Lucia Catabriga e Andréa Maria Pedrosa Valli

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1 1-35 Lucia Catabriga e Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil

2 Pseudocódigo 6 Estabilidade na Interpolação 7

3 3-35 Interpolação x Extrapolação Condições de interpolação Obtenção do polinômio interpolador Formas para o polinômio interpolador Definição: Interpolar uma função f (x) consiste em aproximar essa função por uma outra g(x) em geral mais simples e que coincida com a função f (x) em um conjunto de pontos. A função g(x) é então usada em substituição à função f (x). A interpolação permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos. Através da interpolação, pode-se construir uma função que aproximadamente se encaixe nestes dados pontuais.

4 4-35 Interpolação x Extrapolação Condições de interpolação Obtenção do polinômio interpolador Formas para o polinômio interpolador Aplicações: Obtenção de valores intermediários em tabelas. A função tem uma expressão muito complicada ou de difícil manipulação e queremos avaliar a função em um conjunto de pontos. A função é desconhecida, tem-se apenas um conjunto de valores e queremos derivar ou integrar a função. Formas de interpolação: Interpolação utilizando funções polinomiais. Interpolação utilizando funções trigonométricas, expansão por séries, etc.

5 5-35 Interpolação x Extrapolação Condições de interpolação Obtenção do polinômio interpolador Formas para o polinômio interpolador Estimativa para ln(2) usando interpolação linear, quadrática e cúbica.

6 6-35 Interpolação x Extrapolação Condições de interpolação Obtenção do polinômio interpolador Formas para o polinômio interpolador Ilustração da possível divergência de uma previsão extrapolada.

7 7-35 Interpolação x Extrapolação Condições de interpolação Obtenção do polinômio interpolador Formas para o polinômio interpolador A interpolação polinomial consiste em determinar o único polinômio de grau n, g(x) = p n (x), que passa pelos n + 1 pontos dados. Condições de interpolação: x k x 0 x 1 x 2 x n y k = f (x k ) y 0 y 1 y 2 y n p n (x i ) = f (x i ), i = 0, 1, 2,, n Esse polinômio fornece uma fórmula para calcular valores intermediários, f ( x) para x [x 1, x n ]. Teorema: Seja f (x) uma função conhecida em n + 1 pontos distintos x 0, x 1, x 2,, x n. Existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que, p n (x i ) = f (x i ), i = 0, 1, 2,, n

8 Interpolação x Extrapolação Condições de interpolação Obtenção do polinômio interpolador Formas para o polinômio interpolador p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Usando as condições de interpolação, p n (x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x0 n = f (x 0 ) p n (x 1 ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x1 n = f (x 1 ). p n (x n ) = a 0 + a 1 x n + a 2 xn a n xn n = f (x n ) obtemos um sistema linear, envolvendo a matriz de Vandermonde. x 0, x 1,, x n são distintos, o sistema tem solução única (det 0). 1 x 0 x0 2 x0 n a 0 f (x 0 ) 1 x 1 x1 2 x1 n a = f (x 1 ). 1 x n xn 2 xn n a n f (x n ) Se

9 9-35 Interpolação x Extrapolação Condições de interpolação Obtenção do polinômio interpolador Formas para o polinômio interpolador Embora exista um e só um polinômio de grau n que passa por n + 1 pontos, há diversas fórmulas matemáticas nas quais esse polinômio pode ser expresso: 1 Resolução do sistema linear 2, 3 Splines, polinômios de Chebyshev, etc A resolução do sistema linear pode ser computacionalmente ineficiente e depende das condições de estabilidade da matriz de Vandermonde.

10 10-35 Interpolação x Extrapolação Condições de interpolação Obtenção do polinômio interpolador Formas para o polinômio interpolador Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo e calcule uma estimativa para f ( 1). x k f (x k ) Usando as condições de interpolação em p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, temos p 2 ( 2) = a 0 + a 1 ( 2) + a 2 ( 2) 2 = 3 a 0 2a 1 + 4a 2 = 3 p 2 (0) = a 0 + a 1 (0) + a 2 (0) 2 = 1 a 0 = 1 p 2 (1) = a 0 + a 1 (1) + a 2 (1) 2 = 1 a 0 + a 1 + a 2 = 1 a 0 = 1, a 1 = , a 2 = p 2 (x) = x x 2 p 2 ( 1) = 2.333

