Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Conteúdo Integração Numérica

4 Aqui veremos alguns métodos para resolver o problema da integral definida, ou seja, b a f (x)dx

5 Aqui veremos alguns métodos para resolver o problema da integral definida, ou seja, b a f (x)dx mas para que isto?

6 i) Quando o integrando não tem primitiva elementar como em ou nas funções b a b e x 2 dx; a x tan x dx x Si(x)= 0 sent t dt ; Γ(z)= 0 x z 1 e x dx

7 ii) Quando o integrando for muito complicado b a sen x e x cos 2 x e x +ch x sh 3 x sen x ch x+ x e x sh x cos x dx

8 ii) Quando a função for dada por pontos x f(x) 0, , , , , , , , , , , ,

9 Aviso Na maioria dos casos é uma péssima ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador

10 Para facilitar o entendimento tenhamos em mente a interpretação geométrica da integral, ou seja, b I= a f (x)dx é equivalente a

11 Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que sendo f(x) integrável no intervalo [a,b] então existe pelo menos um ponto c dentro deste intervalo tal que b I= f (x)dx=(b a ) f (c) a ou seja, se soubermos qual é este ponto c então a integral é igual à área do retângulo de base b-a e altura f(c)

12 Geometricamente é algo assim b I= a f (x)dx=(b a ) f (c) no exemplo temos dois pontos que satisfazem o teorema

13 Como você deve estar suspeitando, encontrar este ponto c não é nada fácil.

14 Temos também a definição da Integral de Riemann b I = a f (x)dx=lim h 0 h f (a+i h) i é equivalente a

15 Claro que esta definição não é útil numericamente com estes limites de h tendendo a zero e o número de retângulos tendendo ao infinito. Mas a definição da integral de Riemann nos sugere duas coisas interessantes...

16 Fatiarmos o intervalo em subintervalos

17 Fatiarmos o intervalo em subintervalos Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples

18 Fatiarmos o intervalo em subintervalos Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples Somamos as áreas obtidas Chamaremos a fórmula obtida de Regra Composta pois será feita pela composição das áreas de cada subintervalo

19 Trabalharemos inicialmente sobre a regra de integração em cada subintervalo inicialmente inspirada na definição da integral de Riemann

20 Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração

21 Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração Isto simplifica os algoritmos mas é bom observar que é uma limitação artificial que impomos

22 Regra dos Retângulos Valor calcular uma aproximação da integral usando um retângulo

23 A área aproximada é R 1 =(b a) f (a) Observe que a precisão visualmente é bem ruim mas facilita pensarmos um pouco

24 Regra dos Retângulos Agora usemos dois retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração

25 A área aproximada é ou R 2 = b a 2 b a f (a)+ 2 f ( b a a+ ) 2 R 2 = b a 2 [ f (a)+f ( a+ b a 2 ) ] A precisão continua não sendo boa visualmente

26 Regra dos Retângulos Agora usemos três retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração

27 A área aproximada é ou R 3 = b a 3 b a f (a)+ 3 f ( b a a+ ) 3 + b a 3 f ( b a a+2 ) 3 R 3 = b a 3 [ f (a)+f ( a+ b a 3 ) +f ( a+2 b a 3 ) ] As coisas estão visualmente melhorando embora lentamente

28 Façamos uma releitura do que fizemos: Integramos cada subintervalo como se a função fosse constante, ou seja, um polinômio de grau 0 Somamos as áreas de cada subintervalo para obtermos uma aproximação da integral original

29 Continuando este processo obteríamos para n retângulos n 1 R n =h n [f (a)+f (a+h n )+f (a+2h n )+ +f (a+(n 1)h n ) ]=h n i=0 uma versão finita da fórmula de Riemann f (a+i h n ); h n = b a n

30 Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio

31 Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio Torna-se natural pensarmos em criar um método similar ao dos retângulos mas usando polinômios de grau mais alto

32 Regra dos Trapézios Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo

33 Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral. Mas aqui temos uma facilidade.

34 Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral. Mas aqui temos uma facilidade. Observe que a área que queremos calcular é a área de um trapézio. Assim teremos T 1 = f (a)+f (b) 2 (b a)= b a 2 [f (a)+f (b)]

35 Regra dos Trapézios Agora vamos calcular uma aproximação da integral com dois trapézios

36 Teremos aqui para a soma das áreas T 2 = f (a)+f (a+(b a)/2) 2 b a 2 + f (a+(b a)/2)+f (b) 2 b a 2

37 Teremos aqui para a soma das áreas T 2 = ou f (a)+f (a+(b a)/2) 2 T 2 = 1 2 b a 2 + f (a+(b a)/2)+f (b) 2 b a 2 [ f (a)+f (b)+2 f ( a+ b a 2 ) ] b a 2

