Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ. Sílvia Mara da Costa Campos Victer. Integração numérica: Fórmulas de Newton-Cotes.

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1 Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ Sílvia Mara da Costa Campos Victer Aula 5- Integração numérica: Fórmulas de Newton-Cotes. Objetivo: Apresentar o método de integração numérica baseado nas fórmulas de Newton-Cotes através da aproximação de uma função que se quer integrar por um polinômio cuja integração é trivial. Motivação: Do ponto de vista analítico, existem diversas regras que podem ser utilizadas na prática. Contudo, embora tenhamos resultados básicos e importantes para as técnicas de integração analítica, como o Teorema Fundamental do Cálculo Integral, nem sempre podemos resolver todos os casos. Não podemos sequer dizer que, para uma função simples, a primitiva também será simples, pois, que é uma função algébrica racional, possui uma primitiva que não o é; a sua primitiva é a função que é transcendente. Quando não conseguirmos calcular a integral por métodos analíticos, mecânicos ou gráficos, então podemos recorrer ao método algorítmico. Em algumas situações, só podemos usar o método numérico. Por exemplo, se não possuirmos a expressão analítica de f, não podemos, em hipótese nenhuma, usar outro método que não o numérico. A integração numérica pode trazer ótimos resultados quando outros métodos falham. A solução numérica de uma integral simples é comumente chamada de quadratura. Sabemos do Cálculo Diferencial e Integral que se é uma função contínua em, então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe tal que, com ; demostra-se que, no intervalo, tais métodos, embora variados, não se aplicam a alguns tipos de integrandos, não sendo conhecidas suas primitivas ; para tais casos, e para aqueles em que a obtenção da primitiva, embora viável, é muito trabalhosa, podem-se empregar métodos para o cálculo do valor numérico aproximado de Existe ainda o caso em que o valor de é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo. Como não conhecemos a expressão analítica de, não temos condições de calcular Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de num intervalo, como nos casos acima, é através dos métodos numéricos. A ideia básica desses métodos de integração numérica é a substituição da função por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo. Assim o problema fica resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Com esse raciocínio podemos deduzir fórmulas para aproximar. 1

2 Lembrando que, sendo não negativa em, a integral representa numericamente, a área da figura delimitada por, conforme abaixo: Quando não for somente positiva, pode-se considerar em módulo, para o cálculo da área, conforme figura abaixo: As fórmulas que deduziremos terão a expressão abaixo: Fórmulas de Newton-Cotes: Nas fórmulas de Newton-Cotes, a ideia de polinômio que aproxime razoavelmente é que este polinômio interpole em pontos de igualmente espaçados. Consideremos a partição do intervalo em subintervalos, de comprimento,. Assim. As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo e

3 sendo os coeficientes interpolador. determinados de acordo com o grau do polinômio Metodologias: Veremos duas metodologias para cálculo de integrais utilizando máquinas digitais: a regra do Trapézio e a regra 1/ de Simpson (e suas formas repetidas que minimizam bastante o erro do procedimento). Existem ainda as fórmulas abertas de Newton-Cotes, construídas de maneira análoga às fechadas, com e. 1) Regra do Trapézio A ideia da regra do trapézio é aproximar a função por um polinômio de ordem 1 (reta). Nessa aproximação, a integral da função pode ser aproximada pela área de 1 trapézio. Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio interpolador de ordem 1,, que interpola nos pontos e, teremos o seguinte: fazendo intervalo, onde nesse caso n=1 (n é o número de subdivisões do ) e substituindo os fatores de Lagrange no polinômio, temos: Pela nossa aproximação, temos então que a integral da função será: Dessa forma, a integral de no intervalo pode ser aproximada pela área de um trapézio de base menor, base maior e altura.

