CAPÍTULO 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 CAPÍTULO 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é um ramo da matemática, que tem por fim estudar as propriedades dos agrupamentos que podemos formar, segundo certas leis, com os elementos de um conjunto finito. 1. Conceitos,,,. Aos subconjuntos de três elementos, denominaremos de agrupamentos simples de classe 3 e escrevemos como: abc; abd ; acd e bcd. Aos conjuntos abb; aab; acc, Seja A a b c d denominamos de agrupamentos repetidos agrupamentos simples de classe 2 e escrevemos: ab; ac; ad; bc; bd e cd. Exemplo 1: Seja A 1,2,3,4 de classe 3. Aos subconjuntos com dois elementos,, quantos números distintos (sem repetição) de classe 3 podemos formar com esses algarismos? Escrevemos os agrupamentos de classe 3 distintos e observamos que mudando a ordem dos algarismos de cada agrupamento,ocorrem novos números distintos. Assim com 4 algarismos podemos formar números distintos de 3 dígitos (6) 6 (6) (6) Observação 1: Os números acima são formados de três dígitos sendo que na primeira casa aparecem os quatro dígitos e como não há repetição dos dígitos, na segunda casa aparecem três dígitos distintos e finalmente na última casa dois dígitos. Portanto podemos escrever Exemplo 2: Numa sala há 3 rapazes e 4 moças. Quantos casais rapaz-moça podem formar? Chamando os rapazes de r 1, r 2, r 3 e as moças de m1, m2, m3, m4, é fácil ver que para o rapaz r 1 podemos formar 4 casais e mais 4 casais para o rapaz r 2 e outros 4 para o rapaz r 3. Portanto o número de casais é dado por: 4+4+4=3.4=12. 49

2 2. Princípio Fundamental de Contagem. Os exemplos dados ilustram o Princípio Fundamental de Contagem. Se um acontecimento é composto de duas etapas sucessivas, independentes uma da outra, e: Se na 1ª etapa ocorrer de m modos, Se na 2ª etapa ocorrer de n modos, então, o número de possibilidades de ocorrência do acontecimento é o produto de m.n. Exemplo 3: Quatro ciclistas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? Cada resultado é formado por uma terna do tipo (a,b,c), sendo que a representa o ciclista que chegou em primeiro lugar, b representa o ciclista que chegou em segundo lugar e c o ciclista que chegou em terceiro lugar, então o número total dos resultados possíveis é dado pelo princípio fundamental de contagem 4.3.2= Arranjos São dois os principais tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Dado um conjunto A de n elementos, dele retiramos agrupamentos de classe p distintos com 1 p n. Chama-se arranjos de n elementos tomados p a p, ao número de agrupamentos ordenados de classe p. 3.1 Notação: A np, Exemplo 4: Seja A 1,2,3. Quantos arranjos desses 3 dígitos dois a dois podemos obter? Os arranjos são: 12, 21, 13, 31, 23 e 32, isto é A3, Cálculo do número de Arranjos. Para a dedução da fórmula dos Arranjos usamos o Princípio Fundamental de Contagem. Seja o conjunto Aa1, a2, a3,..., an com n elementos. i) Os arranjos de n elementos tomados um a um de A, são: ( a1 ),( a2),( a3),...( an ) e, portanto An,1 n ii) Os arranjos de n elementos tomados dois a dois de A, são: a1a 2, a1a 3, a1a 4,..., a1a n, a2a1, a2a3,..., a2an,..., an 1an, portanto An,2 n.( n 1). iii) Arranjos de n elementos tomados três a três são obtidos analogamente por: An,3 n.( n1)( n 2). Generalizando: 50

