MÉTODOS NUMÉRICOS. ENGENHARIA ELECTRÓNICA INDUSTRIAL e de COMPUTADORES

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1 UNIVERSIDADE DO MINHO MÉTODOS NUMÉRICOS ENGENHARIA ELECTRÓNICA INDUSTRIAL e de COMPUTADORES EXERCÍCIOS PRÁTICOS- 1 a parte Ano lectivo de 2004/2005

2 Exercícios práticos - CONUM Solução de uma equação não linear Folha 1 1. Calcule um zero da função f (x) =e x x 2 2x 2 com o método da secante. Considere ε 1 = ε 2 = usando (a) x 1 = 1, x 2 =0.25 e n máx =10. Comente: (b) x 1 = 1, x 2 =0.25 e n máx =30. Comente: (c) x 1 =2,x 2 =3en máx =10. (d) x 1 =2,x 2 =3en máx =10e alterando os valores de ε 1 e ε 2 para Resolva a equação f (x) =0, com f (x) dada na pergunta 1, mas agora com o método de Newton e usando no critério de paragem ε 1 = ε 2 = , para as seguintes condições: (a) x 1 =0.25 e n máx =30. (b) x 1 = 1 e n máx =30. Comente: (c) x 1 =2.5 e n máx = Resolva a seguinte equação não linear recorrendo ao método de Newton: Considere as seguintes condições: cos (x) cos (3.1x) =0. (a) x 1 = 1, ε 1 = ε 2 = e n máx =5. Comente: (b) x 1 =1, ε 1 = ε 2 = e n máx =5. Comente: (c) x 1 =1, ε 1 = ε 2 = e n máx =30. 2

3 (d) x 1 =0, ε 1 = ε 2 = n máx =10. Comente: 4. Encontre todos os zeros do polinómio x 3 x 2 +7x 4 recorrendo ao método de Laguerre. Considere ε 1 = ε 2 =10 4, n máx =6eos seguintes valores iniciais: (a) x 1 =0 (b) x 1 =3 (c) x 1 =2i (d) x 1 = (e) x 1 = i 5. Determine uma solução da seguinte equação não linear: x 4 +8x 3 8x 2 200x 425 = 0 pelo método de Laguerre, com o valor inicial x 1 =

4 Exercícios práticos - MATLAB Solução de uma equação não linear Folha 1 1. Utilize os comandos plot e fplot do MATLAB, para resolver a seguinte questão: (a) Localize o zero da função no intervalo [0, 4]. f (x) =e x x 2 2x 2 (b) Descubraasdiferençasentreosdoiscomandosutilizados: 2. Com o comando fzero, calcule o zero da função usando os seguintes valores iniciais: f (x) =e x x 2 2x 2 (a) x 1 =0.25 solução: x = ; f (x) = 4

5 (b) x 1 =2.5 solução: x = ; f (x) = 3. Com o comando roots, encontre todos os zeros do polinómio x 3 x 2 +7x 4 (a) solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 =. 4. Encontre os zeros do seguinte polinómio x 4 +8x 3 8x 2 200x 425 = 0 (a) solução: x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;.x 4 =. 5

6 Exercícios práticos - CONUM Sistemas de equações lineares Folha 2 1. Resolva os seguintes sistemas através de um método directo e estável. (a) (b) (c) 4x 1 +13x 2 +2x 3 = 15 8x 1 +10x 2 +8x 3 = 6 2x x x 3 = 3 Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 30x 1 +9x 2 +9x 3 = 10 10x x x 3 = 20 6x 1 6x 2 20x 3 = 10 Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 30x 1 +9x 2 +9x 3 = 10 10x x x 3 = x 1 6x 2 20x 3 = 10 Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 2. Calcule o determinante e a inversa das seguintes matrizes: B = Solução: (a) B 1 =,det(b) = 6

7 Exercícios práticos - MATLAB Sistemas de equações lineares Folha 2 1. Utilize as funções do MATLAB para resolver as seguintes questões: Resolva os seguintes sistemas de equações algébricas lineares, através de um método directo e estável: (a) 4x 1 +13x 2 +2x 3 = 15 8x 1 +10x 2 +8x 3 = 6 2x x x 3 = 3 Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = (b) 30x 1 +9x 2 +9x 3 = 10 10x x x 3 = 20 6x 1 6x 2 20x 3 = 10 Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 2. Calcule o determinante e a inversa das seguintes matrizes: B = Solução: (a) B 1 =,det(b) = 7

8 Exercícios práticos - CONUM Sistemas de equações não lineares Folha 3 1. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares nas variáveis x 1 e x 2, com o método iterativo de Newton. µ x1 + x 2 sen = 2x 1 µ 2 x1 x 2 cos = 2x 2 2 (a) Considere uma aproximação inicial x (1) =(0, 0) T, ε 1 = ε 2 =10 4 e n máx =20. N o de iterações: Solução: x 1 = ;x 2 = (b) Reinicie o processo iterativo com o ponto (1, 2) e considere no critério de paragem os valores ε 1 = ε 2 =10 4 e n máx =20. N o de iterações: Solução: x 1 = ;x 2 = 2. Determine a solução do sistema de equações não lineares nas variáveis x 1,x 2 e x 3 x 1 = 0 x x 2 = 0 e x 3 1 = 0 (a) usando o método de Newton com a aproximação inicial x (1) =(1, 1, 1) T e n máx =10. N o de iterações: Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = (b) usando o método de Newton com a aproximação inicial x (1) = (1, 1, 5) T e n máx =10. N o de iterações: Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 8

