Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares

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1 Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Matrizes: Uma matriz de tipo m n é uma tabela com mn elementos, denominados entradas, e formada por m linhas e n colunas. A matriz identidade de ordem 2, por exemplo, é uma matriz de tipo 2 2 representada por I 2 = [ Igualdade: Adição: [ x + 1 [ = [ [ = x = 4 [ Multiplicação por Escalar: [ = [ A subtração é definida por meio da adição e da multiplicação por escalar como Produto: A B = A + ( B) Se A = [a ij m p e B = [b ij p n, então AB = [c ij m n possui entradas definidas por p c ij = a ik b kj. [ k= = [

2 Transposta: Linha vira coluna e coluna vira linha, ou seja, A t = A t = [a ji A = [a ij. [ A = Transposta do produto: (AB) t = B t A t. Traço: Inversa: [ 3 2 tr 1 8 B = A 1 é a inversa de A se tr(a) = m i=1 a ii = (3) + ( 8) = 5 AB = BA = I, onde I é a matriz identidade. Essa condição nem sempre é satisfeita de modo que existem matrizes não nulas que não admitem inversa; tais matrizes são denominadas singulares. Para se encontrar a inversa da matriz A, efetuamos operações elementares sobre a matriz [A I a fim de obtermos [I A 1. Quando a matriz A for singular, o algoritmo de inversão não poderá ser completado porque uma linha nula no lado esquerdo aparecerá no meio do processo (indicando que a matriz A não pode ser reduzida à identidade por operações elementares). [ 1 2 Para a matriz A =, temos 1 3 [ [ [

3 [ 3 2 Logo, A 1 = 1 1. Inversa do produto: (AB) 1 = B 1 A 1. Sistemas Lineares: Um sistema linear consiste num conjunto finito de equações lineares, do tipo que definem uma linha reta ou um plano, tendo a forma geral: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Quando temos b 1 = b 2 =... = b m = 0, dizemos que o sistema linear é homogêneo. Soluções: Uma solução de um sistema linear com n incógnitas é o lugar geométrico no R n que satisfaz todas as condições impostas pelas equações do sistema. Todo sistema linear possui zero, uma ou infinitas soluções, não existindo outras possibilidades. O que foi dito acima pode ser exemplificado pelos sistemas lineares abaixo: { } { } { } x y = 1 x + y = 4 4x 2y = 1 (A) (B) (C) 2x + y = 6 3x + 3y = 6 16x 8y = 4 Os sistemas acima são formados por equações lineares que representam linhas retas no plano. As soluções de cada sistema correspondem ao lugar geométrico obtido pela intersecção de duas retas no plano. (A) Possui uma única solução, pois as retas são concorrentes e se interceptam num único ponto. (B) Possui zero soluções, pois as retas são paralelas (e distintas) não possuindo nenhum ponto comum. (C) Possui infinitas soluções, pois as retas são coincidentes. 3

4 Representação Matricial: O sistema linear a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m pode ser representado pela sua matriz aumentada a 11 a a 1n = b 1 a 21 a a 2n = b a m1 a m2... a mn = b m Podemos alterar a matriz aumentada de um sistema linear a fim de obter um sistema linear equivalente, pois terá o mesmo conjunto de soluções que o sistema original. Esse tipo de transformação matricial que preserva as soluções do sistema linear é chamada de operação elementar. São elas: 1. Trocar duas linhas da matriz. 2. Multiplicar uma linha da matriz por um escalar não nulo. 3. Adicionar uma linha da matriz a outra. Forma Escada: Podemos resolver um sistema linear (não importando seu tamanho) por meio da redução da matriz aumentada do sistema original a uma matriz escalonada (ou em forma escada), caracterizada pelas seguintes propriedades: 1. Todas as linhas nulas estão agrupadas no fim da matriz. 2. O primeiro número não nulo de uma linha não nula é 1 (chamado de pivô). 3. O pivô de uma linha não nula sempre ocorre numa coluna anterior ao pivô da linha não nula seguinte (daí o nome forma escada). 4