3 An,1 n... para classe p 1 An,2 n.( n 1)... para classe p 2 An,3 n.( n1)( n 2)... para classe p 3 e, portanto... Anp, n( n1)( n2)...( n( p 1)) n ( n 1)( n 2)...( n p 1), para classe p Exemplo 5: Calcular os arranjos a) A 5,3 =5.4.3=60 b) A 6,2=6.5=30 Exemplo 6: Determinar o valor de x 2 de modo que A,2 56 Ax,2 ( x)( x1) 56, logo x 8 Exemplo 7: Seja A 1,2,3,4,5 x. Quantos números pares de 3 dígitos podemos escrever? São pares os números terminados por 2 e 4, portanto o dígito das unidades só pode ser 2 ou 4. Fixando em primeiro lugar o dígito 2 na casa das unidades, as duas primeiras casas podem ser ocupadas por quaisquer dos arranjos com os dígitos restantes, isto é, A 4,2 =4.3=12 e o mesmo ocorre para o dígito 4 na casa das unidades. Portanto, 2 A 4,2 =24 4. Fatorial A fim de simplificar os cálculos definimos fatorial de n, sendo n número natural. Chama-se fatorial de n e se indica por n! o número natural definido por n! n( n1)( n 2) para n 2. 1!= 1 0!= 1 Exemplo 8: Calcular os fatorias indicados. 3!=3.2.1=6 4!= =24 6!= = Fórmula dos Arranjos usando fatorial Exemplo 9: ! Escrever A 7,3 na forma de fatorial. A5, ! A Generalizando:, np n! ( n p)! 51

4 Exemplo 10: Escrever em termos de fatorial. 5! 5! 5.4.3! (5 2)! 3! 3! 5! 5! A 1 (5 0)! 5! a) A 5,2 = b) 5,0 6. Permutações Definimos permutações de n elementos por: Pn An, n n! n.( n1)( n 2) Exemplo 11: Calcular P 5. P5 A5,5 5! Exercícios de aplicação 7: 1. Um automóvel modelo 2016 é oferecido pelo fabricante em 5 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 1.0 e 1.8. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões Standart, Luxo e Super-Luxo. De quantas maneiras são as alternativas para o comprador? 2. Há 5 linhas de ônibus ligando a cidade Santo André a cidade São Bernardo e 4 linhas ligando a cidade São Bernardo a cidade São Caetano. Não há nenhuma linha de ônibus ligando a cidade Santo André à cidade São Caetano. Uma pessoa quer fazer uma viagem de ida e volta entre as cidades Santo André e São Caetano de modo que na volta não utilize nenhuma linha de ônibus utilizado na ida. De quantos modos diferentes pode essa pessoa fazer a viagem? 3. Das 9 pessoas presentes a uma reunião devem ser eleitos um presidente, um secretário e um tesoureiro. Quantas escolhas são possíveis? 52

5 4. Dados os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 8, formamos números com 5 algarismos distintos. a) Quantos não contêm o digito 4? b) Quantos não começam pelo número 4? 5. Com os algarismos 2, 3, 5, 6, 9, vamos formar números de algarismos distintos. Deste modo podemos formar quantos números a) de 3 algarismos? b) de 4 algarismos começados por 6? c) de 4 algarismos começados por 6 e terminados por 5? d) ímpares de 4 algarismos? e) de 5 algarismos em que o 6 e o 3 aparecem juntos, nessa ordem? 53

6 6. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, em que lugar estará o número ? 7. Numa corrida de automóveis, participaram 10 carros. Sabe-se que 3 deles pertencem à fábrica A e os outros à fábricas diferentes. Quantas disposições de chegada podem ter (todos terminam a prova), sabendo-se que um representante de A vence e os outros dois de A chegam a colocações seguidas? 8. Cada linha telefônica nova é formada por 8 dígitos, divididos em dois grupos: um formado pelos primeiros quatro algarismos que distingue os centros telefônicos e outro com 4 algarismos que distingue as linhas de um mesmo centro. Suponha que os algarismos de cada grupo são todos distintos. Quantas linhas telefônicas começando com o algarismo 2 poderiam ser lançadas? 9. Com 7 cores queremos pintar uma bandeira de 5 listas, cada listra com uma cor. De quantas formas isso pode ser feito? 54

