ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

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1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS AULA ESCRITA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E0176 Calcule o seno de 345º. RESOLUÇÃO

2 CONJUNTOS AULA ESCRITA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS DE CONCURSOS

3 APOSTILA CONJUNTOS EXERCÍCIOS DE CONCURSOS E0626 (IBEG Merendeira Prefeitura de Uruaçu GO). Sendo os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}; C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. I A B = C. II B = { x / x é número par: 2 < x < 12}. III A = { x / x é um número par: 2 x 12}. IV B = { x / x é um número ímpar: 1 < x < 11}. Analisando os itens acima, os itens corretos estão na alternativa: (A) I e III. (B) I, II e III. (C) II e IV. (D) II e III. (E) I e IV. RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO DETALHADA: Vamos analisar cada caso: I A B = C. Isso quer dizer que, se unir (juntar) os elementos de A (os números que estão no conjunto A) com os elementos do conjunto B, o resultado será todos os elementos do conjunto C. Vejamos: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; B = {1, 3, 5, 7, 9, 11};

4 Juntando os dois, fica: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 1, 3, 5, 7, 9, 11} Colocando em ordem, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Observe que estes são os elementos iguais ao conjunto C. Logo, a afirmação do item I é verdadeira. II B = { x / x é número par: 2 < x < 12}. Isso quer dizer que o conjunto B é formado por elementos x. Mas, quais são esses elementos? Ele dá a dica: são números pares. Só que números pares são infinitos. Mas ele delimita, quando diz que 2 < x < 12. Isso significa que os números chamados de x estão entre 2 e 12. Quais são eles? 3,4,5,6,7,8,9,10 e 11. Mas, como são números pares, temos: 4,6,8 e 10. Observe que o 2 e o 12 não entram. Como saber quando eles entram? O sinal < significa que é maior que 2. Logo, o 2 não entra. Quando o sinal for < ou >, o número não entra. Quando o número for ou, significa que é maior ou igual. Logo, o número entra. Assim, temos a informação que o conjunto B é formado pelos números pares 4,6,8 e 10. isso não é verdade. Aliás, o conjunto B nem tem número par. Confira: B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Logo, o item B é falso.

5 III A = { x / x é um número par: 2 x 12}. O item III diz que o conjunto A é formado por números pares de 2 a 12. Perceba que neste caso o sinal é fechado (você pode saber mais estudando intervalo). Isso significa que entram os números 2 e 12, ficando: {2,4,6,8,10,12}. De fato. Esse é o conjunto A. O item III é verdadeiro. IV B = { x / x é um número ímpar: 1 < x < 11}. O item IV diz que B é formado por números ímpares que vai de 1 até 11. Como o sinal é <, não entra nem o 1 nem o 11. Fica assim: {3,5,7,9}. Esse item é falso, pois o conjunto B tem o e o 11. Assim, temos I V II F III V IV F Assim, os itens corretos são I e III, ou seja, opção A.

6 Resposta: A E0567 (Exatus) 78 No que se refere aos conjuntos numéricos e suas relações de pertinências, é correto afirmar que: a) todo numero inteiro é um número natural. b) todo numero racional é um número inteiro. c) todo numero natural é um número racional. d) todo numero complexo é um número real. e) nem todo numero irracional e um numero real. RESOLUÇÃO Na ordem, temos: Números Naturais: números sem sinais e sem vírgulas Números Inteiros: todos os números naturais e mais os negativos, porém, sem vírgula Números racionais: todos os números inteiros mais os números com vírgula, contanto que não seja um número irracional. Números irracionais: todos os números que tem 3 características: ter vírgula ter reticências (ser infinito) não ser dízima Assim, a resposta correta é a opção C (todo número natural é um número racional). E0163 (UFPE) Para quantos valores inteiros de x o número é inteiro?

