José Wammes. Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte. Editoração: José Wammes. Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095

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2 José Wammes Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte Editoração: José Wammes Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095 Direitos desta edição reservados à: José Wammes Av. Ministro Cirne Lima, 2565 CEP Toledo Paraná Tel. (45) josewammes@ig.com.br É proibida a reprodução parcial ou total desta obra, sem autorização prévia do autor. Impresso no Brasil

3 SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA Antes de iniciarmos o estudo de progressão aritmética, vamos conceituar sucessão ou sequência, visto ser a base do que se deseja explorar. Sucessão ou sequência é todo conjunto em que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. Pode ser finita ou infinita. Exemplos: O conjunto ordenado (janeiro, fevereiro,..., dezembro) é chamado sequência ou sucessão dos meses do ano; a 1 a 2 a 3... a n-1 a n em que: a 1 é o primeiro termo (lê-se: a índice 1); a 2 é o segundo termo (lê-se: a índice 2); a n é o enésimo termo (lê-se: a índice n) Exemplo: Dada a sequência (2, 5, 9, 14, 20, 27), calcular: O conjunto ordenado (0,1,2,3,...) é chamado sequência ou sucessão dos números naturais; O conjunto ordenado (0,2,4,6,...) é chamado sequência ou sucessão dos números naturais pares; a) a 4 b) a 1-2 a 5 2 a) a 4 é o 4º termo da sucessão. Logo, 14. E, assim, sucessivamente. Se os elementos de uma sequência forem números reais, a sequência é denominada sequência numérica. (2, 5, 8, 11, 14) é uma sequência numérica finita; (-3, 0, 3, 6, 9...) é uma sequência numérica infinita. REPRESENTAÇÃO DE UMA SUCESSÃO A representação matemática de uma sucessão é dada por (a 1, a 2, a 3... a n-1, a n ). b) a 1-2 a 5 2 = 2-2(20) 2 = 2 2(400) = = -798 DETERMINAÇÃO DE UMA SUCESSÃO As sucessões são dadas, em sua maioria, por meio de uma regra chamada lei de formação, que nos permite calcular qualquer termo da sucessão. Exemplificando, vamos escrever a sucessão em que a n = 2n e n E{1,2,3,}. Temos: Para n= 1, temos: a 1 = 2(1) = 2 Para n= 2, temos: a 2 = 2(2) = 4 Para n= 3, temos: a 3 = 2(3) = 6 E, graficamente, temos: A sucessão procurada é (2, 4, 6). 3

4 PROGRESSÃO ARITMÉTICA É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão (r) da progressão. Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14,...) (12, 7, 2, -3, -8, -13) (12, 7, 2, -3, -8, -13) a 2 = a 1 + r a 3 = a 2 + r a 4 = a 3 + r a 5 = a 4 + r a 6 = a 5 + r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a 6 = a 1 + 5r (2, 5, 8, 11, 14,...) a 2 = a 1 + r a 3 = a 2 + r a 4 = a 3 + r a 5 = a 4 + r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 (2, 5, 8, 11, 14,...) a 2 = = 5 a 3 = = 8 a 3 = 2 + 2(3) = 8 a 4 = = 11 a 4 = 2 + 3(3) = 11 a 5 = = 14 a 5 = 2 + 4(3) = 14 Nesta sequência, 3 é a razão da progressão aritmética. (12, 7, 2, -3, -8, -13) a 2 = 12 + (-5) = 7 a 3 = 7 +(-5) = 2 a 3 = (-5) = 2 a 4 = 2 +(-5) = - 3 a 4 = (-5) = -3 a 5 = -3 +(-5) = - 8 a 5 = (-5) = - 8 a 6 = - 8 +(-5) = - 13 a 6 = (-5) = -13 Nesta sequência, - 5 é a razão da progressão aritmética. Podemos classificar as progressões aritméticas em: Crescentes r > 0 Decrescentes r < 0 Constantes ou estacionárias r = 0 4