7 10. Calcular n sabendo-se que n! 30 ( n 2)! 7. Combinações Em muitas situações interessará apenas retirar subconjuntos de um determinado conjunto e, determinar o número desses conjuntos. 1, 2, 3,..., n. Chamamos de combinações de n elementos tomados p a p, ao número de subconjuntos de A formados de p elementos. Notação: C Seja A um conjunto de n elementos, isto é, A a a a a Exemplo 12: A p, ou n n p Seja a, b, c, d São eles:,,,,,,,,,,,, quantos subconjuntos de 3 elementos podemos formar? 4 a b c a b d a c d b c d, então 7.1 Cálculo do número de combinações 3 4 No exemplo 12 encontramos o número de combinações de 4 elementos tomados 3 a 3, isto é, 4 C. Façamos para cada uma das combinações todas as permutações possíveis, assim: 4,3 3 4 abc abd acd bcd acb adb adc bdc bac bad cad cbd (6 3!) (6 3!) 6 3! (6 3!) bca bda cda cdb cab dab dac dcb cba dba dca dbc, dessa maneira, encontramos arranjos de 4 elementos tomados 3 a 3 ( A4, ! 24 ) e não combinações. Logo para obtermos as combinações devemos dividir por 6=3! assim: 55

8 segue: A C4,3 3 4 = 6 3! 3! C np, Anp, n! p! ( n p)! p! 4,3 A 3! 4,3 C4,3 e generalizando para n elementos tomados p a p, 7.2 Triângulo de Pascal Os números binomiais podem ser dispostos ordenadamente na forma de um triângulo, com seus resultados. Observe que a soma de dois números da linha de cima reproduz o elemento da linha de baixo Exemplo 13: A prova de geografia consta de 10 questões e a professora pede que os alunos escolham 6 questões. Quantos são os modelos de provas? Notemos que a ordem em que o aluno escolher as 6 questões não importa, portanto tem-se combinações de 10 questões 6 a 6, isto é 10 10! ! (10 6)!6! 4!6!

9 Exemplo 14: Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos. Quantos triângulos podem formar com vértice nos pontos marcados? Notemos que um triângulo fica determinado, escolhendo-se três pontos não importando a ordem. 7 7! Portanto trata-se de um problema de combinações, isto é C7, (7 3)!3! Exercícios de aplicação 8: 1. Considerando-se: 5 vereadores, 3 deputados e 2 senadores, quantas comissões de 4 elementos podemos formar de modo que em cada comissão tenha a) 3 vereadores? b) 2 vereadores,1deputado e um senador? c) algum vereador? d) no máximo 1 deputado? e) no mínimo 1 deputado? f) 3 vereadores ou 2 deputados? g) 1 senador ou 3 vereadores? 2. Qual o número de subconjuntos com 2 ou 4 ou 5 elementos que tem um conjunto de 7 elementos. 57

10 3. Considerando-se 12 pontos distintos no espaço, dos quais 4 são coplanares, quantos planos são definidos pelos 12 pontos? 4. Uma urna tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 3 vermelhas. De quantas maneiras podemos extrair 5 bolas, sem reposição, sucessivamente, de modo que sejam a) 3 brancas? b) nenhuma preta? c) pelo menos 2 brancas? d) no máximo 3 pretas? e) 2 vermelhas ou 3 pretas? f) 3 brancas ou 3 pretas? 5. Uma pessoa tem 11 amigos. De quantas maneiras ela pode convidar 5 deles para jantar, se: a) Felipe e Carol são casados e não comparecerão separadas? 58

11 b) 2 deles não se falam e, portanto, não comparecerão juntos? 6. Considerando um baralho de 52 cartas, quantos jogos de 4 cartas podemos formar de modo que em cada jogo tenha a) exatamente 3 cartas de ouro? b) no máximo um valete? 59