PROGRESSÕES - INTENSIVO

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Luca Covalski Madureira
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1 PROGRESSÕES - INTENSIVO

Progressão Aritmética Definição Sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética.

2 Progressão Aritmética Definição Sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética. Exemplo 1: Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em janeiro e aumenta mensalmente sua produção de 30 veículos. Quantos veículos produziu em junho? Produção Inicial Janeiro Após 1 mês Fevereiro Após meses Março..... Após 5 meses Junho

3 Progressão Aritmética Classificação PA crescente Ex.: (, 4, 6, 8...) r > 0 PA constante Ex.: (,,,...) r = 0 PA decrescente Ex.: (8, 6, 4,...) r < 0

4 Progressão Aritmética Classificação Exemplo : Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V ) Se uma PA tem r > 0, então essa PA é crescente. ( V ) (UFSC 00) Se três números DISTINTOS formam uma progressão aritmética, então eles não formam uma progressão geométrica. ( V ) A PA (a +, a + 5, a + 8) é crescente. r = 3 ( F ) A PA (b + 1, 3b + 1, 4b + 1) é crescente. r = b, depende de b.

5 Progressão Aritmética Notações Especiais PA de 3 termos (x r, x, x + r) PA de 4 termos (x 3r, x r, x + r, x + 3r) PA de 5 termos (x r, x r, x, x + r, x + r)

6 Progressão Aritmética Termo Geral da PA a n = a 1 + (n 1).r Exemplos: a n a 1 n r e-nésimo termo primeiro termo termo razão a) a 6 = a 1 + 5r b) a 6 = a 4 + r c) a 6 = a 10-4r

7 Progressão Aritmética Termo Geral da PA Exemplo 5: (UDESC) Sabendo que a 3 + a 7 = 36 e a 5 + a 10 = 46, calcule : a) A razão da PA b) a 5 a) a 5 + a 10 = 46 a 3 + r + a 7 + 3r = r = 46 5r = 10 r = b) a 5 + a 10 = 46 a 5 + a 5 + 5r = 46 a 5 + 5r = 46 a 5 + 5() = 46 a = 46 a 5 = 36 a 5 = 18

8 Progressão Aritmética Média Aritmética b = a + c Exemplo 11: (FUVEST adaptada) Quais os números x 1 e x que devem ser somados aos números -, 5 e 8, para que os números formem, respectivamente, uma PA e uma PG. PA -, 5, 8 (- + x 1, 5 + x 1, 8 + x 1 ) PA (a, b, c) PG -, 5, 8 (- + x, 5 + x, 8 + x ) 5 + x = - + x x 1 (5 + x 1 ) = 6 + x x 1 = 6 + x 1 Não existe x, que somado a -, 5 e 8, formem uma PA. Média de PG (5 + x )² = (- + x )(8 + x ).

9 Progressão Aritmética Soma Equidistante a 3 + a 7 = a 4 + a 6 Exemplo 1: (UFSC) Sabendo que a 3 + a 7 = 1, calcule a soma dos nove primeiros termos da PA. a m + a n = a x + a y m + n = x + y S (a 1 + a n)n n = S = (a 1 + a 9)9 9 S = (a 3 + a 7)9 9 S = = 54

10 Progressão Aritmética Termo Médio PA (a, b, c) a e c são termos equidistantes de b. b = a + c Exemplo 13: (FUVEST ZEROS) Sabendo que a soma dos 9 primeiros termos de uma PA é 17874, calcule seu 5º termo. S (a 1 + a n)n n = S = (a 1 + a 9) = (a 1 + a 9) = (a + a ) = a + a 1 9 a + a a = a = a =

11 Progressão Aritmética Soma de PA Exemplo 14: (Espm 011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela expressão S n = 8n² - 1. Pode-se afirmar que seu 10º termo é: S (a 1 + a n)n n = S n S n - 1 = a n S 10 S 9 = a 10 8(10)² - 1 ( 8(9)² - 1 ) = a 10 a 10 = a 10 = 8(100 81) a 10 = 8(19) a 10 = 15

12 Progressão Aritmética PA de Ordem Superior Exemplo 15: Uma determinada cultura de bactérias aumenta ao dia segundo a sequência abaixo, onde 6 bactérias representam a quantidade inicial. 6, 8, 15, 7, Considerando que nenhuma bactéria morra, determine quantas bactérias terão após 8 dias PA de razão 5 a n = S n 1 + a 1 a 8 = S 7 + a 1 a 8 = a 8 = 15 S = (a 1+ a 7)7 7 S = ( + 3)7 7 S = bactérias após 8 dias. a 7 = a 1 + 6r a 7 = + 6(5) a 7 = 3

Progressão Geométrica Definição Progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada razão da progressão

13 Progressão Geométrica Definição Progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada razão da progressão geométrica. Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e cresce 1% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 1% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? a 1 = P.1,1 a 1 = P a 0 = P q = 1,1 q = 1,1 q = 1,1 a n = a 1. q n-1 a n = a 1. q n-1 a n = a 0. q n a n = P.1,1. (1,1) n-1 a n = P. (1,1) n-1 ERRADO a n = P. (1,1) n a n = P.(1,1) n