5 Exemplos: (3, 4, 5, 6, 7) a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 É uma progressão aritmética crescente, pois r = 1, (r >0); (10, 8, 6, 4, 2) REPRESENTAÇÃO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA P.A. A representação matemática de uma progressão aritmética (P.A.) é dada por (a 1, a 2, a 3,... a n-1, a n, a n+1,...). Logo, a n+1 = a n +r. EXPRESSÃO GERAL DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA P.A. a n = a 1 + (n 1)r a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 É uma progressão aritmética decrescente, pois r = -2, (r <0); (5, 5, 5, 5, 5) a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 É uma progressão aritmética constante, pois r = 0. A fórmula acima nos permite calcular qualquer termo de uma progressão aritmética sem precisar escrevê-la por inteiro. Identificando os termos: a n = é o enésimo termo (último termo); a 1 = é o primeiro termo; n = é o número de termos; r = é a razão. Para a definição do termo geral de uma progressão aritmética, ao utilizarmos o formulário, teremos o resultado. Acompanhe. Dada a progressão aritmética: 4, 7,... encontrar o termo geral da mesma (desta progressão aritmética). 5

6 a 1 r n 4 3 n = n (a 2 a 1 ) (7 4) a n = a 1 + (n-1)r a n = 4 + 3n - 3 a n = 4 + (n -1)3 a n = 1 + 3n a n = 3n + 1 Esta é a fórmula do termo geral DESTA progressão aritmética. Indiferente, portanto, a forma de resolução. Na prática, utilizamos a fórmula do termo geral das progressões aritméticas. Acompanhe alguns exemplos. a) Determinar o 12º termo da progressão aritmética (5, 10, 15, 20...) a n = a 1 + (n-1)r a 12 = a 12 = 5 + (12-1)5 a 12 = 5 + (11)5 a 12 = 60 Tendo o termo geral da progressão aritmética, com ele, podemos definir, rapidamente, qualquer termo a n. Observe. Quais são os termos de ordem 3 e 21 da progressão aritmética dada no modelo acima? (4, 7,...) a 3 =? a 21 =? a n = 3n + 1 a n = 3n + 1 a 3 = 3(3) + 1 a 21 = 3(21) + 1 a 3 = a 21 = a 3 = 10 a 21 = 64 Acompanhe, agora, a mesma resolução, porém com a utilização da fórmula do termo geral de uma progressão aritmética. a n = a 1 + (n-1)r a n = a 1 + (n-1)r a 3 = 4 + (3-1)3 a 21 = 4 + (21-1)3 a 3 = 4 + (2)3 a 21 = 4 + (20)3 a 3 = a 21 = a 3 = 10 a 21 = 64 b) Determinar o número de termos da progressão aritmética (-3, 1, 5,..., 113). a n = a 1 + (n-1)r = n = -3 + (n-1) = n = (n-1)4 n = 30 c) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e a 1 a n a n = a 1 + (n-1)r = n = 25 + (n-1) = n = (n-1)5 n = 120 6

7 d) Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30. Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30 é formar uma P.A. de sete termos (os dois dados, a 1 e a n, mais os cinco do enunciado) em que o a 1 = 6 e a 7 = 30, ou seja: 6,,,,,, 30 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 Logo, a progressão aritmética é: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 e) Numa progressão aritmética, tem-se que a 2 + a 6 = 20 e, a 4 + a 9 =35. Escrever a progressão aritmética. Vamos escrever os dados do enunciado em função de a 1 e r: a 1 a n r n a 2...a ? 7? a 2 = a 1 + r a 4 = a 1 + 3r a 6 = a 1 + 5r a 9 = a 1 + 8r Inicialmente, para definir os termos da progressão aritmética, precisamos apurar a razão de seu crescimento. Assim, calculamos a razão da P.A. a n = a 1 + (n-1)r = 6 + (7-1)r 30 6 = 6r r = 4 Definida a razão, podemos estabelecer os termos da progressão aritmética. Acompanhe: a 1 =6 Ou a 2 = a 1 + r = 10 a 2 = a 1 + 1r = 10 a 3 = a 2 + r = 14 a 3 = a 1 +2r 6 + 2(4) = 14 a 4 = a 3 + r = 18 a 4 = a 1 + 3r 6 + 3(4) = 18 a 5 = a 4 + r = 22 a 5 = a 1 + 4r 6 + 4(4) = 22 a 6 = a 5 +r = 26 a 6 = a 1 +5r 6 + 5(4) = 26 a 7 = a 6 +r = 30 a 7 = a 1 +6r 6 + 6(4) = 30 Podemos formar o sistema com duas variáveis: (a 1 + r) + (a 1 + 5r) = 20 2 a 1 + 6r = 20 (a 1 + 3r) +( a 1 + 8r) = 35 2 a r = 35 Resolvendo o sistema: 2 a 1 + 6r = 20 (-1) -2 a 1-6r =-20 2 a r = 35 2 a r = 35 r = 15 5 Como a razão r é igual a 3, temos: 5r = 15 r = 3 2 a 1 + 6r = 20 2 a 1 = 2 2 a 1 + 6(3) = 20 a 1 = a 1 = a 1 = 1 7

