Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Conteúdo Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos

4 Sistemas de equações lineares Pronto, fiz os cálculos e achei x!...mas como sei se é a solução?

5 Sistemas de equações lineares Exemplo de Wilson ( x=( ) ) Substitua o vetor solução por x T =(9,2; 12,6 ; 4,5 ; 1,1 )

6 Sistemas de equações lineares Exemplo de Wilson Substitua o vetor solução por Resultado: ( x=( ) ) b T =(32,1 ;22,9;33,1 ;30,9 ) x T =(9,2; 12,6 ; 4,5 ; 1,1 )

7 ( Sistemas de equações lineares Exemplo de Wilson Parece que estamos perto da solução... A 9,2 32,1 12,6 22,9 4,5 33,1 ; 1,1 30,9 )=( ) b=( )

8 Sistemas de equações lineares Exemplo de Wilson ( x=( ) ) Substitua o vetor solução por x T =(1,82; 0,36 ;1,35 ;0,79 )

9 Sistemas de equações lineares Exemplo de Wilson Substitua o vetor solução por Resultado: ( x=( ) ) b T =(32,01 ;22,99;33,01;30,99 ) x T =(1,82; 0,36 ;1,35 ;0,79 )

10 Sistemas de equações lineares Exemplo de Wilson Realmente parecia que estávamos perto da solução? ( A )=( 1,82 0,36 1,35 0,79 32,01 22,99 33,01 30,99 ) ; b=( )

11 ( ( Sistemas de equações lineares Exemplo de Wilson Repare... A )=( 1,82 32,01 0,36 22,99 1,35 33,01 0,79 30,99 ) ; A 9,2 32,1 12,6 22,9 4,5 33,1 ; 1,1 30,9 )=( ) b=( )

12 Sistemas de equações lineares Exemplo de Wilson ( x=( ) ) Solução: x T =(1;1;1 ;1 )

13 Sistemas de equações lineares A técnica de substituir a solução encontrada na equação pode nos enganar

14 Sistemas de equações lineares A técnica de substituir a solução encontrada na equação pode nos enganar Estamos olhando o problema da forma errada

15 Sistemas de equações lineares Este sistema é mal-condicionado, portanto: Pequenas variações nos parâmetros do problema (neste caso o vetor constante) gera uma mudança muito maior na solução

16 Sistemas de equações lineares Este sistema é mal-condicionado, portanto: Pequenas variações nos parâmetros do problema (neste caso o vetor constante) gera uma mudança muito maior na solução Cada vetor dado é a solução exata para o vetor constante correspondente

17 Sistemas de equações lineares O exemplo de Wilson é ilustrativo da sensibilidade que sistemas de equações podem ter quanto à precisão de suas componentes. Pequenas variações daquelas podem gerar grandes variações no vetor solução.

18 Sistemas de equações lineares Mas há casos patológicos! Matrizes de Hilbert h ij = 1 i+ j 1 ; j=1, n,i=1,,n

19 Sistemas de equações lineares Matrizes de Hilbert =( =( 1 1/2 1/3 1/ 4 H= ( 1 1/2 1/3 1 1/2 H 1/2 1/3 1/ 4 1/5 1/2 1/3 4 H 1/2 1/3) 1/3 1/ 4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5) ) 1/4 1/5 1/6 1/7

20 Sistemas de equações lineares Seja um sistema da forma H x=( ) H matriz de Hilbert. As componentes da solução são sempre inteiros.

21 Sistemas de equações lineares Seja um sistema da forma H x=( ) H matriz de Hilbert. As componentes da solução são sempre inteiros. Isto pode ser demonstrado pela regra de Cramer!

22 Sistemas de equações lineares Um pouquinho de matemática... Norma de vetores e matrizes

23 Normas Norma é uma ampliação do conceito de módulo É uma maneira de medir propriedades de objetos matemáticos complexos como vetores, matrizes e funções.

24 Normas Norma (módulo) de um vetor É uma maneira de medir o comprimento de um vetor

25 Normas Norma (módulo) de um vetor É uma maneira de medir o comprimento de um vetor Observou as aspas?

26 Normas Norma de um vetor Nos interessa da norma três propriedades: É sempre positiva

27 Normas Norma de um vetor Nos interessa da norma três propriedades: É sempre positiva Só é nula se o vetor for nulo

28 Normas Norma de um vetor Nos interessa da norma três propriedades: É sempre positiva Só é nula se o vetor for nulo Se o vetor for multiplicado por um valor, a norma será a norma do vetor multiplicado pelo valor em módulo

29 Normas v vetor de dimensão n v 2 = v 1 v 1 +v 2 v 2 +v 3 v 3 + +v n v n = n i=1 v i v i Esta é a Norma Euclidiana

30 Normas v vetor de dimensão n n v 1 = v 1 + v 2 + v v n = v i i=1 Esta é a Norma 1 ou Norma Manhattan

31 Normas v vetor de dimensão n v max =max i [ v 1, v 2, v 3,, v n ];i=1,, n Esta é a Norma do Máximo

32 Normas Um exemplo: v T =( 2,3,1) v 2 = ( 2) ( 2) = 14 3, v 1 = =6 v max =max i [ 2, 3, 1 ]=3

33 Normas Um exemplo: v T =( 2,3,1) v 2 = ( 2) ( 2) = 14 3, v 1 = =6 v max =max i [ 2, 3, 1 ]=3 São todas medidas do vetor mas não dão a mesma medida. São maneiras diferentes de medir...

