APOSTILA DE MATEMÁTICA

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1 1 NEEJA: NÚCLEO DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO MÓDULO - 8 PROFESSOR: Suzerly Fatima Bonotto Ano: 2015

2 2 MÓDULO/ 8 SEQUÊNCIAS: Muitos problemas são propostos com o uso de sequências. Às vezes, com figuras, com letras, e muitas vezes com números. Em geral, são as mesmas apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequência obedecendo-se a uma regra que rege a colocação dos termos, para completar a sequência. A seguir, damos um exemplo: A=(0;2;4;6;8;10;...) Qual é o sétimo termo dessa seqüência? É muito provável que você tenha respondido que o sétimo termo é o número 12. E por que você acha que é o número? Não dá para saber todas as possíveis respostas desta última pergunta, mas é possível prever algumas. Por exemplo: a) Essa seqüência inicia-se com o zero e o segundo termo é o zero mais dois; o terceiro termo é o segundo termo mais dois, e assim por diante. É só continuar dessa maneira para chegar ao valos do sétimo termo,que é 12. b)essa seqüência é uma lista de números naturais pares a partir do zero, e em ordem crescente. Assim, é só continuar a escrever os números pares. O número par que aparece em ordem crescente após o 10 é o 12. O uso das reticências indica que a seqüência é infinita. Também podem existir seqüência finitas. Os termos de qualquer seqüência serão representados da seguinte maneira: Esta representação indica que o número 4 é o terceiro termo da seqüência A. Exercício: Descubra uma regra para cada seqüência e acrescente três termos em cada uma delas: a)a=(1;2;2;3;3;3;-----;-----;----) b)b=(5;10;20;40;-----;-----;----) d)d=(13;8;3;-2;-----;------;------) e)e=(2;1; ; ; ;-----,-----,------) c)c=(5;-10;20;-40;-----;----;----)

3 3 Na sequência (-2,0,2,4,6,8) Ache: a)a3-a1= b)a soma de seus termos. PROGRESSÃO ARITMÉTICA Conceito de Progressão Aritmética - PA Chama-se Progressão Aritmética PA à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: A = (1, 5, 9, 13, 17, 21,... ) razão = 4 (PA crescente) B = (3, 12, 21, 30, 39, 48,... ) razão = 9 (PA crescente) C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50,... ) razão = -10 ( PA decrescente) Termo Geral de uma PA Seja a PA genérica (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: a 2 = a r a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2r) + r = a 1 + 3r Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: a n = a 1 + (n 1). r A expressão a n = a 1 + (n 1). r é denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que a n é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a razão e a 1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética PA. Exemplos: 1-Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9,... ) onde o primeiro termo a 1 = 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: a 1000 = a 1 + (1000-1).2 = = = Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

4 4 2-Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96,..., 22)? Temos a 1 = 100, r = = - 2 e a n = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = (n - 1). (- 2) ; logo, = - 2n + 2 e, = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n, de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos. 3-Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?temos a 5 = 30 e a 20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever: a 20 = a 5 + (20-5). r e substituindo fica: 60 = 30 + (20-5).r ;60-30 = 15r ; logo, r = 2. 4-Numa P.A de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?temos r = 5, a 20 = 8. Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 20).5a3 = = 8 85 = Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão: Agora é só usar a fórmula do termo geral : a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1).r 38-5=11r 33=11r r=33/11 r=3 6) Identifique as seqüência que são PA e dê suas respectivas razões: (a)(2;13;24;35;46) (b)(1;2;4;8;16) (c)(19;14;9;4;-1) (d)(4,4,4,4) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r, sabendo que: a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=0,5 Exercícios: 1-Calcule o 37º termo da PA: 2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos: a)a 34 _(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4 c)a27=16 e r =1/2

5 5 3-Inserir oito meios aritméticos entre os números 2 e Quantos termos têm a PA finita (-19, -15, )? 5-Qual é o vigésimo termo da PA (3,8...)? 6-Qual é o centésimo número natural par? 7-Numa PA, de razão 3, o sétimo termo é 21.Qual é o primeiro termo? 8-Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e O sexto termo de uma PA (4, 10,...) é? 10-Qual é o décimo quinto termo da PA. (4, 9,...). PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência: (2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada. 4 : 2 = 2 8 : 4 = 2 16 : 8 = 2 32 : 16 = 2 64 : 32 = 2 termo constante da progressão geométrica é denominado razão. Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja: a n = a 1.q n -1 Com base nessa expressão, temos que: a 2 = a 1. q a 3 = a 1.q 2 a 5 = a 1.q 4 a 10 = a 1.q 9 a 50 = a 1.q 49 a 100 = a 1.q 99

6 6 Exemplo 1 Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. a 8 = a 8 = a 8 = 8748 O 8º termo da PG descrita é o número ) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. 2) Temos: a 1 = 2, q = 4/2 = 8/4 =... = 2. Para calcular o décimo termo, ou seja, a 10 vem pela fórmula: a 10 = a 1. q 9 = = = ) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? 4) Temos a 4 = 20 e a 8 = 320. Logo, podemos escrever: a 8 = a 4. q 8-4. Daí vem: 320 = 20.q 4 Então q 4 =16 e portanto q = 2 INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.a1=3 an=48 n=3+2=5 (3----, ----, ----, 48) an= a1. 48= = = 2=q 16= 1.Determine a razão de cada uma das seguintes PG: a) (3, 12, 48,...) b)(5,-15,...) d)(10,5,...) e)(10,50,...) c)(5,5/2,...)