7 a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 RESOLUÇÃO Você pode ir fazendo por tentativa, testando números um por um: Testando um por um, você percebeu que apenas os números 1, 2, 3 e 6 resultaram num número inteiro (sem vírgula). Observe, ainda, que não tem a opção de 4 números. A menor é 8. Mas, quando o assunto é potenciação, não podemos esquecer que os números negativos não podem ficar de fora. Observe que se substituir os números pelos seus simétricos, a resposta também será um número inteiro: x³ + 36 / x² x = -1 (-1)³ + 36 / (-1)² / 1 35 / 1 35 x = -2 (-2)³ + 36 / (-2)² / 4 28 / 4 7 x = -3 (-3)³ + 36 / (-3)²

8 / 9 9 / 9 1 x = -6 (-6)³ + 36 / (-6)² / / 36 5 Assim, o x pode assumir os seguintes valores: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 e 6, ou seja, são 8 números possíves. RESPOSTA: LETRA A E0114

9 RESOLUÇÃO E0085 Qual o maior número natural A que torna verdadeira a desigualdade -16/7 < A/11? RESOLUÇÃO Primeiro precisamos calcular o valor da fração -16/7. Para isso, pegue o numerador (de cima) e divida pelo denominador (debaixo). 16 dividido por 7 dá aproximadamente -2,28. Sabendo que a primeira fração tem o valor de -2,28, precisamos calcular quanto seria o valor de A para que, ao dividir, o valor seja maior do que -2,28. Por que maior que -2,28? Porque a igualdade diz que fração 1 < fração 2 (fração 1 menor que a fração 2). Então, a fração 2 deverá ser maior. Um número maior que -2,28 é -2,27 (é maior porque está à direita na reta numérica) A : 11 =? (A dividido por 11 tem que ser quanto?)

10 Basta que ele seja -2,27 que será maior que -2,28. A : 11 = -2,27 Para descobrir o dividendo, basta multiplicar o quociente pelo divisor: -2,27 vezes 11 = -24,97 Logo, A deveria valor -24,97 para que a fração 2 fosse maior que a fração 1. Ops! Observe que o enunciado disse que o número deve ser natural. E -24,97 não é natural. Ou você arredonda para -25 ou você arredonda para -24. Mas, se você arredondar para 24, não vai tornar a inequação verdadeira. -24 : 11 = -2,18 E -2,18 é igual a -2,28 da primeira fração. Então, só pode ser o : 11 = -2,27. Só mais um detalhe: A resposta deveria ser -25. Mas, como tem um sinal antes do A: -A fica -(-25). Logo, a resposta é 25.

11 MÚLTIPLOS E DIVISORES AULA ESCRITA EXERCÍCIOS DE CONCURSOS CALCULADORA DE FATORAÇÃO MÚLTIPLOS E DIVISORES EXERCÍCIOS DE CONCURSOS E00628 IBEG-2015 GOIÁS COZINHEIRA Três amigos, Pedro, Thiago e João, trabalham em regime de plantão em um hospital de uma cidade de Minas Gerais. Cada plantão de João é de 24 horas e sua folga, por trabalhar em um local muito insalubre, é de 3 dias. Já Pedro trabalha 12 horas, mas somente à noite, e sua folga é de 1 dia. Thiago, o mais jovem dos três, trabalha 24 horas e sua folga é de 2 dias. Segundo suas escalas de serviço, todos eles trabalharão no dia 25 de Dezembro de Assim, em condições normais, em qual das datas a seguir os três amigos estarão simultaneamente de serviço novamente? (a) 30 de Dezembro de (b) 06 de Janeiro de (c) 31 de Dezembro de 2015 (d) 11 de Janeiro de 2016 (e) 04 de Janeiro de 2016 RESOLUÇÃO Resolução por MMC

12 2,3,4 2 1,3,2 2 1,3,1 3 1,1,1 12 DIAS 25/ DIAS = 37/12. TIRANDO OS 31 DIAS DE DEZEMBRO, 06/01. RESOLUÇÃO PASSO A PASSO João: trabalha 24 horas e folga 3 dias (72 horas) Pedro: trabalha 12 horas à noite e folga 1 dia. Thiago: trabalha 24h e folga 2 dias. 25 de dezembro, todos trabalharão juntos. Qual é o próximo dia em que eles Trabalharão juntos? PEDRO 25 de dezembro. Era de 18h às 6h, pois Pedro só trabalha à noite. Pedro larga do serviço 6h. de 26/12. Volta a trabalhar 18h de 27/12 Veja os dias de trabalho de Pedro até o dia 11/01 (data máxima das opções) 25/12 27/12 29/12 31/12 02/01 04/01 06/01 08/01 10/01 JOÃO Datas de João, que trabalha 1 dia e folga 3.