34 Normas A matriz n x n = ( A n n 2 i=1 j=1 ) 2 a ij n A 1 =max 1 j n a i=1 ij A max=max 1 i n j=1 n a ij São a Norma de Fröbenius, a Norma 1 e a Norma do Máximo ou Norma Infinito para matrizes

35 Sistemas de equações lineares Para que isto?

36 Sistemas de equações lineares O número de condicionamento de uma matriz A é dado por κ= A 1 A É fácil de ver que o número de condição da matriz identidade é 1.

37 Sistemas de equações lineares O número de condicionamento de uma matriz A é dado por κ= A 1 A É fácil de ver que o número de condição da matriz identidade é 1. Não é difícil de demonstrar que o número de condição é sempre maior ou igual a 1

38 Sistemas de equações lineares Uma matriz é tão mais bem condicionada quanto o seu número de condição for mais próximo de 1.

39 Sistemas de equações lineares Vamos para alguns exemplos com o Maxima com a função mat_norm() nas seguintes formas mat_norm(m, 1) mat_norm(m, inf) mat_norm(m, frobenius)

40 Sistemas de equações lineares Vimos que o número de condição para o exemplo de Wilson é, usando a função mat_norm(m, 1), Para os casos de matrizes de Hilbert 3x3 é 748 e a 4x4 maior que

41 Sistemas de equações lineares Vimos que o número de condição para o exemplo de Wilson é, usando a função mat_norm(m, 1), Para os casos de matrizes de Hilbert 3x3 é 748 e a 4x4 maior que Na grande maioria das vezes não calculamos diretamente o número de condição

42 Sistemas de equações lineares Observemos o método de Eliminação gaussiana: Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s) eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes (a divisão, lembra?).

43 Sistemas de equações lineares Observemos o método de Eliminação gaussiana: Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s) eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes (a divisão, lembra?). E assim, o vetor obtido pelo algoritmo poderá estar distante do vetor solução

44 Sistemas de equações lineares Observemos o método de Eliminação gaussiana: Se um pivô for bem menor que o(s) elemento(s) eliminado(s), teremos ruído numérico afetando todos os cálculos subsequentes (a divisão, lembra?). E assim, o vetor obtido pelo algoritmo poderá estar distante do vetor solução Se diz que este algoritmo é numericamente Instável

45 Sistemas de equações lineares Primeiro passo: Como verificar se o vetor obtido é próximo da solução do sistema?

46 Método dos Resíduos Seja o sistema A x= b do qual obtemos uma solução aproximada x 1 devido à instabilidade numérica da eliminação gaussiana ou de outro método de solução

47 Método dos Resíduos Então podemos escrever x= x 1 + z 1 que substituída na equação original resulta em A ( x 1 + z 1 )= b A x 1 + A z 1 = b A z 1 = b A x 1

48 Método dos Resíduos Observe que podemos calcular b A x 1. Definindo b 1 = A x 1 teremos A z 1 = b b 1 Definindo o resíduo como r 1 = b b 1 ficaremos com A z 1 = r 1

49 Método dos Resíduos Parece que nossos problemas foram resolvidos...

50 Método dos Resíduos Parece que nossos problemas foram resolvidos... Só que não...

51 Método dos Resíduos Parece que nossos problemas foram resolvidos... Só que não... Pelos mesmos motivos que não conseguimos a solução exata, não conseguiremos o valor de z 1 mas uma aproximação que chamaremos de z1 O que nos resta?

52 Método dos Resíduos Parece que nossos problemas foram resolvidos... Só que não... Pelos mesmos motivos que não conseguimos a solução exata, não conseguiremos o valor de z 1 mas uma aproximação que chamaremos de z1 O que nos resta? Começar tudo de novo...

53 Método dos Resíduos Podemos escrever x 2 = x 1 + z 1 e x= x 2 + z 2 que substituída na equação original resulta em A ( x 2 + z 2 )= b A x 2 + A z 2 = b A z 2 = b A x 2 = r 2 onde r 2 é o segundo resíduo. Teremos o sistema A z 2 = r 2

54 Método dos Resíduos O qual, de novo, não me dá o resultado correto mas uma aproximação z2

55 Método dos Resíduos O qual, de novo, não me dá o resultado correto mas uma aproximação z2 Espero que esteja ficando claro que obteremos, de fato, as sequências z 1, z 2, { x 1, x 2, x 3,, x i } e { z 3,, z i } Esperamos que, se tudo estiver bem, teremos a cada passo valores melhores da solução e valores menores para a norma de zi

56 Método dos Resíduos Se os valores em módulo do vetor de correção diminuirem consistentemente, podemos dizer que o sistema é bem-condicionado e que a solução obtida é confiável

57 Método dos Resíduos Se os valores em módulo do vetor de correção diminuirem consistentemente, podemos dizer que o sistema é bem-condicionado e que a solução obtida é confiável Obs: No mundo real sempre haverá uma situação de mal-condicionamento a medida que chegamos perto do limite de precisão da máquina

58 Método dos Resíduos Observe que o método dos resíduos tem um problema: Temos que resolver uma sequência de SEL A z 1 = r 1 ; A z 2 = r 2 ; A z 3 = r 3 ; A z k = r k Aparentemente o custo é alto...

59 Método dos Resíduos Observe que o método dos resíduos tem um problema: Temos que resolver uma sequência de SEL A z 1 = r 1 ; A z 2 = r 2 ; A z 3 = r 3 ; A z k = r k Aparentemente o custo é alto... Só que não...

60 Método dos Resíduos Apresentaremos um outro assunto mas retornaremos ao Método dos Resíduos em breve...