8 Assim, a progressão aritmética solicitada é dada por: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a x(x 2 - r 2 ) = r 2 = r 2 = -25 (-1) 6(6 2 - r 2 ) = r 2 = 11 r 2 = 25 r = 25 6(36 - r 2 ) = 66 - r 2 = r = Confirmando a condição da progressão aritmética em que a 2 + a 6 = 20 a 4 + a 9 = = = = = 35 f) Três números estão em progressão aritmética de tal forma que a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números. Vamos indicar: (a 1, a 2, a 3 ) (x-r, x, x+r) x-r x x+r a 1 a 2 a 3 Podemos formar o sistema com duas variáveis (x e r) (x - r) + x + (x + r) = 18 3x = 18 (x - r).x. (x + r) = 66 x(x 2 - r 2 ) = 66 Resolvendo o sistema, temos: 3x = 18 x= 18 3 x = 6 Sendo (se): r = +5 (x-r) + x + (x+r) = 18 (6-5) (6+5) = 18 (1) (11) = = 18 Testando, temos: Sendo (se): r = - 5 a 1 = (x-r) a 2 = x a 3 = (x+r) a 1 = (6-5) a 3 = (6 + 5) a 1 = 1 a 2 = 6 a 3 = 11 a 1 = (x-r) a 2 = x a 3 = (x+r) a 1 = 6 -(-5) a 3 = 6 +(- 5) a 1 = 11 a 2 = 6 a 3 = 1 Os números pedidos são 1, 6 e 11. E, confirmando o enunciado: a 1 + a 2 + a 3 = = = 18 a 1. a 2. a 3 = = = 66 8

9 g) Determinar 5 números em progressão aritmética, sabendo-se que o produto dos dois extremos é 220 e a soma dos outros três vale 48. x-2r x-r x x+r x+2r a1 a2 a3 a4 a5 Podemos formar o sistema com duas variáveis (x+r): (x 2r) (x + 2r) = 220 x 2 4r 2 = 220 (x r) + x + (x + r) = 48 3x = 48 Resolvendo o sistema, temos: 3x = 48 x = 48 3 x = 16 x 2 4r 2 = 220-4r 2 = r 2 = r 2 = 220-4r 2 = -36 (-1) r 2 = 9 r = r 2 = 220 4r 2 = 36 r = Sendo (se): r = +3 a 1 = x-2r a 1 = 16 2(3) a 1 = 16 6 a 1 = 10 a 2 = x-r a 2 = a 2 = 13 a 3 = x - - x= 16 a 4 = x + r a 4 = a 4 = 19 a 5 = 16 +2(3) a 5 = (3) a 1 = a 1 = 22 Sendo (se): r = -3 a 1 = x-2(-3) a 1 = 16 (-6) a 1 = a 1 = 22 a 2 = x-r a 2 = 16 (-3) a 2 = a 2 = 19 a 3 = x - - x = 16 a 4 = x + r a 4 = 16 + (-3) a 4 = 16-3 a 4 = 13 a 5 = 16 +2(-3) a 5 = 16 + (-6) a 1 = 16-6 a 1 = 10 Os números pedidos são 10, 13, 16, 19 e 22. E, confirmando o enunciado: a 1. a 5 = = = 220 a 2 + a 3 + a 4 = = = 48 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Encontre o termo geral da progressão aritmética (2, 7,...); 2) Qual é o 15º termo da progressão aritmética (4, 10,...)? 3) Qual é o 100º número natural par? 4) Ache o 60º número natural impar; 5) Numa progressão aritmética de razão 5, a 1 = 4. Qual é a posição do termo igual a 44? 6) Quantos termos têm uma progressão aritmética finita, onde a razão é 3, o a 1 = -5 e o a n = 16? 7) Calcule o número de termos da progressão aritmética (5,10,..., 785); 9

