Coordenadoria de Matemática. Apostila de Probabilidade

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Coordenadoria de Matemática. Apostila de Probabilidade"

Transcrição

1 Coordenadoria de Matemática Apostila de Probabilidade Vitória ES

2 1. INTRODUÇÃO CAPÍTULO 03 Quando investigamos algum fenômeno, verificamos a necessidade de descrevê-lo por um modelo matemático que permite explicar, da melhor forma possível, este fenômeno. Os fenômenos são classificados em dois tipos: Fenômenos determinísticos e Fenômenos aleatórios Fenômenos determinísticos: São aqueles que repetidos nas mesmas condições iniciais conduzem sempre a um mesmo resultado. Exemplo: Deixar uma massa M cair em queda livre de uma altura de 1 metro sobre uma superfície e anotar tempo t de queda livre Fenômenos aleatórios: São aqueles que repetidos sob as mesmas condições iniciais podem conduzir a mais que um resultado. Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, o tempo de vida útil de uma lâmpada, número de clientes que vão a um banco em um determinado dia, etc. O objetivo do estudo da teoria das probabilidades são fenômenos aleatórios, e vamos nos restringir nosso estudo a uma classe de fenômenos aleatórios chamados experimentos. 2. TEORIA DAS PROBABILIDADES Como o objetivo do nosso estudo são os experimentos e eles admitem mais do que um resultado, faz sentido definir o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento Espaço amostral :É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento, e será denotado por S. Exemplos : Considere os experimentos a) Lançar uma moeda e anotar a face superior. S {ca, co} b) Lançar um dado e anotar o número de pontos da face superior. S { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 2

3 c) Instalar uma lâmpada em um soquete e anotar o tempo que a lâmpada leva para queimar. S { t R 0 t n}, n é o tempo que a lâmpada queima Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento. Exemplos: a) No lançamento de um dado o evento A representa o conjunto cujo número da face superior é par. A { 2, 4, 6} b) No lançamento de uma moeda e um dado o evento B representa o conjunto cujo número da face superior do dado é maior que 4. B {(ca, 5); (ca, 6); (co, 5); (co, 6)} A seguir, apresentamos um modelo matemático adequado à representação da relação entre o espaço amostral e o evento A S 3. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Existem três formas de se definir a probabilidade, a escolha da forma depende da natureza da situação Probabilidade Clássica Aplicam-se a situações em que os resultados que compõe o espaço amostral ocorrem com a mesma probabilidade. Nesta situação a probabilidade de um determinado evento é definida coma sendo a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. 3

4 P ( n( n( S) Desta definição podemos observar que: a) 0 P ( 1; b) P ( S) 1; c) Se A φ, então P ( 0 d) P ( + 1, sendo A a representação do conjunto Não A Exemplo : No lançamento de um dado e observar a face superior deste dado, determine a probabilidade de ocorrer um número par. S {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A {2, 4, 6} então n(s) 6 e n( 3 3/6 1/ Probabilidade pela freqüência relativa Deve ser aplicada quando um experimento é observado e a freqüência com que determinado evento ocorre nesta observação, esta probabilidade é sempre estabelecida por uma criteriosa pesquisa onde as freqüências são estabelecidas. Exemplo Observa-se que dos 1000 clientes que vão a um supermercado e compram um produto, 500 deles compram o produto da marca A. Podemos estabelecer então que a probabilidade de um consumidor que compra o produto, comprar o produto da marca A e: 500/1000 1/ Probabilidade subjetiva Em situações em que o experimento se repete com uma certa regularidade mas não há possibilidade de repeti-lo sucessivamente um número razoável de vezes e nem aplicar a forma clássica, então se faz uma avaliação subjetiva da probabilidade. Exemplo: A probabilidade de uma pessoa engordar ao comer pizza regularmente durante um ano sem uma queima de calorias adequadas é de 0,8 ou 80%. Esta probabilidade é totalmente subjetiva e foi estabelecida sem nenhum critério cientifico. 4

5 4. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS A AIB B S AU AU N ( AU N ( S ) N ( + N ( N ( AI N ( S ) AU + AI Quando AI B φ, AI 0, então: P ( AU + Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? Seja A: saída de um rei B: saída de uma carta de espadas A { R, R, R, R } o e c B { A,2,, R } e e L AI 1 52 e p logo: AU + AI 4 13 AU AU PROBABILIDADE CONDICIONADA Vamos analisar a diferença entre extrair uma peça de um lote, ao acaso, com ou sem reposição. Suponha a seguinte situação: um lote de peças tem 80 peças defeituosas e 20 defeituosas. Suponha que escolhemos duas peças desse lote: 5