38 Para simplificar escreveremos T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2

39 Regra dos Trapézios Continuemos o procedimento agora com três subintervalos

40 Teremos aqui para a soma das áreas T 3 = f (a)+f (a+h 3) 2 h 3 + f (a+h 3)+f (a+2h 3 ) 2 h 3 + f (a+2 h 3)+f (b) 2 h 3 ;h 3 = b a 3

41 Teremos aqui para a soma das áreas T 3 = f (a)+f (a+h 3) 2 ou h 3 + f (a+h 3)+f (a+2h 3 ) 2 h 3 + f (a+2 h 3)+f (b) 2 T 3 = h 3 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 3 )+2 f (a+2 h 3 ) ] h 3 ;h 3 = b a 3

42 Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n =b a n

43 Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n =b a n Vamos a um exercício

44 Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios 2 dx 1 x

45 Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios 2 dx 1 x Aqui a = 1, b = 2 e f (x)= 1 x

46 Façamos por retângulos Um retângulo n 1 R n =h n i=0 f (a+i h n );h n = b a n ; f (x)= 1 x R 1 =h 1 f (a);h 1 = b a 1 = =1 R 1 =1 f (1)=1 1 1 =1

47 Façamos por retângulos Dois retângulos n 1 R n =h n i=0 f (a+i h n );h n = b a n ; f (x)= 1 x R 2 =h 2 [ f (a)+f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =1 2 R 2 = 1 2 [ f (1)+f ( ) ] = 1 2 [ /2 ] =1 2 [ ] = 5 6 =0,833

48 Façamos por retângulos Três retângulos n 1 R n =h n i=0 f (a+i h n );h n = b a n ; f (x)= 1 x R 3 =h 3 [f (a)+f (a+h 3 )+f (a+2h 3 ) ];h 3 = b a 3 =2 1 3 =1 3 R 3 = 1 [ 3 f (1)+f ( )+f ( ) ] = 1 [ /3 + 1 ] 5/3 = 1 [ ] 5 = 47 =0,

49 Façamos por retângulos Quatro retângulos n 1 R n =h n i=0 f (a+i h n );h n = b a n ; f (x)= 1 x R 4 =h 4 [f (a)+f (a+h 4 )+f (a+2h 4 )+f (a+3h 4 ) ];h 4 = b a 4 =2 1 4 = 1 4 R 4 = 1 4 [ f (1)+f ( )+ f ( )+f ( ) ] = 1 4 [ / / / 4 ] = 1 3 [ ] =0,759523

50 Observemos os valores obtidos R 1 =1; R 2 =0,8 33 ; R 3 =0,78 33 ; R 4 =0,759523

51 Observemos os valores obtidos R 1 =1; R 2 =0,8 33 ; R 3 =0,78 33 ; R 4 =0, Há uma evolução nos valores mas é lenta... Partamos para o método dos Trapézios

52 Trapézios Um trapézio T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 1 = h 1 2 [ f (a)+f (b)];h 1 = b a 1 = =1

53 Trapézios Um trapézio T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 1 = h 1 2 [ f (a)+f (b)];h 1 = b a 1 = =1 T 1 = 1 2 [ f (1)+f (2)]= 1 2 ( ) = 3 4 =0,75

54 Trapézios Dois trapézios T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =1 2

55 Trapézios Dois trapézios T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =1 2 T 2 = [ f (1)+f (2)+2 f (1+1/2) ]= 1 4 ( /2 ) = 1 4 ( ) =17 24 =0,70833

56 Trapézios Três trapézios T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 3 = h 3 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 3 )+2 f (a+2 h 3 ) ]; h 3 = b a 3 = = 1 3

57 Trapézios Três trapézios T n = h n n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 3 = h 3 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 3 )+2 f (a+2 h 3 ) ]; h 3 = b a 3 = = 1 3 T 3 = [ f (1)+ f (2)+2 f (1+1/3)+2 f (1+2/3)]= 1 4 ( / /3 ) = 1 6 ( ) = 7 10 =0,7

58 Trapézios T n = h n Quatro trapézios n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4

59 Trapézios T n = h n Quatro trapézios n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4 T 4 = [ f (1)+f (2)+2 f (1+1/ 4)+2 f (1+2/4)+2 f (1+3/4)]

60 Trapézios T n = h n Quatro trapézios n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ;f (x)= 1 x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4 T 4 = [ f (1)+f (2)+2 f (1+1/ 4)+2 f (1+2/4)+2 f (1+3/4)] T 4 = 1 8 ( / / / 4 ) = 1 8 ( ) =0,697023

61 Observemos os valores obtidos T 1 =0,75 ;T 2 =0,70833 ;T 3 =0,7 ;T 4 =0, Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor exato da integral é

62 Observemos os valores obtidos T 1 =0,75 ;T 2 =0,70833 ;T 3 =0,7 ;T 4 =0, Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é 2 dx 1 x =ln(2) 0,693147

63 Regra dos Trapézios não Regular Não somos obrigados a criar um método de integração apenas para subintervalos regulares. Veja a figura

64 Regra dos Trapézios não Regular Vamos somar a área de cada trapézio I h 1 f (a)+f (x 1 ) 2 ou f (x +h 1 )+f ( x 2 ) f ( x 2 +h 2 )+f (x 3 ) h i =x i+1 x i +h n f (x n 1 )+f (b) 2 I h 1 2 f (a)+ h 1+h 2 2 f ( x 1 )+ h 2+h 3 2 f (x 2 ) + h n 1+h n 2 f (x n 1 )+ h n 2 f (b)

65 Regra de Simpson Vamos aumentar o grau do polinômio interpolador para 2. Sabemos que agora teremos que ter três pontos para que haja um único polinômio interpolador de grau 2.