11 Definição Dispositivo Prático Pseudocódigos Dada a tabela de pontos x k x 0 x 1 x 2 x n y k = f (x k ) y 0 y 1 y 2 y n Sejam polinômios de grau n, P k (x), k = 0, 1, 2,..., n tais que: Sendo: P k (x k ) 0 e P k (x j ) = 0 k j P 0 (x) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )... (x x n) P 1 (x) = (x x 0 )(x x 2 )(x x 3 )... (x x n) P 2 (x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 )... (x x n).. P n(x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )... (x x n 1 ) n P k (x) = (x x j ) j=0 j k

12 12-35 Definição Dispositivo Prático Pseudocódigos o polinômio de Lagrange pode ser representado por n L n (x) = c 0 P 0 (x) + c 1 P 1 (x) + + c n P n (x) = c k P k (x) k=1 onde L n (x k ) = y k = c k P k (x k ) c k = y k P k (x k ) L n (x) = L n (x) = n k=1 y k P k (x k ) P k(x) n n = y k k=1 j=0 j k (x x j ) (x k x j )

13 13-35 Definição Dispositivo Prático Pseudocódigos Encontre o polinômio de Lagrange de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo e calcule uma estimativa para f ( 1). x k f (x k ) onde L 2 (x) = 3 P 0(x) P 0 (x 0 ) + 1 P 1(x) P 1 (x 1 ) 1 P 2(x) P 2 (x 2 ) P 0 (x) (x 0)(x 1) = P 0 ( 2) ( 2 0)( 2 1), P 1 (x) (x + 2)(x 1) = P 1 (0) (0 + 2)(0 1), P 2 (x) (x + 2)(x 0) = P 2 (1) (1 + 2)(1 0) L 2 ( 1) = 3 P 0( 1) P 0 ( 2) + P 1( 1) P 1 (0) P 2( 1) = 3( 1 P 2 (1) 3 ) = 7 3 = Observação: o polinômio interpolador é único L 2 (x) = 0.5x(x 1) 0.5(x + 2)(x 1) (x + 2)x = x x 2

14 Definição Dispositivo Prático Pseudocódigos Dispositivo Prático: L n (x P 0 (x ) ) = y 0 P 0 (x 0 ) + y P 1 (x ) 1 P 1 (x 1 ) + + y P n (x ) n P n (x n ) n n x x j (x x k ) = y k x k x j (x x k ) k=0 = G d n j=0 j k y k G k k=0 (x x 0 ) (x 0 x 1 ) (x 0 x n ) (x 1 x 0 ) (x x 1 ) (x 1 x n ) G =. (x n x 0 ) (x n x 1 ) (x x n ) onde G d = produto da diagonal G k = produto dos elementos da (k + 1)-ésima linha n+1,n+1

15 15-35 Definição Dispositivo Prático Pseudocódigos Pseudocódigo do método de Lagrange [2]: (2n 2 + 3n + 1) adições/subtrações, (n 2 + n) multiplicações e (n 2 + n) divisões para avaliar a interpolação em um ponto. (Forma Padrão)

16 16-35 Definição Dispositivo Prático Pseudocódigos Pseudocódigo do método de Lagrange [1]: (2n 2 + 3n + 1) adições/subtrações, (2n 2 + 3n + 1) multiplicações e (n + 1) divisões para avaliar a interpolação em um ponto. (Forma otimizada)

17 Definição Operador Diferença Dividida O polinômio de Newton Dada a tabela de pontos x k x 0 x 1 x 2 x n 1 x n y k = f (x k ) y 0 y 1 y 2 y n 1 y n o polinômio de Newton pode ser representado por p n (x) = d 0 +d 1 (x x 0 )+d 2 (x x 0 )(x x 1 )+ +d n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) onde d k = f [x k, x k 1,, x 0 ] = diferenças divididas de ordem k entre os pontos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),, (x k, y k ) O polinômio de Newton tem a característica de recorrência, isto é, o polinômio de grau n pode ser calculado usando o polinômio interpolador de grau n 1 e um novo ponto. Ou seja, p n (x) = p n 1 (x) + d n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )

18 18-35 Definição Operador Diferença Dividida O polinômio de Newton d 0 = f [x 0 ] = f (x 0 ) Ordem 0 d 1 = f [x 1, x 0 ] = f [x 1] f [x 0 ] = f (x 1) f (x 0 ) Ordem 1 x 1 x 0 x 1 x 0 d 2 = f [x 2, x 1, x 0 ] = f [x 2, x 1 ] f [x 1, x 0 ] x 2 x 0 Ordem 2. d k = f [x k,, x 1, x 0 ] = f [x k,, x 1 ] f [x k 1,, x 0 ] x k x 0 Ordem k Tabela das diferenças divididas [2]: descrição gráfica da natureza recursiva

