Aula 19 06/2014. Integração Numérica

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1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Aula 19 06/2014 Integração Numérica

3 Objetivo: Calcular integrais utilizando métodos numéricos Cálculo Numérico 3/41

4 Integração Numérica Cálculo Numérico 4/41

5 Integração Numérica Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Em alguns casos, o valor de f (x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f (x), não é possível calcular: b a f ( x) dx Cálculo Numérico 5/41

6 Integração Numérica Substituição da função f (x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Cálculo Numérico 6/41

7 Integração Numérica As fórmulas terão a expressão: b f (x)dx A 0 f (x 0 )+ A 1 f (x 1 ) A n f (x n ), a x i [a,b],i = 0,1,...,n I n ( f ) = n i= 0 A f i ( x i ) Cálculo Numérico 7/41

8 Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios, x 0 = a e x n = b. Regra 1/3 de Simpson Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os x i têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b. Cálculo Numérico 8/41

9 Fórmulas de Newton-Cotes A ideia de polinômio que aproxime f (x) razoavelmente, é que este polinômio interpole f (x) em pontos de [a, b] igualmente espaçados. Considere a partição do intervalo [a, b] em subintervalos, de comprimento h, [x i, x i+1 ], i = 0, 1,..., n 1. Assim: x i+1 x i = h = b a ( ) n Cálculo Numérico 9/41

10 Fórmulas de Newton-Cotes Desta forma, as fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo: x 0 = a, x n = b b f (x)dx = f (x)dx A i f (x i ) a x n x 0 n i=0 sendo os coeficientes A i determinados de acordo com o grau do polinômio aproximador. Cálculo Numérico 10/41

11 Fórmulas de Newton-Cotes Diferença entre as fórmulas de Newton-Cotes fechadas (a) e abertas (b). Cálculo Numérico 11/41

12 Utilizando a interpolação polinomial na Forma de Lagrange: REGRA DOS TRAPÉZIOS 1 º Polinômio de Lagrange REGRA 1/3 DE SIMPSON 2 º Polinômio de Lagrange Cálculo Numérico 12/41

13 Regra dos Trapézios Cálculo Numérico 13/41

14 Regra dos Trapézios Usaremos a interpola f (x) em x 0 e x 1 : para expressar P 1 (x) que P 1 ( x) = f ( x 0 ) x x 1 + f ( x 1 ) x x 0 x 0 x 1 x 1 x 0 Então: b x 1 x # f ( x)dx = P 1 ( x) dx = 1 % f x 0 $ a x 0 x 0 ( ) x x 1 x 0 x 1 + f x 1 ( ) x x 0 x 1 x 0 & ( dx ' Cálculo Numérico 14/41

15 Regra dos Trapézios Simples Consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f (x), ou seja, n = 1. Este polinômio terá a forma y = α 0 + α 1 x e trata-se da equação que une dois pontos: a = x 0 e b = x 1. Cálculo Numérico 15/41

16 Regra dos Trapézios Simples Área do trapézio: A = h (T + t) / 2 h - altura do trapézio t - base menor T - base maior De acordo com a figura: h= b a = x 1 x 0 t = f (b) = f (x 1 ) T = f (a) = f (x 0 ) x1 h + 2 Logo, f ( x) dx [ f ( x ) f ( x )] x Cálculo Numérico 16/41

17 Regra dos Trapézios Simples Aproximação do valor da integral é aceitável. Aproximação não indicada. Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida): soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. A amplitude dos sub-intervalos será h = (b - a) / n. A integral no intervalo é dada pela soma das integrais definidas pelos sub-intervalos. Cálculo Numérico 17/41

18 Regra dos Trapézios Repetida (Composta) Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu subintervalo. Cálculo Numérico 18/41

19 Regra dos Trapézios Repetida Fórmula: x n x 0 f (x)dx h 2 f (x h [ 0)+ f (x 1 )] + [ 2 f (x 1)+ f (x 2 )] h [ 2 f (x )+ f (x ) n 1 n ] Só os termos f (x 0 ) e f (x n ) não se repetem, assim, esta fórmula pode ser simplificada em: x n x 0 f (x)dx h { 2 f (x )+ 2 f (x )+ f (x 0 [ ) f (x ) 1 2 n 1 ] + f (x n )} Cálculo Numérico 19/41