13 25/12 29/12 02/01 06/01-10/01 THIAGO Trabalha 1 dia e folga 2. 25/12 28/12 31/01 03/01 06/01 09/01 Observe que, depois de 25/12, a próxima daa será dia 06/01. Opção B MÉDIA, MODA E MEDIANA AULA ESCRITA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS DO ENEM MÉDIA, MODA E MEDIANA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E0632 Na tabela seguinte, constam os valores dos dez maiores PIBs das Américas. (ENVIADO POR ESTELA MARTINS)

14 PIB na América em 2010 País PIB (em bilhões de dólares) Estados Unidos ,40 Brasil 2.087,90 Canadá 1.574,00 México 1.039,70 Venezuela 387,90 Argentina 368,70 Colômbia 288,20 Chile 203,40 Peru 153,80 Cuba 114,10 Dados: Banco Mundial Fonte: Almanaque Abril, a) Calcule a média e mediana dos dados apresentados. Por que a média é bem maior que a mediana? b) Em que condições a média ficaria mais próxima da mediana? Faça os cálculos necessários. RESOLUÇÃO a) Calcule a média e mediana dos dados apresentados. Por que a média é bem maior que a mediana? MÉDIA Para calcular a média, somamos todos os valores do PIB e dividimos pela quantidade de parcelas.

15 A soma dá ,1 dividido por 10, dá média 2080,01 bilhões de dólares. MEDIANA A mediana é a valor que está no meio. Como temos 10 valores, não haverá um valor central. A mediana para quantidades pares será a média dos dois centrais. Atenção: Antes de achar o número do meio, deve-se colocar em ordem crescente. Neste caso, os números já estão em ordem crescente. Os valores centrais são 387,90 e 368,70. A média entre eles é 378,3 (387,90 mais 368,70 dividido por 2). Então, a mediana é 378,3 bilhões de dólares. Observe que a média é bem maior que a mediana, porque há um valor (Estados Unidos) que se distancia muito dos demais. Esse valor acabou jogando a média para cima. b) Em que condições a média ficaria mais próxima da mediana? Faça os cálculos necessários. Para que a média ficasse mais próxima da mediana, deveria tirar o valor dos Estados Unidos, que é o que esta puxando a media para cima. Se tirar esse valor, a nova média será de 690,80 bilhões de dólares, que é mais próxima que os atuais da mediana, que é 378,3.

16 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA AULA ESCRITA EXERCÍCIOS MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PODERADA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) E0628 Em uma fábrica, a média salarial das mulheres é R$ 880,00; para os homens, a média salarial é R$ 1.020,00. Sabe-se, também, que a média salarial de salários nessa fábrica é R$ 922,00. a) sem fazer os cálculos, responda: Há mais homens ou mulheres trabalhando na fábrica? b) Determine a quantidade de homens e de mulheres, sabendo que elas diferem de 32. (enviado por Denise Matos) RESOLUÇÃO a) Para saber se há mais homens ou mulheres, ache a média aritmética dos dois

17 valores (soma os dois e divide por 2). Isso vai te dar um valor médio para se basear. média das mulheres: 880 média dos homens: Somando os dois: = Dividido por 2: 1900 : 2 = 950,00 A média para se basear é 950,00. A nova média o enunciado diz ser 922. Perceba que esta nova média está abaixo da média para basear, que é de 950. Se a nova media esta abaixo, significa que tem maior quantidade de pessoas com menor média, que puxou a nova média para baixo. Neste caso, temos as mulheres com a menos média. R: Há mais mulheres trabalhando na fábrica. b) Fazendo os cálculos para determinar a quantidade de homens e mulheres: Dados: i. a quantidade de homens chamarei de h ii. a quantidade de mulheres chamarei de m iii. a quantidade de homens e mulheres diferem de 32, ou seja m h = 32. Temos uma equação com duas incógnitas. Precisamos usar sistema de equação. Mas, para isso, há a necessidade da segunda equação.