5 Uma matriz escalonada se diz reduzida caso obedeça também à condição abaixo: 4. Toda coluna que contém o pivô (um número 1, portanto) de uma certa linha não nula possui zeros no resto. Considere a matriz na forma escalonada (reduzida) O sistema linear correspondente é { x + 3z = 1 y 4z = 2 Chamamos de variáveis condicionadas aquelas correspondentes aos pivôs de cada linha (no caso, x e y), e de variáveis livres as demais (no caso, z). A solução do sistema é dada por x y z = t significando uma linha reta no R 3 que passa pelo ponto ( 1, 2, 0) e tem a direção do vetor ( 3, 4, 1). Gauss-Jordan: Pode ser mostrado que a aplicação de operações elementares à matriz aumentada de um sistema linear não altera o conjunto solução desse sistema. O método de Gauss-Jordan consiste em efetuar tais operações a fim de escalonar a matriz aumentada de um sistema linear dado, obtendo um sistema equivalente de solução fácil através de uma matriz escalonada reduzida 1. Considere a matriz Toda matriz admite uma única forma escalonada reduzida. }.,. 5

6 Passo 1 - Escolher Coluna. Localize a coluna não nula mais à esquerda Passo 2 - Trocar o Zero. Troque linhas, se necessário, a fim de deixar uma entrada não nula na coluna escolhida no Passo Passo 3 - Criar o Pivô. Multiplique a primeira entrada da coluna em destaque no Passo 2 pelo seu inverso a fim de obter um pivô Passo 4 - Zerar Abaixo. Adicione múltiplos da linha superior às demais a fim de zerar todas as entradas abaixo do pivô Passo 5 - Excluir e Repetir. Repita os passos anteriores para a matriz resultante, excluindo a linha superior. Continue até que a matriz esteja na forma escalonada Passo 6 - Zerar Acima. A partir da última linha não nula, trabalhe para cima adicionando múltiplos de cada linha às linhas acima a fim de introduzir zeros acima dos pivôs. Continue até que a matriz esteja na forma escalonada reduzida

7 Matrizes Diagonais: Uma matriz diagonal é toda matriz quadrada da forma d d D = d n Não é difícil de mostrar que a matriz diagonal D acima é invertível se e somente se seus elementos diagonais são todos não nulos. Sua inversa é dada por d D 1 0 d = d 1 n Da mesma forma, qualquer potência inteira positiva de uma matriz diagonal é facilmente expressa por d k D k 0 d k = d k n O resultado acima continua válido para k < 0 se D for invertível. Matrizes Triangulares: Uma matriz triangular superior é toda matriz quadrada cujas entradas abaixo da diagonal principal são zero. Essa condição pode ser descrita pela fórmula a ij = 0 se i > j. Exemplo:

8 Uma matriz triangular inferior é toda matriz quadrada cujas entradas acima da diagonal principal são zero. Essa condição pode ser descrita pela fórmula a ij = 0 se i < j. Exemplo: Observação 1. Como os dois exemplos anteriores revelam, a transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior, e vice-versa. Observação 2. Uma matriz triangular (superior ou inferior) é invertível se e somente se suas entradas diagonais são não nulas. Matrizes Simétricas e Antissimétricas: Uma matriz quadrada A é simétrica se Exemplo: A t = A a ji = a ij. Uma matriz quadrada A é antissimétrica se Exemplo: A t = A a ji = a ij. Observação 3. Como pode ser facilmente verificado pela definição, toda matriz antissimétrica tem diagonal principal nula. Matrizes Nilpotentes: Uma matriz quadrada A é dita nilpotente se A k = 0 para algum inteiro positivo k, onde 0 é a matriz nula. O menor k para o qual a condição de nilpotência se verifica é denominado índice de nilpotência da matriz. 8

9 Exemplo: A matriz A = é nilpotente com índice de nilpotência 3, pois A 2 = Matrizes em Blocos: A 3 = Toda matriz pode ser transformada numa matriz em blocos por meio da separação de linhas e colunas específicas. Em especial, uma matriz diagonal em blocos é aquela matriz formada por blocos diagonais compostos por matrizes quadradas e por matrizes nulas no resto: D = D D D k onde as matrizes D 1, D 2,..., D k são quadradas. A inversa de uma matriz diagonal em blocos, quando existe, é dada por D D D = D 1 k Determinantes: O determinante de uma matriz quadrada A = [a ij n n é definido como a soma alternada de produtos elementares 2, det(a) = sgn(σ)a 1σ(1) a 2σ(2)... a nσ(n), 2 Combinações de n entradas da matriz, não sendo permitido duas entradas provenientes da mesma linha ou da mesma coluna. 9