6 a) com reposição; b) sem reposição. A {a primeira peça é defeituosa}; B {a segunda peça é defeituosa}. Se estivermos extraindo com reposição, 20/100 1/5, porque cada vez que extrairmos do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. No entanto, se estivermos extraindo sem reposição, os resultados não serão tão imediatos. É ainda verdade, naturalmente, que 1/5, mas para calcularmos devemos conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, deveremos saber se A ocorreu ou não. Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte importante conceito. Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. Denotaremos por B a probabilidade condicionada do evento B quando A tiver ocorrido. No exemplo acima B 19/99, porque se A tiver ocorrido, então para a Segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. Nota: Sempre que calcularmos B, estaremos essencialmente calculando em relação ao espaço amostral reduzido A, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral original S. B A A parte de B que esta contida em A é representada por AI B. Concluímos que: N( AI N( AI N( S) AI B / ; 0 N( N( N( S) AI B / 6

7 Exemplo: considere 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte Total H M Total Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher? Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de e representamos P ( Q / M ) Observamos, porém, que problema basta considerar que: 80 M I Q) Q / M ) 250 M ) MI Q) e Teorema Da Multiplicação P ( M ) Para obtermos o resultado do Uma conseqüência importante da definição acima é a seguinte: A B / P ( A. B / A P ( A / A. A / Em particular quando os eventos A e B são independentes, P ( A / ou P ( B / temos: P ( AI. 7

8 5.2. Teorema da Probabilidade Total Dizemos que os eventos B 1, B 2,...,B k representam uma partição do espaço amostral S, quando a) B B φ para j i i 1 j i. b) U k B i S. (união de todos os B i ) c) B i ) > O para todo i. Vamos ilustrar a situação para um K 5. A B B 3 1 B 2 B 4 B 5 Considerando A um evento qualquer de S e B 1, B 2, B 3, B 4 e B 5 uma partição de S temos: A ( A B1 ) ( A B2) ( A B3) ( A B4) ( A B5) como A B )...( A ) são dois a dois mutuamente excludentes temos: ( 1 B5 A B1 ) + A B2 ) + A B3) + A B4 ) + A B5 ) Generalizando temos: A B1 ) + A B2 ) A Bk ) Este resultado é conhecido como teorema da probabilidade total. Ele é utilizado quando é difícil de ser calculada diretamente, porém simples se for usada a relação acima. Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amaralas. Uma Segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade: 8

9 a) da bola escolhida ser da da urna I e branca? b) da bola escolhida ser branca? c) Se a bola escolhida foi branca, qual a probabilidade que tenha sida escolhida uma bola da urna I Para resolver este problema vamos usar um modelo matemático conhecido como diagrma de árvore, que auxilia a resolução dos problemas de probabilidade quando é possível fragumentar um experimento em outros experimentos sucessivos.. I)1/2 II)1/2 B B/I)3/5 I A/I)2/5 A B/II)4/6 B 3B 2A I 4B 2A II II B/II)2/6 A a) b) c) 1 3 II I ) B / I) II + III II I /

10 6. EXERCÍCIOS 1) Lance um dado e uma moeda 2) Se 3) Se a) Construa o espaço amostral b) Enumere os seguintes eventos A { coroa, marcada por um número par} B { cara, marcado por um número impar} C { múltiplo de 3 } c) Expresse os eventos I) B II) III) IV) A ou B ocorrem B e C ocorrem A B 1 1 p ( ; e A e B são mutuamente exclusivos, calcular: 2 4 a) P ( b) P ( c) A d) A e) A 1 1 P ( ; e A 2 3 a) A b) A c) A 4) Determine a probabilidade de cada evento: 1 4, calcule: a) Um número para aparecer no lançamento de um dado não viciado. b) Um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho. c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas. d) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de n moedas. e) Duas copas aparecem ao retira-se duas cartas de um baralho. f) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de um baralho. 5) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3,..., 50. Qual a probabilidade de que: a) O número seja divisível por 5. b) Terminar em 3. c) Ser primeiro; d) Ser divisível por 6 ou por 8. 6) Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma carta de 10