10 8) Qual é o a 1 de uma progressão aritmética cujo a 7 = 46, sendo o termo precedente 39? 9) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos? 10) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5? 11) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37; 12) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8? 13) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500; 14) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilômetro 3 e outro no quilômetro 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones. 15) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu unidades do mesmo produto. Sabendo-se que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se: QUADRO DE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Questão Resposta 1 a n = 5n º (1, 4, 7, 10, 13,..., 34, 37) Km 8, 13, 18, 23,..., 78, ) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987? 15.2) Quantas unidades serão produzidas em 1991? 10

11 PARA SABER MAIS Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª edição, Atlas, 2000, São Paulo. CDD FASUL. Paiva, Manoel. Matemática. 1ª edição, Editora Moderna, 2000, São Paulo. CDD FASUL. Barreto Filho, Benigno; Silva, Cláudio Xavier da. Matemática. Volume único, FTD, 2000, São Paulo. CDD FASUL. BIBLIOGRAFIA Giovani, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º Grau Volume único. 1ª edição. Editora FTD S/A. São Paulo. Sem ano de publicação. Yamada, Akihiro. Curso de Matemática Financeira. Matemática básica. Módulo I. Apostila. Curitiba. Sem ano de publicação. Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. 6ª edição, Atual Editora. CDD FASUL. Wikipedia Youtube 11

12 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 Admita que lhe fosse apresentada a seguinte progressão aritmética: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 Nela, podemos deduzir algumas informações, como: a 1 n r a n 2 5 a 2 a 1 a Outro dado que se pode extrair, é a soma de seus termos. a 1 a 2 a 3 a 4 a Soma a n Numa situação como a acima, não é difícil a obtenção da soma dos seus termos. Porém, em situações outras, poderemos ter algumas dificuldades. a 1 a São os extremos. a 2 10 a 7 30 São termos a 3 14 a 6 26 eqüidistantes a 4 18 a 5 22 dos extremos Verifica-se, facilmente, que: = 40 Soma dos extremos = 40 Soma de dois termos eqüidistantes dos extremos = 40 Soma de dois termos eqüidistantes dos extremos = 40 Soma de dois termos eqüidistantes dos extremos Assim, recorremos a um algoritmo de cálculo, dada pela fórmula algébrica da soma dos termos de uma progressão aritmética finita. Acompanhe o modelo a seguir, na evolução do assunto. 12

13 PROPRIEDADE Numa progressão aritmética finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA A soma dos termos da progressão aritmética é obtida pela média aritmética da mesma vezes o número de termos que contem. Assim, podemos demonstrar: (a 1, a 2, a 3,... a n-2, a n-1, a n ), Onde: S n = [n( a 1 + a n )] 2 E x t r e m o s Temos que: equidistantes S n = Soma dos n termos de uma progressão aritmética finita; a 1 = primeiro termo; a n = último termo; a 2 + a n-1 = a 1 + a n n = número de termos da progressão aritmética. a 3 + a n-2 = a 1 + a n Se voltarmos ao modelo anterior, iremos confirmar a propriedade. Observe o quadro em que está feita a demonstração de cálculo. Alguns exemplos para fixação do conteúdo: a) Qual a soma dos 30 primeiros termos da progressão aritmética (2, 5,...)? a 1 a n n r S n 2? ? 3 13

14 Cálculo do último termo a n da progressão aritmética a n = a 1 + (n 1) r a 30 = a 30 = 2 + (30 1 ) 3 a 30 = 2 + (29) 3 a 30 = 89 Cálculo da soma dos termos S n da progressão aritmética S n = n ( a 1 + a n ) / 2 S 30 = 2730 / 2 S 30 = 30 (2 + 89) / 2 S 30 = 30(91) / 2 S 30 = 1365 b) Resolver a equação x = 280, sabendo-se que os termos do 1º membro formam uma progressão aritmética. Temos a 1 a n r S n 1 x Cálculo do número de termos n da progressão aritmética a n = a 1 + (n 1) r x = 6n 5 x = 1 + (n -1) 6 6n = x+ 5 x= 1 + 6n 6 n =(x + 5) / 6 Substituindo na fórmula da soma dos termos S n da progressão aritmética S n = n ( a 1 + a n ) / =[( x 2 + 6x + 5 )/6] / = x 2 + 6x = [(x+5)/6](1 +x)]/ (2) =( x 2 + 6x + 5 )/ = x 2 + 6x 280 =[ (x + x x)/6] / (6) = ( x 2 + 6x + 5 ) 3355 = x 2 + 6x Temos uma equação do 2º grau. Resolvendo-a. x 2 + 6x 3355 = 0 x= / 2 x= -b + - b 2 4ac / 2a x = ( ) / 2 x = (- 3355) / 2.1 x = ( / 2) + 55 x = / 2 x = ( / 2) - 61 Resolvendo n e S n, temos: n =(x + 5) / 6 n = (55 + 5) / 6 n = (55 + 5) / 6 n = 10 S n = n ( a 1 + a n ) / = 560 /2 280 = 10 ( ) / = 10 (56) / = 280 Logo, fechando o cálculo, temos: O número de termos (n) é 10; o valor de x é 55 ( -61 não é verdadeiro pois a P.A. é crescente) (1, 7,... x) e a soma dos termos, como informado no modelo, 280, confere quando fazemos a prova. c) Calcular a soma dos 9 termos da progressão aritmética (1, 3, 5,... 17). S n = n( a 1 + a n ) /2 S 9 = 162 /2 S 9 = 9( ) /2 S 9 = 9 (18 ) /2 S 9 = 81 14

