Prof. Janete Pereira Amador 1. 1 Introdução

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1 Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da causa e efeito. Quando o efeito esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a uma falha na experiência ou a uma falha na identificação da causa. Não poderia haver quebra da cadeia lógica. Segundo Laplace (Pierre Simon) uma vez conhecidas a vizinhança, a velocidade e a direção de cada átomo no universo, poder-se-ia, a partir daí, predizer com certeza, o futuro até a eternidade. Sabe-se hoje, através do princípio da incerteza, que não é bem assim. Que não existem meios que permitam determinar os movimentos dos elétrons individuais se conhecido a sua velocidade, conforme o estabelecido em 1927, pelo físico alemão W. Heinsenberg. Nesse sentido, o trabalho estatístico se desenvolve fazendo observação de determinados fenômenos e empregando dados numéricos relacionados aos mesmos, para tirar conclusões que permitam conhecê-los e explicá-los. Conforme J. Neymann, toda a vez que se emprega Matemática com a finalidade de estudar algum fenômeno deve-se começar por construir um modelo matemático. No campo da estatística, os modelos matemáticos utilizados são denominados, modelos não determinísticos (aleatórios) ou probabilísticos, ou seja, que avaliam com que probabilidade os resultados podem ocorrer. Os fenômenos para os quais modelos probabilísticos são adequados são denominados de experimentos aleatórios. Modelo não-determinístico ou probabilístico é um modelo em que de antemão não é possível explicitar ou definir um resultado particular. Este modelo é especificado através de uma distribuição de probabilidade. Normalmente existem diversas possibilidades de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada probabilidade.

2 Prof. Janete Pereira Amador 2 Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que operação ou procedimento deva ser realizado, mas também o que é que deverá ser observado. Note-se a diferença entre E2 e E3. E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas. Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, por exemplo se pegarmos um determinado sólido, sabemos que a uma determinada temperatura haverá passagem para o estado líquido. 2 Noções de Experimento, Espaço Amostral e Eventos Ao lidar com problemas de probabilidade, torna-se necessário a compreensão de determinado termos. Desta forma a seguir serão dado alguns conceitos importantes. 2.1 Experimento aleatório [E] É uma das realizações do fenômeno sob observação. Se o fenômeno seguir um modelo não determinístico, tem-se um experimento aleatório, com as seguintes características: O experimento pode ser repetido; Embora não seja possível afirmar que resultado em particular ocorrerá, é possível descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento; A medida que aumenta o número de repetições aparece uma certa regularidade nos resultados que torna possível a construção de um modelo matemático. 2.2 Espaço amostral [S] É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Ex: Determinar o espaço amostral dos seguintes experimentos. E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. S 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E3: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos necessários.

3 Prof. Janete Pereira Amador 3 S 3 = { 1, 2, 3, 4, 5,... } E2: Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. S 2 = { t / t 0 } Ao descrever um espaço amostral de um experimento, deve-se ficar atento para o que se está observando ou mensurando. Deve-se falar em um espaço amostral associado a um experimento e não de o espaço amostral. Deve-se observar ainda que nem sempre os elementos de um espaço amostral são números. Classificação de um espaço amostral: Um espaço amostral, conforme a sua forma e tamanho pode ser classificado em: 1. Finito. Corresponde ao espaço: S 1 2. Infinitos. a) Enumeráveis (ou contáveis): S 2 b) Não-enumeráveis (ou não contáveis): S Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento. Como os conjuntos os eventos são denotados por A, B, C... Álgebra de eventos: Pode-se realizar operações entre eventos da mesma forma que elas são realizadas entre conjuntos. Antes de definir as operações é conveniente conceituar o que se entende por ocorrência de um evento. Seja E um experimento com um espaço amostral associado S. Seja A um evento de S. É dito que o evento A ocorre se realizada a experiência, isto é, se evento: executado E, o resultado for um elemento de A. Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral S. Diz-se que ocorre o 1. A união B, anotada por A B, se A ou B ocorre ou ambos ocorrerem.

4 Prof. Janete Pereira Amador 4 2. A interseção B, anotado por A B ou AB, se e somente se A ocorre e B ocorre 3. O complementar de A se e somente se A não ocorre. Eventos mutuamente excludentes: dois eventos A e B são denominados mutuamente excludentes ou exclusivos se eles não puderem ocorrer juntos, isto é, A B = ; Exercícios 1. Observe o diagrama a seguir e responda a) Determine o evento D = { x S x 10} b) Determine o evento E = { x C x 2} c) Determine o evento F = { x C x 19}

5 Prof. Janete Pereira Amador 5 2. Conforme o diagrama responda a) A B b) A B c) A 3. Descreva o espaço amostral para o lançamento de um par de dados e responda a) O evento em que a soma dos pontos obtidos é igual a 5. b) O evento em que a soma dos pontos obtidos menor do que 5. c) O evento em que a soma dos pontos obtidos é menor ou igual a três. 4. Experimento: Lance um dado e observe o número que aparece em cima. Então o espaço amostral é constituído de 6 números possíveis: S = 1 ;2;3;4;5; 6. Sendo A o evento em que um número par ocorre, B aquele em que um número ímpar ocorre e C em que um número primo ocorre: Então: A C = B C = C = A = A B = 3 Conceitos de Probabilidade Existem três formas de se definir probabilidade. A definição clássica, a definição empírica ou freqüencial e a definição axiomática.