10 onde a soma se dá ao longo de todas as permutações σ dos números {1, 2,..., n} e a função sinal sgn(σ) é definida por { } +1 se σ par sgn(σ) =. 1 se σ ímpar Expansão em Cofatores: O número C ij = ( 1) i+j M ij é chamado cofator da entrada a ij da matriz A, n n, onde o termo M ij é definido como o determinante da submatriz resultante da eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz A. O determinante de uma matriz A, n n, pode ser calculado multiplicando as entradas em qualquer linha (ou coluna) pelos seus respectivos cofatores e somando os produtos resultantes. 1. Expansão em cofatores ao longo da j-ésima coluna: det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j a nj C nj 2. Expansão em cofatores ao longo da i-ésima linha: Matriz Adjunta: det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i a in C in Define-se a adjunta de uma matriz A, n n, como sendo a transposta da matriz dos cofatores de A. Se A é invertível, então podemos calcular sua inversa A 1 por meio da matriz adjunta através da fórmula Regra de Cramer: A 1 = 1 det(a) adj(a). Se A x = b é um sistema linear de n equações em n incógnitas, então o sistema tem uma solução única se e somente se det(a) 0, sendo a solução dada por x j = det(a j), j = 1,..., n, det(a) onde A j é a matriz que resulta quando a j-ésima coluna de A é substituída por b. 10

11 Propriedades dos Determinantes: Se A é uma matriz quadrada com uma linha ou uma coluna de zeros, então det(a) = 0. Se A é uma matriz triangular ou diagonal, então det(a) é dado pelo produto das entradas da diagonal principal. Pode ser mostrado que se uma matriz quadrada M é colocada numa forma triangular em blocos como [ [ A 0 A C M = ou M = C B 0 B onde A e B são quadradas, então det(m) = det(a)det(b). Como cada produto elementar tem um fator de cada linha e um de cada coluna da matriz A, existe uma simetria entre linhas e colunas que é inerente à definição de determinante. Tal simetria se manifesta no fato de que det(a t ) = det(a). Operações Elementares: Seja A uma matriz n n. 1. Se B é a matriz que resulta quando uma única linha ou coluna de A é multiplicada por um escalar k, então det(b) = k det(a). 2. Se B é a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A são trocadas, então det(b) = det(a). 3. Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha (ou coluna) de A é somado a uma outra linha (ou coluna), então det(b) = det(a). Decorre diretamente do resultado acima que: 1. se A tem duas linhas (ou colunas) idênticas, então det(a) = 0; 2. se A tem duas linhas (ou colunas) proporcionais, então det(a) = 0; 3. det(ka) = k n det(a), para k R e A matriz n n. Produto de Matrizes: Sejam A e B matrizes quadradas. Então 11

12 1. det(ab) = det(a) det(b) 2. A invertível det(a) 0 3. det(a 1 1 ) = det(a) 4. det(a k ) = [det(a) k Exercícios 1. Encontre os valores de a e b que satisfazem a equação matricial = a + b 2a b Encontre os valores de a e b que satisfazem a equação matricial [ [ [ 2a + b 0 5a + b = Considere as matrizes A = [ B = Calcule: (a) A t (b) B t (c) (AB) t 4. Considere as matrizes A = [ B = Calcule: 12

13 (a) A t (b) B t (c) (AB) t 5. Considere as matrizes Calcule: (a) tr(a) (b) tr(a t ) A = (c) tr(ab) tr(a)tr(b) B = Considerando as matrizes do exercício anterior, calcule: (a) tr(b) (b) tr(b t ) (c) tr(ba) tr(b)tr(a) 7. Encontre todos os valores de k, se existirem, que satisfazem a equação [ k k = Encontre todos os valores de k, se existirem, que satisfazem a equação [ k = k 9. Determine se a equação é linear (k é uma constante não nula). (a) x 1 + 5x 2 2x 3 = 1 (b) x x 2 + 8x 3 = 5 13

14 (c) x 1 x 2 + x 3 = sin(k) 10. Determine se a equação é linear (k é uma constante não nula). (a) x 1 + 3x 2 + x 1 x 3 = 2 (b) kx 1 1 k x 2 = 9 (c) x k 1 + 7x 2 x 3 = Determine se o vetor é solução do sistema linear (a) (3, 1, 1) (b) (3, 1, 1) 2x 1 4x 2 x 3 = 1 x 1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 5x 2 3x 3 = Determine se o vetor é solução do sistema linear (a) ( 5 7, 8 7, 1) (b) ( 5 7, 8 7, 0) (c) (5, 8, 1) x 1 + 2x 2 2x 3 = 3 3x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 5x 2 5x 3 = Para quais valores da constante k o sistema linear não possui solução? E uma única solução? E infinitas soluções? { x y = } 3 2x 2y = k 14. Para quais valores da constante k o sistema linear não possui solução? E uma única solução? E infinitas soluções? { x1 + 4x 2 = } 1 3x x 2 = k 14