20 EXEMPLO 1 Estimar o valor de Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos I 2,48508 Regra dos Trapézios Repetida - 3 pontos I 2,1369 Regra dos Trapézios Repetida - 9 pontos I 2, ( 2 1 / x ) dx A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o. x y = (1 + x²) -1/2 0,0 1, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0,24254 Cálculo Numérico 20/41

21 ERRO DA REGRA DOS TRAPÉZIOS Suponha x 0 < x 1 <... < x n, (n + 1) pontos distintos em [x 0, x n ] e que f C n+1 [ a,b]. Então, para cada x em [x 0, x n ], existe um número ξ (x) (geralmente desconhecido) em ] x 0, x n [, tal que: R( x) = f ( x) P n ( x) = f ( n+1 ) ( ) ( ξ x ) ( n +1)! ( x x 0 )( x x 1 )!( x x n ) Cálculo Numérico 21/41

22 Regra dos Trapézios Erro da Regra dos Trapézios simples Da interpolação polinomial, temos que: ( ) f ( x) = p 1 ( x) + ( x x 0 )( x x 1 ) f " ξ x Portanto, o erro na integração pela Regra do Trapézio Simples é: x 1 E T = x x 0 x x 1 x 0 2 ( )( ) f " ( ξ x ) 2, ξ x ] x 0, x 1 [ dx Cálculo Numérico 22/41

23 Regra dos Trapézios E T = h3 12 f " ( c ), c ] x 0, x 1 [ Resumidamente, a Regra dos Trapézios Simples nos dá: x 1 f ( x)dx = h 2 "# f ( x 0) + f ( x 1 ) $ % h3 12 f " c x 0 ( ) Cálculo Numérico 23/41

24 Regra dos Trapézios O erro para cada um dos trapézios é dado por: E T = h3 12 f " ( c ), c ] x 0, x [ 1 Logo o erro da Regra dos Trapézios Repetida será a soma: n 1 h 3 E TR = 12 f " ( c ) i, c i x i, x i+1 i=0 ] [ Cálculo Numérico 24/41

25 Regra dos Trapézios Como estamos supondo f (x) contínua em [a, b], uma generalização do Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe ξ a, b tal que: ] [ Então: n 1 i=0 f "( c i ) = n f "( ξ) E TR = nh3 f "( ξ), ξ ] a, b[ 12 Cálculo Numérico 25/41

26 Regra dos Trapézios Da mesma forma que na Interpolação Polinomial, não podemos calcular exatamente f (ξ), visto que não conhecemos o ponto ξ. Quando possível, calculamos um E TR onde:. nh3 12 M 2 M 2 = máx x [a,b] f " x ( ) Cálculo Numérico 26/41

27 Regra dos Trapézios Lembrando que h = (b a)/n: E TR ( b a ) 3 M 12n 2 2 onde: M 2 = máx x [a,b] f " x ( ) Cálculo Numérico 27/41

28 EXEMPLO 2 Seja: I = 1 0 e x dx Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos para Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido. x n x 0 f (x)dx h 2 f (x 0)+ 2 f (x 1 )+ f (x 2 ) f (x n 1 ) [ ] + f (x n ) { } [0,1] subdivididos em 10 subintervalos com h = 0,1 I = 1 e x dx 1, Cálculo Numérico 28/41

29 EXEMPLO 2 O erro pela Regra dos Trapézios Repetida é: Portanto: E TR nh3 12 máx x [0,1] e x E TR 0, máx x [0,1] e 1 e x 0, Cálculo Numérico 29/41

30 Regra 1/3 de Simpson Cálculo Numérico 30/41

31 Regra 1/3 de Simpson Novamente podemos usar a para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f (x) por um. Cálculo Numérico 31/41