6 Prof. Janete Pereira Amador Definição clássica ou probabilidade a priori É valida para espaços amostrais finitos e equiprováveis. Espaços amostrais equiprovávies: probabilidade que ocorra um evento é igual ao quociente de um número favorável de casos sobre o número total de casos possíveis do experimento, desde que as chances de ocorrência de cada elemento do espaço amostral sejam iguais. Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado formado por n resultados igualmente prováveis. Seja A S um evento com m elementos. A probabilidade de A, anotada por A), lê-se probabilidade de A, é definida como sendo: A) = m / n. Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número m de casos favoráveis e o número n de casos possíveis. Ex: Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se: a) Um resultado igual a 4. b) Um resultado ímpar. Solução: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a) A = {4} m = (A) =1 então P (A) = m/n = 1/6 = 16,67 b) B = { 1, 3, 5 } m = (B) = 3 então B) = m/n = 3 / 6 = 50% Crítica à definição clássica A definição clássica é dúbia, já que a idéia de igualmente provável é a mesma de com probabilidade igual, isto é, a definição é circular, porque está definindo essencialmente a probabilidade com seus próprios termos. A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito. 3.2 Definição freqüêncial ou probabilidade a posteriori Na prática acontece que nem sempre é possível determinar a probabilidade de um evento. Neste caso é necessário ter um método de aproximação desta probabilidade. Um dos métodos utilizados é a experimentação que objetiva estimar o valor da probabilidade de um evento A com base em valores reais. A probabilidade avaliada através deste processo é denominada de probabilidade empírica.

7 Prof. Janete Pereira Amador 7 Repetindo-se um experimento E um grande número de vezes e calculando-se a freqüência relativa do evento A, obtém-se um número p que pode ser tomado como a probabilidade da ocorrência de A, que nesse caso, poderia ser tomada como: f ( A) A) p lim A) n n números de ocorrência de A número de repetições do experimento Ex: Um dado foi lançado 100 vezes e a face 6 apareceu 18 vezes. Então a freqüência relativa do evento A = { face 6 } é: Solução: números de ocorrência de A A) número de repetições do experimento A) 18% Ao se calcular probabilidades pelo método da freqüência relativa, obtém-se uma aproximação em lugar de um valor exato. A medida que o número de observações aumenta, as aproximações tendem a ficar cada vez mais próximas da probabilidade efetiva. Essa propriedade é enunciada como um teorema comumente conhecido como a Lei dos Grandes Números Lei dos Grandes Números Ao se repetir um experimento um grande número de vezes, a probabilidade pela freqüência relativa tende para a probabilidade teórica Crítica à definição freqüencial: Esta definição, embora útil na prática, apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode não existir. Em virtude dos problemas apresentados pela definição clássica e pela definição freqüencial,foi desenvolvida uma teoria moderna, na qual a probabilidade é um conceito indefinido, como o ponto e a reta o são na geometria. 3.3 Definição axiomática Seja E um experimento e S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associa-se um número real representado por A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça aos seguintes axiomas: A 1 ) 0 E) 1 as probabilidade são números reais positivos ou zero. A 2 ) S) = 1 o espaço amostral tem probabilidade 1

8 Prof. Janete Pereira Amador 8 A 3 ) P (A B) = A) + B); se A e B forem eventos mutuamente excludentes (A B = ), a probabilidade de chance de ocorrência de um ou de outro é igual a soma das respectivas probabilidades. n U i 1 Ei ) = E 1 ) + E 2 ) E n ); Teoremas fundamentais: (como conseqüências dos axiomas) Teorema 1: se for um evento (conjunto) vazio, então: Ø) = O; Teorema 2: se A for um evento complementar de A, então : A ) = 1 A) Teorema 3: se A B, então: A) P (B). Teorema4: se A e B forem eventos quaisquer de S, então: A B) = A) + B) - A B); Exercícios 1) O seguinte grupo de pessoas está numa sala de aula : 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18. Calcular a probabilidade dos seguintes eventos: A: a pessoa ter mais de 21 anos B: a pessoa ter menos de 21 anos C: a pessoa é um rapaz D: a pessoa é uma moça E: A pessoa ter menos de 21 anos ou ser uma moça 2) Numa gaveta, estão 15 botões numerados de 1 a 15. Retirando-se um botão ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja múltiplo de 2 ou de 3. 3) Um grupo de 60 pessoas esta assim constituído: Loiras Morenas Olhos verdes Olhos Castanhos Se retirarmos uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seja: a) loira de olhos verdes ou morena de olhos castanhos b) morena ou tenha olhos verdes.