11 um baralho. 7) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de: a) A soma ser menor que 4. b) A soma ser 9. c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo. 8) Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de a + b 10? 9) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcular a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves; b) ela não tenha defeitos; c) ela seja boa ou tenha defeitos graves. 10) Considere os mesmos lotes do problema anterior. Retiram-se duas peças são acaso. Qual a probabilidade de que : a) ambas sejam perfeitas; b) pelo menos uma seja perfeita; c) nenhuma tenha defeito grave; d) nenhuma seja perfeita. 11) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de : a) Todas pretas; b) Exatamente uma branca; c) Ao menos uma preta. 12) numa classe existem 5 alunos do 4º anos, 4 do 2º e 3 do 3º ano. Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º e 2 do 3º? 13) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Economia, 150 estudam Ciências Contábeis e 10 estudam Economia e Ciências Contábeis. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) Ele estude somente Economia? b) Ele não estude Economia, nem Ciências Contábeis? c) Ele estude Economia ou Ciências Contábeis? 11

12 d) Ele não estude Economia ou estude Ciências Contábeis? 14) Dado 1 1 P ( ; e A , calcular: a) P ( A / b) P ( B / c) A B / 15) Façam A e B serem dois eventos com 1 1 P ( ; e A Encontre P ( A / e B /. 16) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de: a) todos acertarem; b) apenas um acertar c) todos errarem. 2, e ) Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas, e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor? 18) Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,5. Qual á a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50? 19) Uma urna contém 1 bolas pretas e 5 vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola retirada é resposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual a probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E neta ordem 1 preta, 1 vermelha, 1 preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola é preta, qual a probabilidade de que a Segunda seja preta? ) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é e de seu marido é. 4 5 Calcular a probabilidade de: a) apenas o homem estar vivo; b) somente a mulher estar viva; c) pelo menos um estar vivo; d) ambos estarem vivos. 21) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de outra cor são colocadas na urna. Uma Segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que: 12

13 a) a Segunda bola seja vermelha; b) ambas as bolas sejam da mesma cor. c) Se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha; d) Se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas. 22) Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos menor que 6? 23) Um casal pretende Ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, qual a probabilidade de que venha Ter dois filhos de sexos diferentes? 24) Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm olhos negros, 3 têm olhos cinzas, 2 têm olhos verdes e um tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso: a) não Ter olhos castanhos? b) Ter olhos verdes ou azuis? 25) Numa certa população 15% das pessoas têm sangue tipo A, 88% não têm sangue tipo B e 96% não têm sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta população, determine as probabilidades de: a) não ater sangue do tipo A; b) Ter sangue tipo B; c) Ter sangue tipo AB; d) Ter sangue tipo A ou B ou AB; e) Ter sangue tipo O 26) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número impar. Determine a probabilidade de que esse número seja menor que 5. 27) De uma urna contendo quatro bolas verdes e duas amarelas serão extraídas sucessivamente, sem reposição, duas bolas. a) Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a Segunda ser também amarela? b) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem amarelas? c) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem verdes? 13

14 d) Qual a probabilidade de a primeira bola sorteada ser verde e a Segunda amarela? e) Qual a probabilidade de ser uma bola de cada cor? 28) Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola, também ao acaso. a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I? 29) O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias, no mês de outubro. Qual a probabilidade de chover nos dias 1º e 2 de outubro? 30) Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias; X, Y e Z. 50% dos que procuram a clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura, nesta clínica, são: Moléstia X : 0,8 Moléstia Y : 0,9 Moléstia Z: 0,95 Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de que ele tenha sofrido a moléstia Y? 31) Um lote contém 50 peças boas ( e 10 peças defeituosas (D). Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? 32) Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fábrica B, existem 24 peças boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fábrica C, existem 38 peças boas e 2 defeituosas. Um dos três lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade da peça ser: a) boa? defeituosa? 33) As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são 1/3 e 3/5. Qual a probabilidade de que: a) Ambos resolvam o problema? b) Ao menos um resolva o problema? 14