19 19-35 Definição Operador Diferença Dividida O polinômio de Newton A forma de Newton para o polinômio interpolador: p n (x) = d 0 + d 1 (x x 0 ) + + d n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) Seja D o domínio de p n (x) (x 0, x n ) D p 0 (x) é o polinômio de grau 0 que interpola f (x) em (x 0, f (x 0 )): p 0 (x) = d 0 = f (x 0 ) x D e x x 0 : f [x 0, x] = f [x] f [x 0] = f (x) f (x 0) x x 0 x x 0 (x x 0 )f [x 0, x] = f (x) f (x 0 ) f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 0, x] }{{}}{{} p 0(x) E 0(x)

20 20-35 Definição Operador Diferença Dividida O polinômio de Newton p 1 (x) é o polinômio de grau 1 que interpola (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )): p 1 (x) = d 0 + d 1 (x x 0 ) f [x 0, x 1, x] = f [x 1, x 0, x] = f [x 0, x] f [x 1, x 0 ] (x x 1 ) = f (x) f (x 0) x x 0 f [x 1, x 0 ] = (x x 1 ) = f (x) f (x 0) (x x 0 )f [x 1, x 0 ] (x x 1 )(x x 0 ) f (x) = f (x 0 ) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + (x x 0 )(x x 1 )f [x 0, x 1, x] }{{}}{{} p 1(x) E 1(x) =

21 21-35 Definição Operador Diferença Dividida O polinômio de Newton p 2 (x) é o polinômio de grau 2 que interpola (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )): p 2 (x) = d 0 + d 1 (x x 0 ) + d 2 (x x 0 )(x x 1 ) f [x 0, x 1, x 2, x] = f [x 2, x 1, x 0, x] = f [x 1, x 0, x] f [x 2, x 1, x 0 ] (x x 2 ) = f (x) f (x 0 ) f [x (x x 0 ) 1,x 0 ] f [x x x 2, x 1, x 0 ] 1 (x x 2 ) = f (x) f (x 0) (x x 0 )f [x 1, x 0 ] (x x 0 )(x x 1 )f [x 0, x 1, x 2 ] (x x 1 )(x x 0 )(x x 2 ) = f (x) = f (x 0 ) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) }{{} p 2 (x) + (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )f [x 0, x 1, x 2, x] }{{} E 2 (x)

22 22-35 Definição Operador Diferença Dividida O polinômio de Newton p n (x) é o polinômio de grau n que interpola (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )),..., (x n, f (x n )): p n (x) = d 0 +d 1 (x x 0 )+d 2 (x x 0 )(x x 1 )+...+d n (x x 0 )... (x x n 1 ) f (x) = p n (x) + E n (x) p n (x) = f (x 0 ) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) f [x 0, x 1, x 2,..., x n ](x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ) E n (x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )... (x x n )f [x 0, x 1, x 2,..., x n, x]

23 Definição Operador Diferença Dividida O polinômio de Newton Encontre o polinômio de Newton de grau 2 que interpola os pontos da tabela abaixo e calcule uma estimativa para f ( 1). x k f (x k ) onde p 2 (x) = d 0 + d 1 (x + 2) + d 2 (x + 2)(x 0) Ordem 0 Ordem 1 Ordem p 2 (x) = 3 (x + 2) 0.333(x + 2)x p 2 ( 1) = = Observação: p 2 (x) = 3 (x + 2) 0.333(x + 2)x = x 0.333x 2

24 24-35 Estimativa para o erro Escolha do grau do polinômio Pseudocódigo Processo de Horner Fenômeno de Runge Teorema: Seja [a, b] um intervalo que contém os pontos x 0, x 1,, x n e f (x) uma função com (n + 1) derivadas contínuas em [a, b]. Pode-se mostrar que o erro do polinômio interpolador no ponto x [a, b] é dado por: E n (x) = f (x) p n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0)(x x 1 ) (x x n ), ξ [a, b] Limitante para o erro: E n (x) = f (x) p n (x) M n (n + 1)! (x x 0)(x x 1 ) (x x n ) onde M n = max x [a,b] f (n+1) (x)

25 25-35 Estimativa para o erro Escolha do grau do polinômio Pseudocódigo Processo de Horner Fenômeno de Runge Teorema: Seja [a, b] um intervalo que contém os pontos x 0, x 1,, x n e f (x) uma função com (n + 1) derivadas contínuas em [a, b]. Pode-se mostrar que x (a, b) e ξ x (a, b) tal que Corolário: f [x, x k,, x 1, x 0 ] = f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! E n (x) = f (x) p n (x) d n+1 (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) onde d n+1 = max diferenças divididas de ordem (n + 1)