32 Regra 1/3 de Simpson P 2 ( )( x x 2 ) ( )( x 0 x 2 ) f ( x ) + ( x x )( x x 0 2 ) 0 ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 ) f ( x 1) ( + x x 0) ( x x 1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 ) f ( x 2) x 2 ( ) I S = P 2 ( x) ( )( x x 2 )dx ( x) = x x 1 x 0 x 1 = f x 0 x x 2h 2 1 x 0 x 2 x 0 ( ) f x 1 x x h 2 0 ( ) x 2 x 0 + f x x 2 2 2h 2 x x 0 ( ) x x 2 ( )dx ( ) x x 1 ( )dx x Cálculo Numérico 0 32/41

33 Regra 1/3 de Simpson As integrais podem ser resolvidas usando a mudança de variáveis: x x 0 = zh. Assim: dx = h dz; x = x 0 + zh; x x 1 = (z 1) h; x x 2 = (z 2) h. Fazendo esta mudança e resolvendo as integrais, obtemos a : x 2 f (x)dx I S = h 3 f (x 0)+ 4 f (x 1 )+ f (x 2 ) [ ] x 0 Cálculo Numérico 33/41

34 Regra 1/3 de Simpson Repetida Da mesma forma que a Regra dos Trapézios Repetida, aplicaremos a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo [a, b] = [x 0, x n ]. Então vamos supor subintervalos igualmente espaçados. Cálculo Numérico 34/41

35 Regra 1/3 de Simpson Repetida Para cada teremos: x 2 k f (x)dx I S = h 3 f (x 2k 2 )+ 4 f (x 2k 1 )+ f (x 2k ) [ ] x 2 k 2 com k = 1,..., n/2, sendo n um. Cálculo Numérico 35/41

36 Regra 1/3 de Simpson Repetida Assim, a integral obtida pela regra de aproximação de Simpson Repetida será dada por: x n { f (x)dx} I SR = h {[ f (x 0 )+ f (x n )] + x f (x 1 )+ f (x 3 )+!+ f (x n 1 ) x n f (x)dx I SR = h % ' x 0 3 ' f x 0 &' [ ] + +2[ f (x 2 )+ f (x 4 )+!+ f (x n 2 )]} n 2 1 ( ) + 4 f ( x ) 2 j 1 + f x n ( ) + 2 f x 2 j j=1 n 2 j=1 ( ) Cálculo Numérico 36/41 ( * * )*

37 Regra 1/3 de Simpson Supondo f (iv) (x) contínua em [x 0, x 2 ]: O será: E S = h5 90 f ( iv ) ( ξ), ξ ] x 0, x [ 2 Cálculo Numérico 37/41

38 Regra 1/3 de Simpson e o E SR = n 2 Calcularemos um h 5 90 f iv ( ) E SR onde: M 4 = máx x [x 0,x n ] ( ξ), ξ ] x 0, x [ n ( f iv ) para o erro: b a ( ) 5 180n 4 M 4 x ( ) Cálculo Numérico 38/41

39 EXEMPLO 3 Seja I = 1 0 e x dx Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com n = 10. Estime o erro cometido. x n f (x)dx I SR = h % ' x 0 3 ' f x 0 &' n 2 1 ( ) + 4 f ( x ) 2 j 1 + f x n ( ) + 2 f x 2 j [0,1] subdivididos em 10 subintervalos com h = 0,1 j=1 n 2 j=1 ( ) ( * * )* I = 1 e x dx 1, Cálculo Numérico 39/41

40 Exemplo 3 Estimativa do erro cometido: ( E SR = 5 0,1 ) 5 90 eξ, ξ ]0,1[ Portanto: E SR 5, máx x [0,1] e x 1, e 1 Cálculo Numérico 40/41

41 Comparação Exemplo 2 e 3 Vamos comparar os resultados obtidos pela Regra dos Trapézios e pela Regra 1/3 de Simpson. Regra dos Trapézios Repetida (n = 10): 1 e x dx 1, E TR 2, Regra 1/3 de Simpson Repetida (n = 10): 1 e x dx 1, E 1, SR 0 Cálculo Numérico 41/41