15 c) Nenhum resolva o problema? d) A resolva o problema ma B não? e) B resolva o problema mas A não? 34) Numa urna há três bolas azuis, duas brancas e uma marrom. Extraindo-se 3 bolas sucessivamente, com reposição, qual a probabilidade de saírem três bolas da mesma cor? 35) Uma prova consta de 5 testes, cada um com quatro alternativas das quais apenas uma é correta. Para alguém que esteja respondendo aleatoriamente uma alternativa em cada teste, qual a probabilidade de a) acertar os 5 testes? b) errar os 5 testes? c) acertar apenas o primeiro teste? d) acertar apenas um dos testes? 36) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comparando-se 3 bilhetes, qual a probabilidade de: a) nenhum ser premiado? b) Apenas um ser premiado? 37) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela Azuis Castanhos Loira 17 9 Morena 4 14 Ruiva 3 3 a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidade dela ser 1) morena de olhos azuis 2) morena ou Ter olhos azuis? b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena? 15

16 7-RESPOSTAS 5) a. 1/5 b. 1/10 c. 3/10 d. 6/25 6) 4/3 7) a. 1/12 b. 1/9 c. 5/12 8) 4/45 9) a. 7/8 b.5/8 c.3/4 10) a. 3/8 b. 7/8 c. 91/120 d. 1/8 11) a. 4/33 b. 5/11 c. 31/33 12) 5/22 13) a. 7/50 b.14/25 c.11/25 d. 43/50 14) a.3/4 b. 1/2 c. 1 15) 5/8 e 5/6 16) a. 56/180 b. 38/180 c. 1/30 17) 35/108 18) 5/9 19) 25/ /1848 6/11 20) a. 3/20 b. 3/10 c. 18/20 d. 9/20 21) a. 35/72 b.13/36 c. 4/7 d. 3/13 22) 5/18 23) 1/2 24) a. 5/11 b. 3/22 25) a. 17/20 b. 3/25 c. 1/25 d. 31/100 e. 69/100 26) 1/3 27) a. 1/5 b. 1/15 c. 2/25 d. 4/15 e. 8/15 28) a. 3/14 b. 33/56 c. 4/11 29) 2/93 30) 0,42 31) 3/118 32) a. 53/60 b. 7/60 33) a. 1/5 b. 11/15 c.4/15 d. 2/15 d. 2/5 34) 1/6 35) a. 1/1024 b. 243/1024 c. 81/1024 d. 405/ ) a. 130/203 b. 65/203 16

17 37) a. 1. 2/25 a.2. 19/25 b. 7/13 8-BIBLIOGRAFIA TRIOLA, Mario F. Introdução a Estatística. 7 ed Rio de janeiro: LTC, STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Editora Harbra LTDA, CRESPO, Antônio Armont. Estatística fácil. São Paulo: Editora Saraiva, SILVA, Medeiros da Silva, SILVA, Elio Medeiros, GONÇALVES, Valter, MUROLO, Antônio Carlos. Estatística Para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 2 a ed, Vol 1 e 2. São Paulo: Editora Atlas S.A,

5) Qual a probabilidade de sair um ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

5) Qual a probabilidade de sair um ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE CURSO: MATEMÁTICA PROF. LUIZ CELONI 1) Dê um espaço amostral para cada experimento abaixo. a) Uma urna contém bolas vermelhas (V), bolas brancas (B) e bolas

Leia mais

TEORIA DAS PROBABILIDADES

TEORIA DAS PROBABILIDADES TEORIA DAS PROBABILIDADES 1.1 Introdução Ao estudarmos um fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever o próprio fenômeno e o modelo matemático associado ao mesmo, que permita explicá-lo da

Leia mais

1- INTRODUÇÃO 2. CONCEITOS BÁSICOS

1- INTRODUÇÃO 2. CONCEITOS BÁSICOS 1 1- INTRODUÇÃO O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conversação diária para sugerir um certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está ocorrendo

Leia mais

Universidade Estadual de Londrina Centro de Ciências Exatas Departamento de Estatística. Probabilidades

Universidade Estadual de Londrina Centro de Ciências Exatas Departamento de Estatística. Probabilidades Universidade Estadual de Londrina Centro de Ciências Exatas Departamento de Estatística Probabilidades Aluna(o): Aluna(o): Turma: Responsável: Prof. Silvano Cesar da Costa L O N D R I N A Estado do Paraná

Leia mais

Probabilidade. Evento (E) é o acontecimento que deve ser analisado.