9 Prof. Janete Pereira Amador 9 4) Uma caixa contém 10 tampinhas de coca-cola, 12 de fanta, 15 de guaraná e 8 de pepsicola. Se retirarmos uma tampinha ao acaso, qual a probabilidade de que seja de fanta ou de guaraná? 5) Um conjunto de 80 pessoas tem as características abaixo: Brasileiros Argentinos Uruguaios Homens Mulheres Se retiramos uma pessoas ao acaso qual a probabilidade de que ela seja a) de nacionalidade brasileira ou uruguaia b) de sexo masculino ou tenha nascido na Argentina c) 4 Eventos Dependentes 4.1 Probabilidade condicional Seja E: lançar um dado e o evento A={sair o número 3}. Então A)=1/6 Consideremos agora o evento B ={sair número ímpar}={1,2,3} No cálculo das probabilidades é de grande importância determinar as probabilidades condicionadas. No exemplo poderíamos estar interessados em avaliar a probabilidade do evento A condicionado a ocorrência do evento B. Em símbolos, designamos por A/B); lê-se a probabilidade do evento A condicionada a ocorrência do evento B, ou ainda, probabilidade de A dado B. Assim: A/B)=1/3 Dado a informação de ocorrência de um evento, teremos a redução do espaço amostral; no exemplo S{1,2,3,4,5,6} foi reduzido para S * ={1,3,5} e é neste espaço amostral que avaliaremos a probabilidade do evento. Definição: Dados dois, eventos, A e B, denotaremos A/B) a probabilidade condicionada ao evento A, quando B tiver ocorrido A B) A/ B), com B) 0, pois B já ocorreu B)

10 Prof. Janete Pereira Amador 10 Dessa maneira, para avaliarmos a probabilidade de A, dado B bastar contar o número de casos favoráveis ao evento A B e dividir esse número pela quantidade de casos favoráveis ao evento B. Ex: No curso de matemática, 12% dos alunos foram reprovados em estatística, 10% foram reprovados em cálculo e 8% foram reprovados em cálculo e estatística ao mesmo tempo. Um estudante do curso é selecionado ao acaso. Se ele foi reprovado em cálculo, qual a probabilidade de que tenha sido reprovado em estatística? Solução: S = {curso de matemática) Eventos: A = (12% reprovado estatística), B= (10% reprovado cálculo), C = (A B) =8% 0,08 A/B) = A B) / A) = 0,666 67% é a probabilidade de que o estudante 0,12 tenha sido reprovado em estatística 4.2 Teorema do Produto A partir da definição de probabilidade condicional, poderemos enunciar o teorema do produto. A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro dado o primeiro. Assim: A B) A). A/ B) Em um lote de 12 caixas medicamentos, 4 vieram erradas, duas caixas são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas vieram certas?. Solução: A=(A primeira é boa) B= (A segunda e boa) então: 8 7 ( A B) A). A / B) Independência Estatística Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B, isto é, se A) A / B) então A B) A). B)

11 Prof. Janete Pereira Amador 11 A partir do exemplo anterior calcular a probabilidade de que ambas vieram certas considerando a retirada das caixas com reposição. Solução: A=(A primeira é boa) B= (A segunda e boa) Notem A e B são independentes, pois B)=A/B) 8 8 ( A B) A). A) Exercícios 1) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Três peças são retiradas aleatoriamente uma após a outra sem reposição. Encontre a probabilidade em que essas três peças não são defeituosas. 2) São dadas três caixas como segue: A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. A caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa. A caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas. Seleciona-se uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada também aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a lâmpada seja defeituosa. 3)Uma caixa contem 22 cartões numerados de 1 a 22. Um cartão é escolhido ao acaso. Se o número é múltiplo de 3, qual a probabilidade de que seja também múltiplo de )Uma moeda é viciada de tal modo que P ( C) e P ( R). Se caras aparecem, então 3 3 um número é selecionado dentre os números de 1 a 9; se coroas aparecem, então um número é selecionado dentre os números de 1 até 5. Encontre a probabilidade em que um número para é selecionado. 5) De um baralho comum de 52 cartas retirou-se uma carta, verificando-se que é vermelha. Qual probabilidade de essa carta ser uma figura. 6)A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 5 2 ; a de sua mulher é de 3 2, Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos. a) ambos estejam vivos b) somente o homem esteja vivo; c) somente a mulher esteja viva ; e) pelo menos um esteja vivo 7) Retiram-se com reposição duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de que ambas sejam de paus?