14 Progressão Geométrica Classificação PG crescente Ex.: (, 4, 8, 16,...) Ex.: (- 5, - 5, - 1,...) a 1 > 0 e q > 1 a 1 < 0 e 0 < q < 1 PG constante Ex.: (100, 100, ) q = 1 PG decrescente Ex.: (-, - 4, - 8, ) Ex.: (18, 6,, /3...) a 1 < 0 e q > 1 a 1 > 0 e 0 < q < 1 PG oscilante Ex.: (1, -3, 9, -7...) q < 0 PG singular Ex.: (0, 0, 0, 0...) a 1 = 0 ou q = 0

15 Progressão Geométrica Classificação Exemplo : Classifique como Verdadeiro ou Falso. ( V )...taxa de crescimento de 100%... trata-se de uma PG crescente com q =. ( F )...taxa de crescimento de 0%... trata-se de uma PG constante com q = 0. ( F )...taxa de decrescimento de 30%... trata-se de uma PG crescente com q = 0,3. ( V ) Em toda PG oscilante a razão é negativa.

16 Progressão Geométrica Notações Especiais x, x, xq q PG de 3 termos ou ( x, xq, xq ) PG de 4 termos x, x, xq, xq³ q³ q PG de 5 termos x, x, x, xq, xq² q q² Média Geométrica e Termo Médio PA (a, b, c) b² = a.c

17 Progressão Geométrica Notações Especiais Exemplo 5: (Escola Naval) A soma de três números em PG crescente é 19. Subtraindo-se 1 ao primeiro, eles passam a formar uma PA. Calcule-os : PA (x r, x, x + r) PG (1 + 6 r, 6, 6 + r) (6)² = (7 r)(6 + r) x r + x + x + r = 18 x r + x + x + r = 18 3x = 18 x = 6 PG (7 r, 6, 6 + r) (7 - (3), 6, 6 + 3) (4, 6, 9) 36 = 4 +7r 6r - r² r² - r 6 = 0 r 1 = - r = 3

18 Progressão Geométrica Termo Geral da PG a n = a 1. q n - 1 Exemplos: a n a 1 n e-nésimo termo primeiro termo termo a) a 10 = a 3. q 7 b) a 10 = a 7. q 3 c) a 10 = a 1. q - q razão

19 Progressão Geométrica Termo Geral da PG Exemplo 3: (UDESC) Sabendo que a 4 + a 6 = 160 e a 7 + a 9 = 180, calcule : a) A razão da PG b) a a) a 7 + a 9 = 180 b) a.q² + a.q 4 = 160 a 4.q³ + a 6.q³ = 180 q³(a 4 + a 6 ) = 180 q³. 160 = 180 q³ = 8 q = a (q² + q 4 ) = 160 a (² + 4 ) = 160 a.0 = 160 a = 8

20 Progressão Geométrica Média Geométrica e Termo Médio PA (a, b, c) b² = a.c Exemplo 5: (UFRJ) Quatro números são tais que, o primeiro é igual ao quarto, os três primeiros formam uma PA de razão 6 e os três últimos uma PG. Determine-os : (x r, x, x + r, x r) (x 6, x, x + 6, x 6) P.G. (- - 6, -, - + 6, - - 6) (- 8, -, + 4, - 8) (x + 6)² = x(x 6) x² + 1x + 36 = x² - 6x 18x = - 36 x = -

21 Progressão Geométrica Soma de PG Finita n S= a 1(q -1) n, q 1 q-1 Infinita a 1 S =, q 1 1- q

22 Progressão Geométrica Soma de PG Exemplo 9: (UFSC) Suponha que um jovem ao completar 16 anos pesava 60 kg e ao completar 17 anos pesava 64 kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão 1/, então ele nunca atingirá 68 kg. Aumento anual de massa = 4 (4,, 1, ½,... ) a 1 S = = 4 = 4 =8 1- q = 68kg A S indica o limite em que a soma dos termos chega. Mas ela nunca alcança esse valor. Correto

23 Progressão Geométrica PG de Ordem Superior Uma sequência de números reais se denomina progressão geométrica de ordem superior se as diferenças entre termos sucessivos formarem uma PG. Exemplo : 3, 5, 11, 9, PG de razão 3 9 = a n = S n 1 + a 1

24 Progressão Geométrica PG de Ordem Superior Exemplo 10: (IME) Uma seqüência de gerações de uma determinada bactéria são dados pelos números da progressão, considerando que o número representa a primeira geração, calcule quantas bactérias teremos na oitava geração, sabendo que a sequência inicial das gerações foi :, 5, 11, 3, PG de razão a n = S n 1 + a 1 a 8 = S 7 + a 1 a 8 = a 8 = bactérias na 8ª geração. S = 7 S = 7 7 a 1(q - 1) q ( - 1) - 1 S = 384 7

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