26 26-35 Estimativa para o erro Escolha do grau do polinômio Pseudocódigo Processo de Horner Fenômeno de Runge Escolha do grau do polinômio: Se na vizinhaça do ponto de interesse as diferenças divididas de ordem k são praticamente constantes as diferenças divididas de ordem k + 1 variam em torno de zero (são bem pequenas) podemos escolher grau k para o polinômio interpolador devido à sua propriedade de recorrência: p k+1 (x) = p k (x) + d k+1 (x x 0 )(x x 1 ) (x x k ) Como d k+1 0 p k+1 (x) p k (x)

27 27-35 Estimativa para o erro Escolha do grau do polinômio Pseudocódigo Processo de Horner Fenômeno de Runge : calcule uma aproximação para ln(4.5) usando um polinômio interpolador de grau 2 na forma de Newton e estime o erro cometido, dada a tabela de pontos abaixo. x f (x) = ln(x)

28 Estimativa para o erro Escolha do grau do polinômio Pseudocódigo Processo de Horner Fenômeno de Runge : interpolar um polinômio de grau 2 na forma de Newton, f (x) = x 2, dada a tabela abaixo. Observe que vamos recuperar o polinômio original. Tabela de diferenças divididas: x k f (x k ) Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem p 2 (x) = 1 1(x + 1) + 1(x + 1)x = 1 x 1 + x 2 + x = x 2

29 29-35 Estimativa para o erro Escolha do grau do polinômio Pseudocódigo Processo de Horner Fenômeno de Runge Pseudocódigo do método de Newton [2]:

30 30-35 Estimativa para o erro Escolha do grau do polinômio Pseudocódigo Processo de Horner Fenômeno de Runge Avaliação do polinômio em um ponto usando parênteses encaixados (processo de Horner): p 3 (x) = d 0 + d 1 (x x 0 ) + d 2 (x x 0 )(x x 1 ) + d 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) = d 0 + (x x 0 ) [d 1 + (x x 1 ) [d 2 + (x x 2 )d 3 ] ] c 3 = d 3 c 2 = d 2 + (x x 2 )c 3 c 1 = d 1 + (x x 1 )c 2 c 0 = d 0 + (x x 0 )c 1 c 3 = d 3 c i = d i + (x x i )c i+1, i = 2, 1, 0 c 0 = p 3 (x)

31 Estimativa para o erro Escolha do grau do polinômio Pseudocódigo Processo de Horner Fenômeno de Runge Fenômeno de Runge: Sejam (n+1) pontos distintos igualmente espaçados, x 0, x 1,, x n. Mostra-se que G(x) = (x x 0 ) (x x n ) assume seu módulo máximo em um dos extremos (x 0, x 1 ) ou (x n 1, x n ). Figura: A função vermelha é a função de Runge, a azul é um polinômio de grau 5 e o verde representa um polinômio de grau 9 [4].

32 32-35 Problema: Dado ȳ (f (x 0 ), f (x n )), obter x tal que f ( x) = ȳ x k x 0 x 1 x 2 x n y k = f (x k ) y 0 y 1 y 2 y n Formas para resolver o problema: 1 Determinar o polinômio p n (x) que interpola em x 0, x 1,, x n e, em seguida, encontrar x tal que p n ( x) = ȳ (encontrar a raiz do polinômio). 2 Se f (x) for inversível em um intervalo contendo ȳ, então é possível inverter a tabela neste intervalo e fazer a interpolação de x = g(y), onde g(y) = f 1 (x).

33 33-35 : Dada a tabela abaixo, encontrar x tal que f (x) = 1.3 usando um polinômio interpolador de grau 2 na forma de Newton. x k f (x k ) = e x

34 [1] Algoritmos Numéricos, Frederico F. Campos, Filho - 2 a Ed., Rio de Janeiro, LTC, [2] Métodos Numéricos para Engenharia, Steven C. Chapa e Raymond P. Canale, Ed. McGraw-Hill, 5 a Ed., [3] Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, Márcia A. G. Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Ed. Pearson Education, 2 a Ed., [4] erically-unstable [5] CC BY-SA 3.0,

35 35-35 Sugestão de Exercícios Na referência [1] 3.6; 3.7; 3.8; 3.9 Na referência [1] 3.11; 3.12; 3.15 Na referência [1] 3.26; 3.27; 3.28; 3.29; 3.30 Na referência [1] 3.46; 3.47 Na referência [1] 3.48 (a) (utilizar o código em octave desenvolvido em aula)