66 Regra de Simpson Vamos aumentar o grau do polinômio interpolador para 2. Sabemos que agora teremos que ter três pontos para que haja um único polinômio interpolador de grau 2. Escolheremos o ponto médio do intervalo

67 Regra de Simpson Nossa figura será algo como abaixo e a área demarcada a área da parábola interpoladora

68 Regra de Simpson Para facilitar o cálculo da área da parábola interpoladora, faremos uma transformação de coordenadas ilustrada na figura

69 Regra de Simpson Com esta translação não afetamos a área, integraremos o polinômio p 2 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 neste sistema de coordenadas sabendo que a corresponde a h 2 ; a+ h 2 corresponde a 0; b corresponde a h 2

70 Regra de Simpson Integrando o polinômio teremos h 2 h 2 h 2 p 2 (x)dx= h 2 (a 0 +a 1 x+a 2 x 2 )dx=a 0 x h2 h 2 +a 1 x 2 2 h 2 h 2 +a 2 x 3 h 2 3 h 2

71 Regra de Simpson Integrando o polinômio teremos h 2 h 2 ou h 2 p 2 (x)dx= h 2 (a 0 +a 1 x+a 2 x 2 )dx=a 0 x h2 h 2 +a 1 x 2 h 2 3 h p 2 (x)dx=2 h 2 a 0 +2 a 2 2 h 2 3 = h 2 3 [ 2 6 a 0 +2 a 2 h ] 2 2 h 2 h 2 +a 2 x 3 h 2 3 h 2

72 Regra de Simpson Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades p 2 ( h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =f ( h 2 )

73 Regra de Simpson Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades p 2 ( h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =f ( h 2 ) p 2 (0)=a 0 =f (0)

74 Regra de Simpson Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades p 2 ( h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =f ( h 2 ) p 2 (0)=a 0 =f (0) p 2 (h 2 )=a 0 +a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =f (h 2 )

75 Regra de Simpson Observe ainda que a soma p 2 ( h 2 )+4 p 2 (0)+ p 2 (h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h a 0 +a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =6 a 0 +2 a 2 h 2 2

76 Regra de Simpson Observe ainda que a soma p 2 ( h 2 )+4 p 2 (0)+ p 2 (h 2 )=a 0 a 1 h 2 +a 2 h a 0 +a 1 h 2 +a 2 h 2 2 =6 a 0 +2 a 2 h 2 2 que comparando com h 2 p 2 (x)dx= h 2 h 2 3 [ 2 6 a 0 +2 a 2 h ] 2

77 Regra de Simpson nos dá o resultado h 2 p 2 (x)dx= h 2 h 2 3 [ 2 6 a 0 +2 a 2 h 2 ]= h 2 3 [ p 2 ( h 2 )+4 p 2 (0)+ p 2 (h 2 ) ] e como temos um polinômio interpolador, obtemos

78 Regra de Simpson nos dá o resultado h 2 p 2 (x)dx= h 2 h 2 3 [ 2 6 a 0 +2 a 2 h 2 ]= h 2 3 [ p 2 ( h 2 )+4 p 2 (0)+ p 2 (h 2 ) ] e como temos um polinômio interpolador, obtemos h 2 p 2 (x)dx= h 2 h 2 3 [ f ( h 2 )+4 f (0)+f (h 2 ) ]

79 Regra de Simpson Retornando ao sistemas de coordenadas original teremos b I a p 2 (x)dx= h 2 3 [ f (a)+4 f (a+h 2 )+f (b)]=s 2 ;h 2 = b a 2

80 Regra de Simpson Vamos agora integrar o intervalo usando suas parábolas com o intervalo dividido exatamente ao meio, ou seja,

81 Regra de Simpson Aplicaremos a fórmula para uma parábola em cada subintervalo S 4 = h 4 3 [ f (a)+4 f (a+h 4 )+f (a+2 h 4 )]+ h 4 3 [ f (a+2 h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+f (b)]

82 Regra de Simpson Aplicaremos a fórmula para uma parábola em cada subintervalo S 4 = h 4 3 [ f (a)+4 f (a+h 4 )+f (a+2 h 4 )]+ h 4 3 [ f (a+2 h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+f (b)] ou S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+2 f (a+2h 4 ) ]