15 15. Ache 3x 1 2x 2 = 1 (a) a matriz aumentada do sistema linear 4x 1 + 5x 2 = 3 7x 1 + 3x 2 = Ache (b) o sistema linear correspondente à matriz aumentada (a) a matriz aumentada do sistema linear (b) o sistema linear correspondente à matriz aumentada 17. Reduza a matriz 18. Reduza a matriz Resolva o sistema linear de Gauss-Jordan. 20. Resolva o sistema linear de Gauss-Jordan. 21. Resolva o sistema linear homogêneo pelo método de Gauss-Jordan. Responda: x 1 + 2x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 6x 1 + x 2 x 3 = 0 à forma escalonada reduzida. à forma escalonada reduzida. x 1 + x 2 + 2x 3 = 8 x 1 2x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 7x 2 + 4x 3 = 10 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 1 8x 1 + x 2 + 4x 3 = pelo método pelo método 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 x 1 + 2x 2 = 0 x 2 + 2x 3 = 0 15

16 (a) Quantas incógnitas tem o sistema? (b) Quantas linhas não nulas tem a matriz escalonada reduzida correspondente? (c) Qual o número de variáveis livres desse sistema? { 3x1 + x 22. Resolva o sistema linear homogêneo 2 + x 3 + x 4 = 0 5x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 pelo método de Gauss-Jordan. Responda: } (a) Quantas incógnitas tem o sistema? (b) Quantas linhas não nulas tem a matriz escalonada reduzida correspondente? (c) Qual o número de variáveis livres desse sistema? 23. De acordo com o valor de a, classifique o sistema linear x + 2y + z = 2 2x 2y + 3z = 1 x + 2y + (a 2 3)z = a quanto ao número de soluções possíveis. 24. De acordo com o valor de a, classifique o sistema linear { x + 2y = 1 } 2x + (a 2 5)y = a 1 quanto ao número de soluções possíveis. 25. Fazendo as substituições resolva o sistema não linear x = sin α, y = cos β, z = tan γ, 2 sin α cos β + 3 tan γ = 3 4 sin α + 2 cos β 2 tan γ = 2 6 sin α 3 cos β + tan γ = 9. 16

17 26. Fazendo as substituições resolva o sistema não linear X = x 2, Y = y 2, Z = z 2, x 2 + y 2 + z 2 = 6 x 2 y 2 + 2z 2 = 2 2x 2 + y 2 z 2 = Encontre A 2 e A 1, se existir, sendo A a matriz diagonal abaixo (a) (b) Encontre A 2 e A 1, se existir, sendo A a matriz diagonal abaixo (a) (b) Ache todos os valores de x para os quais a matriz triangular superior x 1 x 2 x 4 0 x + 2 x x 4 é invertível. 30. Ache todos os valores de x para os quais a matriz triangular inferior x x x x 2 x 3 x é invertível. 17

18 31. Ache todos os valores de a, b e c para os quais a matriz 2 a 2b + 2c 2a + b + c 3 5 a + c é simétrica. 32. Ache todos os valores de a, b, c e d para os quais a matriz 0 2a 3b + c 3a 5b + 5c 2 0 5a 8b + 6c 3 5 d é antissimétrica. 33. Mostre que a matriz A = de nilpotência. 34. Mostre que a matriz A = de nilpotência. [ [ Ache a inversa da matriz diagonal em blocos Ache a inversa da matriz diagonal em blocos Calcule o determinante da matriz efetuando uma expansão em cofatores ao longo da 18 é nilpotente e determine seu índice é nilpotente e determine seu índice

19 (a) primeira linha (b) segunda coluna 38. Calcule o determinante da matriz efetuando uma expansão em cofatores ao longo da (a) segunda linha (b) primeira coluna 39. Calcule o determinante da matriz efetuando uma expansão em cofatores ao longo da linha ou coluna de sua escolha. 40. Calcule o determinante da matriz efetuando uma expansão em cofatores ao longo da linha ou coluna de sua escolha Ache a adjunta da matriz Ache a adjunta da matriz cos θ sin θ Determine A 1 através da adjunta de A = sin θ cos θ

