Curso: Ciência da Computação Turma: 4ª Série. Probabilidade e Estatística. Aula 2

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1 Curso: Ciência da Computação Turma: 4ª Série Aula 2 Análise Combinatória: Arranjo, Permutação, Combinação Simples e com Repetição

2 Motivação Quantas ordenações são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas? Qual é a chance de um brasileiro ou uma brasileira ganhar na sena? Qual é a chance desse projeto não ter sucesso? Quantos defeitos vamos encontrar no celular que estamos começando a desenvolver? 2

3 Motivação Quantas ordenações são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas? O número é igual a 52! (cinquenta e dois fatorial) Qual é a chance de um brasileiro ou uma brasileira ganhar na sena? 60!/6! *54! 3

4 Introdução à Análise Combinatória É o ramo da matemática que estuda coleções finitas de objetos que satisfaçam certos critérios específicos, e se preocupa, em particular, com a contagem de objetos nessas coleções. É um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. 4

5 Análise Combinatória Na maior parte das vezes tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa de agrupamento, p<=m. Arranjos, Permutações ou Combinações são 3 tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. 5

6 Arranjos São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição. 6

7 Arranjo Simples Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos Fórmula: A s (m,p)=m!/(m-p)! Ex: A s (4,2) = 4!/2! = 24/2 = 12 Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: A s = {AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC} 7

8 Número de Arranjos Simples Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomado p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C. c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m-2, c m-1, c m Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha. Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m-2, c m-1, c m 8

9 Número de Arranjos Simples Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)- ésimo. c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m-2, c m-1, c m Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como: c 1, c 2, c 3, c 4, c 5,..., c m-2, c m-1, c m Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha. 9

10 Número de Arranjos Simples Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela seguinte. Retirada Número de Possibilidades 1 m 2 m-1 3 m p Núm. De arranjos m-p+1 m(m-1)(m-2)...(m-p+1) Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) 10

11 Número de Arranjos Simples E como da fórmula abaixo: A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) Chegamos em A(m,p)=m!/(m-p)!? Vamos analisar a fórmula A(m,p) = m!/(m-p)! que é igual a (m-1)(m-2)(m-3)...(m-p+1)(m-p)!/(m-p)! Cortando o (m-p)! de cima e de baixo chegamos a A(m,p) = (m-1)(m-2)...(m-p+1) CQD 11

12 Exemplos de Arranjo Simples Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? Conjunto da solução é: {AE, AI, AO, AU, EA, EI, EO, EU, IA, IE, IO, IU, OA, OE, OI, OU, UA, UE, UI, UO} A solução numérica é A(5,2)=5.4=20. Consideremos as 5 vogais do nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)? Construa uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades. O conjunto solução é: {AA, AE,AI,AO,AU, EA, EE, EI, EO, EU, IA, IE, II, IO, IU, OA, OE, OI, OO, OU, UA. UE, UI, UO, UU} 12

13 Exemplos de Arranjo Simples Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? XYZ-1234 Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto. 13

14 Exemplos Arranjos Simples 1. Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 3. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados? 14

15 Arranjo com Repetição Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. Fórmula: A r (m,p)=m p. Ex: A r (4,2)=4 2 =16. Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto: A r ={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD} 15

16 Número de Arranjos com Repetição Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por m p. Indicamos isto por: A rep (m,p) = m p 16

17 Exemplos Arranjos com Repetição 1.Quantos números com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. 2.No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 2 algarismos (repetidos ou não)? 3.Num sistema de numeração com a base tendo b algarismos, quantos números existem com n algarismos (repetidos ou não)? 4.No sistema decimal de numeração, existem quantos números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)? 5.Quantos números de 3 dígitos podem ser formados com 5 algarismos? 17

18 Arranjo Condicional Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos. Fórmula: N=A(m 1,p 1 ).A(m-m 1,p-p 1 ) Ex: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6x12=72. Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {D,E,F,G}? Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido m 1 =3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p 1 =2. Com as letras A,B,C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto: P ABC ={AB,BA,AC,CA,BC,CB} Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto: P DEFG ={DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF} Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto P ABC com um elemento do conjunto P DEFG. Um típico arranjo para esta situação CAFG. 18

19 Exemplos: Arranjos Condicionais 1.Quantos arranjos dos elementos A,B,C,D,E,F,G tomados 4 a 4, começam com duas letras dentre A,B e C? Auxílio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1) m=7, p=4, m1=3, p1=2 2.Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados 6 a 6, quantos números podem ser formados tendo nas duas posições iniciais algarismos que são números ímpares? 3.Dentre os arranjos de 5 letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a 3, quantos contêm a letra E? 4.Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C e D, tomados 3 a 3, quantos começam pelas letras A e B? 19

20 Regras Gerais sobre a Análise Combinatória Problemas de análise combinatória normalmente são complexos mas podem ser resolvidos através de duas regras básicas: A regra da soma e a Regra do produto. Regra da Soma: Ela nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro. Regra do Produto: Ela nos diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas. 20

21 Regras Gerais sobre a Análise Combinatória Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise esteja em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r 1, r 2, r 3,..., r m e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s 1, s 2, s 3,..., s n. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil verificar isto ligando r 1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r 2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n em s, teremos m.n segmentos possíveis. 21

22 Exercícios 1. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos? Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados? 2. Consideremos um baralho contendo 52 cartas distintas. a) Quantos pares distintos podem ser formados? b) Quantas trincas distintas podem ser formados? c) Quantas quadras distintas podem ser formados? d) Quantos pares distintos podem ser formados tendo pelo menos um "Ás"? e) Quantos pares distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás" e um "Rei"? f) Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás"? g) Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás" e um "Rei"? 3. Quantas placas são possíveis em nosso sistema de trânsito, se em todas devem aparecer 3 letras seguidas por 4 números? 4. Quantos números menores do que , podem ser formados com os algarismos 1,2,3 e 4?.. 22

23 Exercícios 1. Quantos arranjos dos elementos A,B,C,D,E,F,G tomados 4 a 4, começam com duas letras dentre A,B e C? 2. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C e D, tomados 3 a 3, quantos contêm juntos as letras A e B? 3. Mostre de maneira genérica porque a fórmula de arranjo com repetição: A(m,p) = m p. 23