83 Regra de Simpson Continuando o processo teremos S n = h n n 1 3 [ f (a)+f (b)+4 i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 f (a+ih n ) ] ;h n =b a n ;n par

84 Façamos a mesma integração já solicitada, ou seja, 2 dx 1 x mas agora pela regra de Simpson.

85 Façamos a mesma integração já solicitada, ou seja, 2 dx 1 x mas agora pela regra de Simpson. Temos aqui o impedimento de só podermos usar um número par de subintervalos

86 n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Dois subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =1 2

87 n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Dois subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =1 2 S 2 = h 2 3 [ f (1)+f (2)+4 f ( ) ] =1 3 1 [ ] 3/2 =25 =0,

88 n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+2 f (a+2h 4 ) ];h 4 = b a 4 = = 1 4

89 n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+2 f (a+2h 4 ) ];h 4 = b a 4 = = 1 4 S 4 = h 4 3 [ f (1)+f (2)+4 f ( )+4 f ( )+2 f ( ) ]

90 n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+ih ; h = b a n n n ; n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3 h 4 )+2 f (a+2h 4 ) ];h 4 = b a 4 = = 1 4 S 4 = h 4 3 [ f (1)+f (2)+4 f ( )+4 f ( )+2 f ( ) ] S 4 = [ / / / 4 ] =0,693253

91 Observemos os valores obtidos S 2 =0,69 44 ; S 4 =0, Agora temos algo ainda mais preciso pois

92 Observemos os valores obtidos S 2 =0,69 44 ; S 4 =0, Agora temos algo ainda mais preciso pois 2 dx 1 x =ln(2) 0,693147

93 Vamos a outro exercício um pouco mais focado

94 Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo de forma que o erro relativo entre as estimativas contíguas seja menor que 0,001. Use a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. 4 x e 3 x dx

95 Usaremos números pares de subintervalos para Trapézios para facilitar as comparações

96 Trapézios T n = h n Dois subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =1 2

97 Trapézios T n = h n Dois subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 2 = 1 2 T 2 = h 2 2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = = [ f (3)+f (4)+2 f (3+1/2)]= 1 4 [6, , , ]=9,816957

98 Trapézios T n = h n Quatro subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4

99 Trapézios T n = h n Quatro subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4 T 4 = [ f (3)+f (4)+2 f (13/4)+2 f (14 /4)+2 f (15 /4)]

100 Trapézios T n = h n Quatro subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 4 = h 4 2 [ f (a)+f (b)+2f (a+h 4 )+2f (a+2h 4 )+2 f (a+3 h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4 T 4 = [ f (3)+f (4)+2 f (13/4)+2 f (14 /4)+2 f (15 /4)] T 4 = 1 [6, , , , , ]=9,

101 Vejamos como nossas estimativas evoluem T 4 T 2 T 2 = 9, , = 0, , , ,009154

102 Trapézios T n = h n Seis subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 6 = h 6 2 { f (a)+f (b)+2 [ f (a+h 6 )+f (a+2 h 6 )+f (a+3 h 6 )+ f (a+ 4 h 6 )+f (a+5 h 6 ) ] }; h 6 = b a 4 = = 1 6

103 Trapézios T n = h n Seis subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 6 = h 6 2 { f (a)+f (b)+2 [ f (a+h 6 )+f (a+2 h 6 )+f (a+3 h 6 )+ f (a+ 4 h 6 )+f (a+5 h 6 ) ] }; h 6 = b a 4 = = 1 6 T 6 = { f (3)+f (4)+2 [f (19/6)+f (20/6)+ f (21/6)+f (22/6)+f (23/6) ] }

104 Trapézios T n = h n Seis subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 6 = h 6 2 { f (a)+f (b)+2 [ f (a+h 6 )+f (a+2 h 6 )+f (a+3 h 6 )+ f (a+ 4 h 6 )+f (a+5 h 6 ) ] }; h 6 = b a 4 = = 1 6 T 6 = { f (3)+f (4)+2 [f (19/6)+f (20/6)+ f (21/6)+f (22/6)+f (23/6) ] } T 6 = 1 {6, , [7, , , , , ] }=9,

105 Vejamos como nossas estimativas evoluem T 6 T 4 T 4 = 9, , = 0, , , ,001715

106 Trapézios T n = h n Oito subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 8 = h 8 2 { f (a)+f (b)+2 [f (a+h 8 )+ f (a+2h 8 )+f (a+3 h 8 )+f (a+4 h 8 )+ f (a+5h 8 )+f (a+6 h 8 )+f (a+7h 8 )] }; h 8 = 1 8

107 Trapézios T n = h n Oito subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 8 = h 8 2 { f (a)+f (b)+2 [f (a+h 8 )+ f (a+2h 8 )+f (a+3 h 8 )+f (a+4 h 8 )+ f (a+5h 8 )+f (a+6 h 8 )+f (a+7h 8 )] }; h 8 = 1 8 T 8 = { f (3)+f (4)+2[ f (25/8)+f (26/8)+ f (27 /8)+f (28/8)+f (29/8)+ f (30/8)+ f (31/8) ]}