4 Estimativa para o erro da regra do trapézio: Se é diferenciável em [a,b] e é contínua em [a,b], então: Exemplo 1: 1) Calcule usando a regra do trapézio simples. ) Estime o erro cometido. Resolução: 1) ) Erro cometido: Exemplo : 1) Calcular utilizando a regra dos trapézios. ) Calcular uma estimativa para o erro utilizando essa técnica numérica. 4

5 Resolução: 1) Utilizando a Equação de O polinômio de grau 1 (m=1) que passa pelos pontos com abscissas e, assim,. Logo: ) Calculando a estimativa para o erro teremos: Como a derivada segunda de é logo: Exemplo : 1) Calcular usando a regra dos trapézios. ) Qual seria a estimativa para o erro deste procedimento? Resolução: 1) Temos, portanto. A integral aproximada pelo método do trapézio é dada por: ) Calculando a estimativa para o erro: Como a derivada segunda de é 5

6 O valor máximo de ocorre quando. Logo: Exercícios: Calcule o valor numérico das integrais abaixo (por meio do cálculo integral e pelo método do trapézio) e estime o erro de truncamento obtido pelo método: 1) R: ; ) R: Cálculo integral e regra do trapézio: Erro=0,18-0,18=0,00101 Estimativa do erro: ) f ( x) 0, 5x 00x 675x 900x 400x no intervalo [0, 0.8] 4 5 R: Cálculo integral: 1,64054 Regra do trapézio: 0,178 Erro cometido: 1, ,178 = 1, Em percentagem o erro é de 850%. Pela observação do gráfico da função abaixo, vê-se que é muito pobre a estimativa da integral pela utilização da Regra do Trapézio. 6

7 ) Regra do Trapézio repetida A regra do trapézio é uma aproximação um pouco grosseira para o valor da integral, o que pode ser verificado tanto graficamente quanto pela expressão do erro. Contudo, se aplicarmos dentro de um certo intervalo a regra do trapézio repetidas vezes a aproximação será melhor, conforme podemos observar na figura abaixo. Dividindo o intervalo em subdivisões iguais de largura, ou ainda, com sendo o número de subdivisões do intervalo. Os valores de cada um dos pontos das subdivisões podem ser obtidas a partir da expressão: Dessa forma, podemos escrever a integral de como sendo a soma das áreas dos trapézios pequenos contidos dentro do intervalo : 7

8 Logo, o valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será: Estimativa para o erro na regra do trapézio repetida: Se quisermos saber quantas subdivisões são necessárias para atingir um certa precisão dada, ou seja, um certo valor de erro, fazemos o seguinte cálculo: Exemplo 1: 1) Calcule usando a regra do trapézio repetida 10 vezes. ) Estime o erro cometido. Resolução: 1) 8

9 ) Estimativa do Erro: Exemplo : 1) Calcular utilizando a regra dos trapézios repetida considerando 6 subdivisões. ) Calcular uma estimativa para o erro utilizando essa técnica numérica. ) Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que? Resolução: 1) Inicialmente calculamos a largura de cada subdivisão, ou seja, o valor de Agora encontramos o valor de cada subdivisão. A fórmula geral para encontrar o valor de cada subdivisão é Nesse caso temos 6 subdivisões igualmente espaçadas por. O valor numérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será: 9

10 ) Para estimarmos o erro do processo temos que calcular o valor máximo de dentro do intervalo. Como --> --> --> Considerando os valores de dentro do intervalo para encontramos o valor máximo igual a 6, de acordo com a tabela abaixo: Dessa forma, o erro nesse caso será: ) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do que pode ser obtido por: Exemplo Seja 1) Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos trapézios repetida. ) Estime o erro cometido. ) Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que? Resolução: 1) Os pontos dividirão o intervalo em subintervalos com. ) Estimativa para o erro: 10

11 Como a derivada segunda de é : O valor máximo de ocorre quando. ) Cálculo das subdivisões: Lembrando que é um numero inteiro, devemos ter subintervalos dentro de para que o erro seja menor que. Exercício 1: 11

12 Exercício : Exercício : Exercício 4: Calcular,6 dx A, utilizando a Regra do Trapézio Composta por 6 subintervalos. x,6 1 h A dx x,0 A 0,1850 E T f ( x 0 ) f ( x 1 ) f ( x ( b a) '' max f ( x) como visto, 1n '' valor max f ( x), portanto: 7 (,6 ) 5 E T, ) f ( x ) f ( x 1 f ( x), x f 4 ) f ( x ' 1 5 ( x) e x ) f ( x 6 ) '' ( x) f. Para x [,,6] o x 1

13 Referências: 1- Livro. Cálculo numérico. Márcia Ruggiero e Vera Lopes. - Livro Análise Numérica Richard L. Burden e J. Douglas Faires - Apostila. Cálculo Numérico. Faculdade de Engenharia, Arquitetura e urbanismo. Prof. Dr. Sérgio Pilling. 1