18 Podemos procurar a segunda equação da informação de média que temos: quantidade de mulheres vezes a média salarial + quantidade de homens vezes a média salarial pode ser representada matematicamente como (m. 880) + (h. 1020), ou ainda, 880m h. Se pegarmos essa soma e dividirmos pela quantidade de pessoas, vai dar a nova média, que é de 922. Podemos representar a quantidade total de pessoas sendo a quantidade de homens mais a quantidade de mulheres, ou seja m + h. Assim, temos a equação: resolvendo: Multiplicando cruzado, temos 880m h = 922 (m+h) 880m h = 922m + 922h Como vamos resolver pelo método da adição, vou concentrar todos os membros no 1 membro: 880m 922m h 922h = 0 simplificando -42m + 98h = 0 ou Pronto! Já temos a outras equação. Com as duas equações, podemos fazer um sistema de equação: m h = 32

19 -42m + 98h = 0 Aumentando a primeira equação por 42 (vide aula sistema de equação), temos 42m 42h = m + 98h = 0 Subtraindo as duas equações: 0m + 56h = 1344, ou seja 56h = 1344 h = 24 Já descobrimos que são 24 homens. Quantas mulheres? Lembra que o enunciado disse que a diferença entre eles é de 32? m h = 32 Como eu sei o valor de homens, posso substituir pelo h m 24 = 32 arrumando m = m = 56. R: São 56 mulheres e 24 homens. 2) E0631 A média aritmética de cinquenta números reais, x1, x2, x3,, x49,

20 x50, é igual a 120. Qual é a média aritmética dos números reais x1+1, x2+2, x3+3,, x49+1, x ? (ENVIADO POR ESTELA MARTINS) RESOLUÇÃO Sabe-se que há uma soma de 50 números. Essa soma, ao ser dividido pelas 50 parcelas, resultou em uma média aritmética 120. Isso significa que essa soma é 6.000, pois dividido por 50 dá 120. Para melhor visualizar, montamos (soma dos cinquenta números) = Multiplicando cruzado, temos (soma dos cinquenta números) = O enunciado pede uma nova média aritmética: Novos números serão somados. Cada número será adicionado por um valor. Esse valor segue a uma sequência: ao primeiro número, soma-se 1. Ao 2º número, soma-se 2. Ao terceiro 3, ao quarto 4 e assim sucessivamente até o 50º número. Eu não sei quais são esses números para somar. E nem preciso saber, porque o que importa não são os valores de cada número, mas a sua nova soma. E isso eu consigo calcular! Foram acrescentados Você tem a opção de somar todos os cinquenta números. Mas tem a opção de usar a soma da fórmula da Progressão Aritmética (P.A). Sn = (an + a1). n / 2

21 Sn = (50 + 1). 50 / 2 Sn = / 2 Sn = Sabemos que foram acrescentados aos Logo, a nova soma será de ( ). Observe que não acrescentamos parcelas. A soma continua com 50 números Esses números foram aumentados, mas continuam sendo 50. Para calcular a nova média, basta dividir a nova soma pela quantidade de parcelas : 50 = 145,5 (E1172) (PAEBES-TRI 2014, 1º trimestre) A família Oliveira consiste no pai, na mãe e em alguns filhos. A idade média da família é de 18 anos. Sem contar com o pai, que tem 38 anos, a idade media da família diminuiu para 14 anos. Quantos filhos tem a família Oliveira? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 RESOLUÇÃO Opção B

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