108 Trapézios T n = h n Oito subintervalos n 1 2 [ f (a)+f (b)+2 i=1 f (a+i h n ) ] ;h n= b a n ex ;f (x)= x T 8 = h 8 2 { f (a)+f (b)+2 [f (a+h 8 )+ f (a+2h 8 )+f (a+3 h 8 )+f (a+4 h 8 )+ f (a+5h 8 )+f (a+6 h 8 )+f (a+7h 8 )] }; h 8 = 1 8 T 8 = { f (3)+f (4)+2[ f (25/8)+f (26/8)+ f (27 /8)+f (28/8)+f (29/8)+ f (30/8)+ f (31/8) ]} T 8 = 1 16 {6, , [7, , , , , , , ] } T 8 =9,704557

109 Vejamos como nossas estimativas evoluem T 8 T 6 T 6 = 9, , = 0, , , ,

110 Vejamos como nossas estimativas evoluem T 8 T 6 T 6 = 9, , = 0, , , , Atingimos o valor solicitado

111 f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Dois subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =1 2

112 f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Dois subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 2 = 1 3 S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = = [ f (3)+f (4)+4 f (3+1/2)]= 1 [6, , , ]=9,

113 f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3h 4 )+2f (a+2h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4

114 f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3h 4 )+2f (a+2h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4 S 4 = [ f (3)+f (4)+4 f (13/ 4)+ 4 f (15 /4)+2 f (14 /4)]

115 f (x)= ex x n 1 Simpson S n = h [ n 3 f (a)+ f (b)+4 Quatro subintervalos i=1,2 n 2 f (a+i h n )+2 i=2,2 )] f (a+i h ;h = b a n n n ;n par S 4 = h 4 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 4 )+4 f (a+3h 4 )+2f (a+2h 4 )];h 4 = b a 4 = = 1 4 S 4 = 1 12 S 4 = [ f (3)+f (4)+4 f (13/ 4)+ 4 f (15 /4)+2 f (14 /4)] [6, , , , , ]=9,697133

116 Vejamos como nossas estimativas evoluem S 4 S 2 S 2 = 9, , = 0, , , ,000139

117 Vejamos como nossas estimativas evoluem S 4 S 2 S 2 = 9, , = 0, , , , Atingimos o valor solicitado

118 Dados tirados dos programas apresentados na página da disciplina T 2 =9, ;T 4 =9,727090;T 6 =9,710402;T 8 =9, S 2 =9, ; S 4 =9, ; S 6 =9,697061; S 8 =9, Enquanto a integral tem o valor 4 e x 3 x dx=γ(0, 3) Γ(0, 4) 9,

119 Os resultados de Simpson indicam este método ser mais preciso

120 Os resultados de Simpson indicam este método ser mais preciso Mas é só pelo aumento no grau do polinômio?

121 Os resultados de Simpson indicam este método ser mais preciso Mas é só pelo aumento no grau do polinômio? É também pela escolha do ponto médio

122 Os resultados de Simpson indicam este método ser mais preciso Mas é só pelo aumento no grau do polinômio? É também pela escolha do ponto médio E isto gera uma surpresa

123 Um exemplo simples...

124 Determine o valor da integral dada abaixo analiticamente e numericamente por Simpson 5 (3 2 x+5 x 2 +x 3 )dx 2

125 Determine o valor da integral dada abaixo analiticamente e numericamente por Simpson 5 (3 2 x+5 x 2 +x 3 )dx 2 o polinômio acima poderia ser qualquer outro do terceiro grau

126 Analiticamente 5 (3 2 x+5 x 2 + x 3 )dx=(3 x x x3 + x 4 4 ) 5 2=3 (5 2) ( )+ 5 3 ( )

127 Analiticamente 5 (3 2 x+5 x 2 + x 3 )dx=(3 x x x3 + x 4 4 ) 5 2=3 (5 2) ( )+ 5 3 ( ) ou 5 (3 2 x+5 x 2 + x 3 )dx=335,25 2

128 Simpson com dois subintervalos f (x)=3 2 x+5 x 2 + x 3 S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =3 2

129 Simpson com dois subintervalos f (x)=3 2 x+5 x 2 + x 3 ou S 2 = h 2 3 [ f (a)+f (b)+4 f (a+h 2 ) ];h 2 = b a 2 = =3 2 S 2 = h 2 3 [ f (2)+f (5)+4 f ( ) ] = [ 801 ] = =335,25

130 Analiticamente Numericamente 5 (3 2 x+5 x 2 + x 3 ) dx=335,25 2 S 2 =335,25

131 A pergunta é porque deu exato?

132 A pergunta é porque deu exato? Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato

133 A pergunta é porque deu exato? Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de segundo grau por Simpson e desse exato

