Discreta (TFD) F(f) k = n= kn πi f n e, (k =,, ). Exercício 6.3 FFT- Fast Fourier Transform. Mostre que se = M, o cálculo da TFD pode ser decomposto sucessivamente no cálculo de duas TFD com metade dos pontos. Atendendo a que o cálculo da TFD envolve O( ) operações, verifique que esta decomposição permite reduzir o número de operações para O( log ()). Sugestão: a) Seja (F,, F ) o vector dado pela TFD. Verifique que F k = F k+ = (f n + f n+ )e (f n f n+ )e (k)n πi (k+)n πi b) Para o cálculo de operações, utilize a sucessão v m = m m e a relação de v m+ com v m. Exercício 7. Seja p P 3 e considere os nós x, x, x, x 3. Mostre que a solução do sistema h h 3 6 σ p[x, x ] p (x ) h h +h h σ h h +h h σ 3 = p[x, x, x ](x x ) p[x, x, x 3 ](x 3 x ), σ 4 p (x 3 ) p[x, x 3 ] h h 6 3 com h k = x k+ x k é dada por σ k = p (x k ). 4

5 Exercício 7. Seja f(x) = +x e considere os + nós de interpolação x = 5,, x igualmente espaçados de h. a) Determine o valor máximo para h, de forma a garantir um erro global de interpolação inferior a 6, usando splines lineares. b) O mesmo que em a), usando splines cúbicos. c) Justifique que a interpolação por splines lineares ou cúbicos é convergente, usando nós igualmente espaçados, ao contrário do que acontece na interpolação polinomial (exemplo de Runge). Exercício 7.3 Seja s o spline cúbico interpolador de f no intervalo [x, x ] para o conjunto de nós {x,, x } (igualmente espaçados), com condição da derivada nos extremos. Mostre que: (a) f s h 8 f s, (b) s 3 f, (c) f s h f (4). Conclua que f s h4 6 f (4). Sugestões: em (b), verifique que 4σ k = 6f (ξ k ) σ k σ k+, para k =,,. em (c), escolha um função g tal que g seja o spline linear interpolador de f e use a alínea b). Exercício 8. a) Determine o valor (a, b) R que minimiza o funcional J(a, b) = π π (x a b cos(x)) dx. b) Determine o valor (a, b, c) R 3 que minimiza o funcional J(a, b, c) = (a c + bx + cx x ) dx. x Exercício 8. Considere V (x) =, V (x) = g(x), com g ímpar, definida no intervalo [ A, A]. Determine uma expressão para V de forma a que {V, V, V } seja uma base polinomial de P, ortogonal em L [ A, A]. Apresente uma fórmula recursiva para obter uma base ortogonal para polinómios de grau superior. Exercício 8.3 Pretende-se aproximar uma função f : [a, b] C no sentido dos mínimos quadrados, para o produto interno u, v = b u(a) v(x)dx usando funções da forma a n g(x) = a k e ikx, com a k C. Deduza o sistema normal que permite a resolução deste problema. Exercício 9. Considere uma constante K e uma função f C [a, b], f (x), x [a, b]. Mostre que, dado g C[a, b], existe uma e uma só melhor aproximação uniforme F K, f. Exercício 9. a) Determine a melhor aproximação uniforme g(x) = x em F =, x C[, ]. Sugestão: Usar o algoritmo de Remes nos pontos {,, }. b) Compare com a melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados (caso contínuo). Exercício 9.3 Mostre que a matriz do sistema no Algoritmo de Remes é invertível se a condição de Haar for verificada. 5