20 44. Determine A 1 através da adjunta de A = 46. Resolva o sistema tan α tan α cos 2 α { } 7x1 3x 45. Resolva o sistema 2 = 3 pela regra de Cramer. 3x 1 + x 2 = 5 Cramer. x 1 3x 2 + x 3 = 4 2x 1 x 2 = 2 4x 1 3x 3 = 0. pela regra de 47. Ache o determinante pedido, dado que A é uma matriz 3 3 para a qual det(a) = 7. (a) det(3a) (b) det(a 1 ) (c) det(2a 1 ) (d) det((2a) 1 ) 48. Ache o determinante pedido, dado que A é uma matriz 4 4 para a qual det(a) = 2. (a) det( A) (b) det(a 1 ) (c) det(2a t ) (d) det(a 3 ) 49. Explique porque det b + c c + a b + a a b c = 0, sem calcular diretamente o determinante. Dica: some a primeira e a segunda linhas. 50. Explique porque x = 0 e x = 2 satisfazem a equação x 2 x = 0, sem calcular diretamente o determinante. 20

21 51. Ache os valores de k para os quais a matriz A = invertível. 52. Ache os valores de k para os quais a matriz A = Respostas [ k k 2 [ k 2 2 k é é invertível. 1. a = 5 3 e b = a = 7 3 e b R 3. (a) A t = [ (b) B t = (c) (AB) t = B t A t = [ (a) A t = [ (b) B t = [ 11 9 (c) (AB) t = B t A t = (a) tr(a) = 17 (b) tr(a t ) = 17 (c) tr(ab) tr(a)tr(b) = (a) tr(b) = 12 (b) tr(b t ) = 12 21

22 (c) tr(ba) tr(b)tr(a) = k = 1 8. k = 2 ou k = (a) Sim (b) Não (c) Sim 10. (a) Não (b) Sim (c) Não, exceto para k = (a) Não (b) Sim 12. (a) Não (b) Sim (c) Não 13. Para k 6 não possui solução. Para k = 6 possui infinitas soluções. 14. Para k 3 não possui solução. Para k = 3 possui infinitas soluções (a) x 1 = 0 (b) 3x 1 4x 2 = 0 x 2 = (a) (b) x 1 2x 3 = 5 7x 1 + x 2 + 4x 3 = 3 2x 2 + x 3 = 7 22

23 x 1 = 3, x 2 = 1, x 3 = x 1 = t, x 2 = t, x 3 = t 21. x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 (a) 3 (b) 3 (c) x 1 = s, x 2 = s t, x 3 = 4s, x 4 = t (a) 4 (b) 2 (c) a = 2: nenhuma solução; a = 2: infinitas soluções; a ±2: uma única solução. 24. a = 3: nenhuma solução; a = 3: infinitas soluções; a ±3: uma única solução. 25. α = π 2, β = π, γ = x = ±1, y = ± 3, z = ± (a) A 2 = ; A 1 não existe (b) A 2 = ; A 1 =

24 28. (a) A 2 = (b) A 2 = 29. x 1, 2, ; A 1 = ; A 1 não existe 30. x 1 2, 1 3, a = 11, b = 9, c = a = t, b = 7t, c = t, d = 0, com t R [ A 2 = 0 0 [ A 2 = (a) 152 (b) (a) 0 (b)

25 41. adj(a) = 42. adj(a) = 43. A 1 = 44. A 1 = 45. x 1 = 9 8, x 2 = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ tan α cos 2 α cos 2 α 0 cos 2 α tan α cos 2 α sec 2 α 46. x 1 = 30 11, x 2 = 38 11, x 3 = (a) det(3a) = 189 (b) det(a 1 ) = 1 7 para α π 2 + nπ, n Z (c) det(2a 1 ) = 8 7 (d) det((2a) 1 ) = (a) det( A) = 2 (b) det(a 1 ) = 1 2 (c) det(2a t ) = 32 (d) det(a 3 ) = Substituindo a primeira linha da matriz pela soma da primeira e segunda linhas, obtemos uma matriz com mesmo determinante e linhas proporcionais. 25

26 50. Tanto para x = 0 quanto para x = 2, obtemos matrizes com linhas proporcionais. 51. k 5 ± k ±2 26

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