9 Exercícios práticos - MATLAB Sistemas de equações não lineares Folha 3 1. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares nas variáveis x 1 e x 2,: µ x1 + x 2 sin = 2x 1 µ 2 x1 x 2 cos = 2x 2 2 (a) Considere uma aproximação inicial x (1) =(0, 0) T,. N o de iterações:. Solução: x 1 = ;x 2 =. (b) Reinicie o processo iterativo com o ponto (1, 2) N o de iterações:. Solução: x 1 = ;x 2 =. 2. Determine a solução do sistema de equações não lineares nas variáveis x 1,x 2 e x 3 x 1 = 0 x x 2 = 0 e x 3 1 = 0 (a) com a aproximação inicial x (1) =(1, 1, 1) T. N o de iterações: Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 =. (b) com a aproximação inicial x (1) =(1, 1, 5) T. N o de iterações: Solução: x 1 = ;x 2 = ;x 3 =. 9

10 Exercícios práticos - CONUM Interpolação polinomial Folha 4 1. Dada a tabela de valores de uma função f(x) x i f i x i f i Determine o valor de f (5.45) através do polinómio interpolador de Newton baseado em diferenças divididas: (a) degraudois(apresenteasduasmelhoressoluçõespossíveis); Solução: f (5.45) p 2 (5.45) = ; f (5.45) p 2 (5.45) =. (b) de grau cinco (apresente a melhor solução); Solução: f (5.45) p 5 (5.45) =. (c) de grau dez. Solução: f (5.45) p 10 (5.45) =. 2. Dada a tabela de doze valores de f (x), x i f i x i f i e usando a aproximação polinomial de Newton, baseada em diferenças divididas, dê uma estimativa a f (1.57) usando: (a) quatro pontos (a melhor estimativa); Solução: f (1.57) p 3 (1.57) =. (b) seis pontos (a melhor estimativa); Solução: f (1.57) p 5 (1.57) =. (c) doze pontos. Solução: f (1.57) p 11 (1.57) =. 10

11 3. Considerando a função f(x) dada pela tabela x i f i x i f i qual o valor aproximado da função no ponto x =5.45 (a) usando uma spline cúbica natural? Solução: s 3 (x) = f (5.45) s 3 (5.45) = (b) usando uma spline cúbica completa? Solução: s 3 (x) = f (5.45) s 3 (5.45) = 4. De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores: x i ln(x i ) (a) Usando uma funçao spline cúbica natural calcule uma aproximação a ln(2.5); Solução: s 3 (x) = ln (2.5) s 3 (2.5) = (b) Usando uma funçao spline cúbica completa calcule uma aproximação a ln(2.5); Solução: s 3 (x) = ln (2.5) s 3 (2.5) = 11

12 Exercícios práticos - MATLAB Interpolação polinomial Folha 4 1. Considerando a função f(x) dada pela tabela x i f i qual o valor aproximado da função no ponto x =0.10 : (a) través do polinómio interpolador: Solução: p 4 (x) = f (5.45) p 4 (0.10) = (b) usando uma spline cúbica : Solução: s 3 (x) = f (0.10) s 3 (0.10) =

13 Exercícios práticos - CONUM Aproximação dos mínimos quadrados (linear) Folha 5 1. Considere a seguinte tabela: x i f i Com base na teoria dos mínimos quadrados escreva, para construir um polinómio de grau três (a) Os coeficientes da relação de recorrência na construção dos polinómios ortogonais: Solução: B 0 =,B 1 =,B 2 =,C 1 =,C 2 = (b) Os coeficientes do polinómio: Solução: c 0 =,c 1 =,c 2 =,c 3 = (c) Os polinómios ortogonais: Solução: P 0 (x) =,P 1 (x) = P 2 (x) = P 3 (x) = (d) O polinómio resultante: Solução: p 3 (x) = (e) O resíduo: Solução: P 8 i=1 (f i p 3 (x i )) 2 = 2. Considerem-se as seguintes funções de aproximação: M (x) = c 1 + c 2 cos (x)+c 3 sen (x); N (x) = c 1 e x + c 2 1 x ; O (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x ; Q (x) = c 1 x + c 2 e x. (a) Calcule os coeficientes dos vários modelos (e construa-os) que melhor se ajustam à função f (x) dada pela tabela seguinte, no sentido dos mínimos quadrados. Solução: M (x) = N (x) = O (x) = Q (x) = x i f i

14 (b) Estime f (0.6) para cada um deles. Solução: f (0.6) M (0.6) = f (0.6) N (0.6) = f (0.6) O (0.6) = f (0.6) Q (0.6) = (c) Indique o resíduo para cada um dos modelos. Solução: P 7 i=1 (f i M (x i )) 2 = P 7 i=1 (f i N (x i )) 2 = P 7 i=1 (f i O (x i )) 2 = P 7 i=1 (f i Q (x i )) 2 = (d) Qual dos modelos é melhor, no sentido dos mínimos quadrados? Justifique. 14

15 Exercícios práticos - MATLAB Aproximação dos mínimos quadrados (linear) Folha 5 1. Considerem-se as seguintes funções de aproximação: M (x) = c 1 + c 2 cos (x)+c 3 sen (x); N (x) = c 1 e x + c 2 1 x ; O (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x ; Q (x) = c 1 x + c 2 e x. (a) Calcule os coeficientes dos vários modelos (e construa-os) que melhor se ajustam à função f (x) dada pela tabela seguinte, no sentido dos mínimos quadrados. x i f i Solução: M (x) = N (x) = O (x) = Q (x) = (b) Estime f (0.6) para cada um deles. Solução: f (0.6) M (0.6) = f (0.6) N (0.6) = f (0.6) O (0.6) = f (0.6) Q (0.6) = (c) Qual dos modelos é melhor, no sentido dos mínimos quadrados? Justifique (através da representação gráfica). 15

16 16

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