134 A pergunta é porque deu exato? Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de segundo grau por Simpson e desse exato No entanto, a escolha do ponto médio em Simpson permite que ele seja exato para um polinômio de terceiro grau

135 Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria E T h2 12 (b a) f ' ' (ξ)

136 Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria E T h2 12 (b a) f ' ' (ξ); E S h4 180 (b a)f (IV ) (ξ); h= b a n

137 Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria E T h2 12 (b a) f ' ' (ξ); E S h4 180 (b a)f (IV ) (ξ); h= b a n Temos erro zero se o integrando for um polinômio de até primeiro grau para Trapézios e até terceiro grau para Simpson

138 Ampliando as possibilidades da integração numérica

139 Observe que as fórmulas de Trapézios e Simpson T 1 = b a 2 [ f (a)+f (b)] S 2 = (b a)/2 [ b a f (a)+4 f (a+ 3 2 )+f (b) ]

140 Observe que as fórmulas de Trapézios e Simpson T 1 = b a 2 [ f (a)+f (b)] podem ser escritas no formato S 2 = (b a)/2 [ b a f (a)+4 f (a+ 3 2 )+f (b) ] w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) onde n o número de pontos usados para a integração

141 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) Trapézios (n=2) T 1 = b a 2 [ f (a)+f (b)] w 1 =w 2 = b a 2 ; x 1 =a, x 2 =b

142 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) Trapézios (n=2) T 1 = b a 2 [ f (a)+f (b)] w 1 =w 2 = b a 2 ; x 1 =a, x 2 =b Simpson (n=3) w 1 =w 3 = b a 6, S 2 = (b a)/2 [ b a f (a)+4 f (a+ 3 2 )+f (b) ] w 2 =2 b a 3 ; x 1=a, x 2 =a+ b a 2, x 3=b

143 Trabalharemos agora com métodos de integração com a forma w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) deixando mais livres os valores w i e x i

144 Integração Gaussiana Aqui criaremos um método de integração com a forma w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 )+ +w n f (x n ) onde nos proporemos obter a maior precisão possível com um determinado número de pontos.

145 Integração Gaussiana Para simplificar os cálculos trabalharemos inicialmente com a integral 1 1 f (x)dx

146 Integração Gaussiana n=1 w 1 f (x 1 ) Temos aqui dois parâmetros livres w 1 e x 1 Vamos impor que a fórmula seja exata as funções 1, x. Se assim for, será também para a combinação linear delas, ou seja, o polinômio de primeiro grau f (x)=a 0 +a 1 x

147 Integração Gaussiana n=1 Assim teremos w 1 f (x 1 ) 1 1 dx=w 1 x 1 1 =w 1 2=w x dx=w 1 x 1 x =w 1 x 1 0=w 1 x 1 x 1 =0

148 Integração Gaussiana n=1 w 1 f (x 1 ) Assim a fórmula gaussiana exata para integrandos iguais a um polinômio do primeiro grau é dada por 1 1 f (x)dx 2 f (0)

149 Integração Gaussiana n=1 Assim a fórmula gaussiana exata para integrandos iguais a um polinômio do primeiro grau é dada por 1 1 f (x)dx 2 f (0) w 1 f (x 1 ) Repare que temos uma fórmula equivalente ao método de trapézios mas que usa só um ponto

150 Integração Gaussiana n=2 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 ) Temos aqui quatro parâmetros livres w 1, w 2, x 1, x 2 Vamos impor que a fórmula seja exata para as funções 1, x, x 2, x 3. Se assim for também o será para a combinação linear destas funções: f (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3

151 Integração Gaussiana n=2 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 ) Assim teremos dx=w 1 + w 2 x 1 1 =w 1 +w 2 2=w 1 + w 2 1 x dx=w 1 x 1 +w 2 x 2 x =w 1 x 1 +w 2 x 2 0=w 1 x 1 +w 2 x 2 x 2 dx=w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 x =w 1 x 2 1 +w 2 x =w 1 x w 2 x 2 x 3 dx=w 1 x 3 1 +w 2 x 3 2 x =w 1 x 3 1 +w 2 x 3 2 0=w 1 x w 2 x 2

152 Integração Gaussiana n=2 Caimos no seguinte sistema de equações não lineares w 1 +w 2 =2 w 1 x 1 +w 2 x 2 =0 w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 = 2 3 w 1 x 3 1 +w 2 x 3 2 =0 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )

153 Usemos o Maxima para achar a solução...

154 Integração Gaussiana n=2 Temos a solução o que nos dá a fórmula w 1 =w 2 =1; x 1 = 1 3, x 2= w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 ) f (x)dx f ( 1 3 )+f ( 1 3 ) exata se o integrando for um polinômio de grau 3