7 7 2.Copie e complete cada uma das PG: a)(3,6,...,...,...,) b)(1,5,...,...,...,...,) c)(9,18,...,...,...,...,...) Escreva; a)uma PG, de quatro termos em que a1=5 e q=3 b)uma PG.de seis termos em que a1=-2 e q=2 c)uma PG. De cinco termos em que a1=540 e q=1/3 Calcule: 1-Uma PG cujo décimo termo da PG (2, 6,...). 2-Numa PG. De quatro termos a razão é 5 e o último termo é 375.Calcular o primeiro termo dessa PG. 3-Numa PG.de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486.Calcular a razão dessa PG. 5-Qual é o sexto termo da PG (512, 256,...)? 6-Qual é o primeiro termo de uma P.G., na qual o 11 termo é 3072 e razão é? 7-Numa PG o primeiro termo é 4 e o último termo é 4000,a razão é 10.Qual é o número de termos? 8-Inserindo 4 meio geométricos entre 2 e 486, como mostramos (2,---,---,---,---,486), a razão dessa PG é? 9-A progressão geométrica. G.(-48, -24, -12,...) tem na ordem como razão (q) e o (quinto termo) os números? 10-Qual é o oitavo termo da P.G.(3,9,...).

8 8 MATRIZES Introdução O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Química Inglês Literatura Espanhol A B C Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes: Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

9 9 Veja mais alguns exemplos: é uma matriz do tipo 2 x 3 Notação geral é uma matriz do tipo 2 x 2 Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: ou, abreviadamente, A = [a ij ] m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a 23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. Na matriz, temos:

10 10 Ou na matriz B = [ ], temos: a 11 = -1, a 12 = 0, a 13 = 2 e a 14 = Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1 Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. é do Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja: ou, abreviadamente, A = [a ij ] m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a 23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

11 11 Na matriz, temos: Ou na matriz B = [ ], temos: a 11 = -1, a 12 = 0, a 13 = 2 e a 14 = Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1 Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. é do Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n Matriz transposta: matriz A t obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo

12 12 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A t é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A t. Operações envolvendo matrizes ADIÇÃO: Dadas as matrizes, chamamos de soma dessas matrizes a matriz, tal que C ij = a ij + b ij, para todo : A + B = C Exemplos: Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. SUBTRAÇÃO: Dadas as matrizes, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: A - B = A + ( - B )

13 13 Observe: MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b ij = xa ij : B = x.a Observe o seguinte exemplo: MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( a ij ) m x p e B = ( b ij ) p x n é a matriz C = (c ij ) m x n em que cada elemento c ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz cada C ij : para entender como se obtém 1ª linha e 1ª coluna

14 14 1ª linha e 2ª coluna 2ª linha e 1ª coluna 2ª linha e 2ª coluna Assim,. Observe que: Portanto, comutativa..a, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade

15 15 Vejamos outro exemplo com as matrizes : Da definição, temos que a matriz produto A. B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Se A 3 x 2 e B 2 x 5, então ( A. B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A. B ) 4 x EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 1- Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela Botões p Botões G Camisa A Camisa B Camisa C

16 16 O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: Maio Camisa A Junho Camisa B Camisa C DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.. Por exemplo, o determinante da matriz. é dado por: Determinante de matriz de terceira ordem O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:.

17 17 Por exemplo: =0 Dadas as matrizes: A=( ) B=( ) C=( ) Determine: a) A B = b) (B+C) = c) B.C = d) 2C+ B= Dada a matriz: A ( ) a) Qual a ordem desta matriz? Efetue as matrizes: b) Representa a matriz transposta c) Que tipo de matriz se classifica? a)( )+( ) = b)( ) -( ) = c) ( ) + ( ) = d) ( ) -( ) = Ache o valor dos determinantes: a) b)

18 18 c) d) f) e) ANÁLISE COMBINATÓRIA Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória FATORIAL DE UM NÚMERO Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo: n! = n Para n = 0, teremos : 0! = 1. Para n = 1, teremos : 1! = 1 Exemplos: a) 6! = = 720 b) 4! = = 24 Princípio Fundamental da Contagem Exemplo- Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes matérias, empilhados de cima para baixo nesta exata ordem: Português, matemática, história e geografia. Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros nesta carteira? = 24 maneiras Permutações simples Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo1- com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!,isto é P n = n! Exemplos: P 3 = 3! = = 6

19 19 Exemplo2- Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P 5 = 5! = = 120 Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: p 3! =3.2.1=6 REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER Exercício resolvido de arranjos e combinações simples 1 Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo. Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática. 2-Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas? 3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos? modos. 4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas? saladas

20 20 EXERCÍCIOS: 1-Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos? 2-Numa reunião de 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3 rapazes e 3 moças? 3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão, dispondo de 8 jogadores? 4-De quantas maneiras diferentes é possível compor uma faixa de três quadrados de mesma dimensão e com cores diferentes, podemos formar? 5- Dada a palavra FUTEBOL responda: a) Quantos anagramas terminam por L? b) Quantos são seus anagramas? c) Quantos começam por F? 6- Utilizando os algarismos 1,2,5,7 e 8, quantos números de 2 algarismos podemos formar? 7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer. De quantos modos diferentes pode ocorrer a chegada dos três primeiros atletas? 8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas: -Martelo -Excursão -Resto Calcule: a) P8 b) A6,3 c) C8,5 d) P4+C4,2 e) A7,5-6P3

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