15 d) Calcular a soma dos 41 primeiros números pares e impares, positivo. Impares: a 41 =? a 41 = a r S n = n( a 1 + a n ) /2 a 41 = (2) S 41 = 41( ) /2 a 41 = S 41 = 41 (82) /2 S 41 = 3362 /2 a 41 = 81 S 41 = 1681 Pares: a 41 =? a 41 =a r S n = n( a 1 + a n ) /2 a 41 = (2) S 41 = 41 ( ) /2 a 41 = S 41 = 41(84) 41 /2 S 41 = 3444 /2 a 41 = 82 S 41 = 1722 e) Determine a soma dos múltiplos de 9 compreendidos entre 1 e 100. a n = a 1 + (n -1)r S n = n( a 1 + a n ) /2 99 = 9 +( n - 1) 9 S 11 = 11( ) / = (n - 1) 9 S 11 = 11( 108 ) /2 90 / 9 = n - 1 S 11 = 1188 / = n n = 11 S 11 = 594 f) Qual a soma dos termos da progressão aritmética (1, 2, 3,... 9, 10)? Temos: a 1 a n n r S ? S n = n( a 1 + a n ) /2 S 10 = 10 (11 ) /2 S 10 = 10( ) /2 S 10 = 110 /2 S 10 = a 1 a n g) A soma (S n ) dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dado por S n =n 2 + n para todo n. Determine a progressão aritmética. Temos: a 1 a n n r 9 99? 9 15

16 S n =n 2 + n n = 1 S n = S n = S n = 2 n = 2 S n = S n = S n = 6 n = 3 S n = S n = S n = 12 Onde: Se: a 1 = 2 S 1 = 2 a 2 = 4 S 2 = a 1 + a 2 S 2 = S 2 = 6 a 3 = 6 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 S 3 = S 3 =12 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Calcular a soma dos termos da progressão aritmética (3, 6, , 27). 2) Calcule a soma dos 30 primeiros termos da progressão aritmética (5, 8, 11...). 3) Determine a soma dos múltiplos de 3, compreendidos entre 100 e ) Se a soma dos n primeiros termos da sucessão em progressão aritmética (6, 10...) é 510, determine n. 5) Calcular a soma dos 11 termos da progressão aritmética (2, 5,... 32). Logo: Então: a 2 a 1 = r r = 4 2 r = 2 a 1 = 2 r = a 1 a 2 a 3 a n 6) Determine a soma dos 15 primeiros termos da progressão aritmética (4, 7, 10...). 7) Determine a soma dos 7 números em progressão aritmética cujo 1º termo é 3 e a razão é 5. 8) Quantos múltiplos de 11 há entre 100 e 1000? 9) Numa progressão aritmética de 10 termos, o último termo é 22 e a razão é 2. Qual é o 1º termo e qual a soma dos termos dessa progressão aritmética? Que é a sequência dos números naturais positivos, pares. 10) Calcule a soma dos múltiplos positivos de 10 que se escrevem com 3 algarismos. 11) Calcule a soma dos 100 primeiros números naturais positivos. 16

17 QUADRO GERAL DE RESPOSTAS Questão Resposta BIBLIOGRAFIA Giovani, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º. Grau Volume único. 1ª. Edição. Editora FTD S/A. São Paulo. Sem ano de publicação. Yamada, Akihiro. Curso de Matemática Financeira. Matemática básica. Módulo I. Apostila. Curitiba. Sem ano de publicação a 1 = 4 S 10 =