155 Integração Gaussiana n=3 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 ) Temos aqui seis parâmetros livres w 1, w 2,w 3, x 1, x 2, x 3 Vamos impor que a fórmula seja exata as funções o que faz com que a fórmula que será elaborada seja exata até polinômios de grau 5 1, x, x 2, x 3, x 4, x 5 f (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 +a 5 x 5

156 Integração Gaussiana n=3 w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 ) Repetindo o mesmo processo que antes, obteremos as equações 1 1 1dx=w 1 +w 2 +w 3 x 1 1 =w 1 +w 2 +w 3 2=w 1 +w 2 +w 3 ; x dx=w 1 x 1 +w 2 x 2 +w 3 x 3 0=w 1 x 1 + w 2 x 2 +w 3 x 3 x 2 dx=w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 +w 3 x =w 1 x 2 1 +w 2 x 2 2 +w 3 x 2 3 ; x 3 dx=w 1 x 3 1 +w 2 x 3 2 w 3 x 3 3 0=w 1 x 3 1 +w 2 x w 3 x 3 1 x 4 dx=w 1 x 4 1 +w 2 x 4 2 w 3 x =w 1 x 4 1 +w 2 x 4 2 +w 3 x 4 3 ; x 4 dx=w 1 x 5 1 +w 2 x 5 2 w 3 x 5 3 0=w 1 x 5 1 +w 2 x w 3 x 3 1

157 Integração Gaussiana n=3 que resulta no sistema w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 ) w 1 +w 2 +w 3 =2 w 1 x 1 +w 2 x 2 +w 3 x 3 =0 w 1 x 1 2 +w 2 x 2 2 +w 3 x 3 2 = 2 3 w 1 x 1 3 +w 2 x 2 3 +w 3 x 3 3 =0 w 1 x 1 4 +w 2 x 2 4 +w 3 x 3 4 = 2 5 w 1 x w 2 x w 3 x 3 5 =0

158 Integração Gaussiana n=3 que tem a solução o que nos dá a fórmula w 1 f (x 1 )+w 2 f (x 2 )+w 3 f (x 3 ) w 1 =w 3 = 5 9, w =8 2 9 ; x = 3 1 5, x =0, x = f (x)dx 5 9 f ( 3 5 )+ 8 9 f (0)+ 5 9 f ( 3 5 ) exata se o integrando for um polinômio de até grau 5

159 Integração Gaussiana Existe uma maneira mais sofisticada de obter os valores para a integração gaussiana. Não a trabalharemos aqui mas apresentaremos alguns coeficientes para a integração.

160 Integração Gaussiana Existe uma maneira mais sofisticada de obter os valores para a integração gaussiana. Não a trabalharemos aqui mas apresentaremos alguns coeficientes para a integração. Para ser exato, aqui foi apresentada uma integração gaussiana chamada Integração de Gauss-Legendre

161 Integração Gaussiana (Gauss-Legendre) 1 1 f (x)dx N pontos x i x i aproximado w i w i aproximado ±1/ 3 ±0, /9 0, ± 3/ 5 ±0, /9 0, ± 1 2 6/5/ 7 ±0, (18+ 30)/ 36 ±0, ± 1+2 6/5/ 7 ±0, (18 30)/ 36 ±0, /255 0, ±1/ /7 ±0, ( )/ 900 ±0, ±1/ /7 ±0, ( )/ 900 ±0,

162 Integração Gaussiana Basta fazermos uma transformação de coordenadas para integrarmos uma função no intervalo [a,b] b a f (x)dx= b a f ( b a 2 b+a x+ ) b a dx n w i f ( b a 2 x i + b+a 2 )

163 Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos 4 x e 3 x dx

164 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos Calculemos b a 2 = x e 3 x dx

165 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos Calculemos 4 x e 3 x dx b a 2 = =1 2

166 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos Calculemos 4 x e 3 x dx b a 2 = =1 2 ; b+a 2 = 4+3 2

167 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana: Um exemplo. Integre a função abaixo usando 1, 2 e 3 pontos Calculemos 4 x e 3 x dx b a 2 = =1 2 ; b+a 2 = =7 2

168 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Um ponto f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= f ( 1 2 x+7 2 ) dx

169 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Um ponto f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= f ( 1 2 x+7 2 ) dx 1 2 w 1 f ( 1 2 x i+ 7 2 )

170 Integração Gaussiana (Gauss-Legendre) 1 1 f (x)dx N pontos x i x i aproximado w i w i aproximado ±1/ 3 ±0, /9 0, ± 3/ 5 ±0, /9 0, ± 1 2 6/5/ 7 ±0, (18+ 30)/ 36 ±0, ± 1+2 6/5/ 7 ±0, (18 30)/ 36 ±0, /255 0, ±1/ /7 ±0, ( )/ 900 ±0, ±1/ /7 ±0, ( )/ 900 ±0,

171 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Um ponto f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= f ( 1 2 x+7 2 ) dx 1 2 w 1 f ( 1 2 x i+ 7 2 ) =2 2 f ( ) =9,461557

172 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Dois pontos f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= f ( 1 2 x+ 7 2 ) dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x ) +w 2f ( 1 2 x ) ]

173 Integração Gaussiana (Gauss-Legendre) 1 1 f (x)dx N pontos x i x i aproximado w i w i aproximado ±1/ 3 ±0, /9 0, ± 3/ 5 ±0, /9 0, ± 1 2 6/5/ 7 ±0, (18+ 30)/ 36 ±0, ± 1+2 6/5/ 7 ±0, (18 30)/ 36 ±0, /255 0, ±1/ /7 ±0, ( )/ 900 ±0, ±1/ /7 ±0, ( )/ 900 ±0,

174 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Dois pontos f (x)= ex x b a 1 f (x)dx= f ( 1 2 x+ 7 2 ) dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x ) +w 2f ( 1 2 x ) ] b a f (x)dx 1 2 [ f ( ) +f ( ) ] 2 = 9, , =9,

175 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Três pontos f (x)= ex x b a f (x)dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x ) +w 2 f ( 1 2 x ) +w 3 f ( 1 2 x )]

176 Integração Gaussiana (Gauss-Legendre) 1 1 f (x)dx N pontos x i x i aproximado w i w i aproximado ±1/ 3 ±0, /9 0, ± 3/ 5 ±0, /9 0, ± 1 2 6/5/ 7 ±0, (18+ 30)/ 36 ±0, ± 1+2 6/5/ 7 ±0, (18 30)/ 36 ±0, /255 0, ±1/ /7 ±0, ( )/ 900 ±0, ±1/ /7 ±0, ( )/ 900 ±0,

177 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Três pontos f (x)= ex x b a f (x)dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x ) +w 2 f ( 1 2 x ) +w 3 f ( 1 2 x )] b a f (x)dx 1 2 [ 5 9 f ( ) f ( )+ 5 9 f ( ) ] 2

178 b a f (x)dx b a n 2 1 w i f ( b a 2 x i + b+a 2 ) Integração Gaussiana Três pontos f (x)= ex x b a b a b a f (x)dx 1 2 [ w 1 f ( 1 2 x ) +w 2 f ( 1 2 x ) +w 3 f ( 1 2 x )] f (x)dx 1 2 [ 5 9 f ( ) f ( )+ 5 9 f ( ) ] 2 f (x)dx 1 2 ( 5 9 7, , , ) =9,697040

179 Integração Gaussiana Os valores obtidos com 1, 2 e 3 pontos foram 9, ; 9, ; 9, enquanto o valor da integral é 4 x e 3 x dx 9,

180 A integração gaussiana tem alguns inconvenientes no cálculo manual mas observe que a precisão é muito alta e no computador não fará diferença os números nos quais o computador avaliará a função.

181 A integração gaussiana tem alguns inconvenientes no cálculo manual mas observe que a precisão é muito alta e no computador não fará diferença os números nos quais o computador avaliará a função. Não é adequada se você tiver a função dada por pontos.

182 A integração gaussiana tem alguns inconvenientes no cálculo manual mas observe que a precisão é muito alta e no computador não fará diferença os números nos quais o computador avaliará a função. Não é adequada se você tiver a função dada por pontos. É possível criar fórmulas compostas

183 Observemos que sempre haverão problemas os quais exigirá cuidados ao tentarmos a integração. Daremos um exemplo

184 A integral abaixo será de cálculo numérico difícil 4 0 cos(e x )dx Apresentamos um gráfico para enfatizar a origem do problema

185 Observe que a função oscila fortemente no intervalo de integração

186 Em geral funções oscilantes devem ser analizadas cuidadosamente quando trabalharmos numericamente

187 É possível elaborar fórmulas análogas à Regra dos Trapézios e à Regra de Simpson para integrais duplas

188 Baseados nos algoritmos que vimos, podem ser elaborados esquemas adaptativos que selecionam de forma automática o tamanho dos subintervalos de forma a otimizar a execução dos algoritmos

189 Algumas funções úteis do Maxima para integração numérica:

190 Algumas funções úteis do Maxima para integração numérica: quad_qag(f(x), x, a, b, chave) Integração usando Gauss-Kronrod e recursos de adaptatividade. chave é um inteiro entre 1 e 6 que corresponde à ordem da regra de Gauss-Kronrod. Ordens maiores são mais adequadas a funções muito oscilantes

191 Algumas funções úteis do Maxima para integração numérica: romberg(f(x),x,a,b) Integra f(x) pelo método de Romberg Obs: a forma apresentada não é de execução eficiente. Veja o manual do Maxima.

192 Algumas funções úteis do Maxima para integração numérica: dblint(f,x,s,a,b) Calcula a integral b a Simpson para x e y. Veja o exemplo. s(x) r (x) f (x, y)dy dx usando a regra de

193 Os métodos solicitados nas listas e provas serão Trapézios Simpson Gauss-Legendre