Probabilidade. Evento (E) é o acontecimento que deve ser analisado. Probabilidade Definição: Probabilidade é uma razão(divisão) entre a quantidade de eventos e a quantidade de amostras. Amostra ou espaço amostral é o conjunto formado por todos os elementos que estão incluídos

Leia mais

CAPÍTULO 3 PROBABILIDADE

CAPÍTULO 3 PROBABILIDADE CAPÍTULO 3 PROBABILIDADE 1. Conceitos 1.1 Experimento determinístico Um experimento se diz determinístico quando repetido em mesmas condições conduz a resultados idênticos. Exemplo 1: De uma urna que contém

Leia mais

Se A =, o evento é impossível, por exemplo, obter 7 no lançamento de um dado.

Se A =, o evento é impossível, por exemplo, obter 7 no lançamento de um dado. PROBABILIDADE Espaço amostral Espaço amostral é o conjunto universo U de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O número de elementos desse conjunto é indicado por n(u). Exemplos: No

Leia mais

1 Definição Clássica de Probabilidade

1 Definição Clássica de Probabilidade Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 4 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula) 1 Definição Clássica

Leia mais

Noções sobre Probabilidade

Noções sobre Probabilidade Noções sobre Probabilidade Introdução Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e também como calcular medidas que descrevem características específicas destes dados. Mas além de

Leia mais

Prof.: Joni Fusinato

Prof.: Joni Fusinato Introdução a Teoria da Probabilidade Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso

Leia mais

3. Probabilidade P(A) =

3. Probabilidade P(A) = 7 3. Probabilidade Probabilidade é uma medida numérica da plausibilidade de que um evento ocorrerá. Assim, as probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza e podem ser expressas de

Leia mais

PROBABILIDADE PROPRIEDADES E AXIOMAS

PROBABILIDADE PROPRIEDADES E AXIOMAS PROBABILIDADE ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. A este conjunto de elementos denominamos de espaço amostral ou conjunto universo, simbolizado por

Leia mais

Disciplina de Estatística Prof. Msc Quintiliano Siqueira Schroden Nomelini LISTA DE PROBABILIDADES

Disciplina de Estatística Prof. Msc Quintiliano Siqueira Schroden Nomelini LISTA DE PROBABILIDADES Disciplina de Estatística Prof. Msc Quintiliano Siqueira Schroden Nomelini LISTA DE PROBABILIDADES 1) Determine a probabilidade de cada evento: a) Um nº par aparece no lançamento de um dado; b) Uma figura

Leia mais

T o e r o ia a da P oba ba i b lida d de

T o e r o ia a da P oba ba i b lida d de Teoria da Probabilidade Prof. Joni Fusinato Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso cotidiano. Usa o princípio básico do aprendizado humano que

Leia mais

3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE 3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação

Leia mais

PROBABILIDADE. Numero de Resultados Desejado Numero de Resultados Possiveis EXERCÍCIOS DE AULA

PROBABILIDADE. Numero de Resultados Desejado Numero de Resultados Possiveis EXERCÍCIOS DE AULA PROBABILIDADE São duas as questões pertinentes na resolução de um problema envolvendo probabilidades. Primeiro, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados possíveis, que será chamado de espaço

Leia mais

Probabilidade e Estatística Probabilidade Condicional

Probabilidade e Estatística Probabilidade Condicional Introdução Probabilidade e Estatística Probabilidade Condicional Em algumas situações, a probabilidade de ocorrência de um certo evento pode ser afetada se tivermos alguma informação sobre a ocorrência

Leia mais

RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES E FORMALIZAÇÃO DOS CONCEITOS

RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES E FORMALIZAÇÃO DOS CONCEITOS CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO Curso de Administração Disciplina: Estatística I Professora: Stefane L. Gaffuri RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES E FORMALIZAÇÃO DOS CONCEITOS Sessão 1 Experimentos Aleatórios e

Leia mais

Prof. Janete Pereira Amador 1. 1 Introdução

Prof. Janete Pereira Amador 1. 1 Introdução Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da causa e efeito. Quando o efeito esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a

Leia mais

MATEMÁTICA MÓDULO 4 PROBABILIDADE

MATEMÁTICA MÓDULO 4 PROBABILIDADE PROBABILIDADE Consideremos um experimento com resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, cada repetição desse experimento é impossível prever com certeza qual o resultado que será obtido,

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Campus de Lhanguene, Av. de Moçambique, km 1, Tel: +258 21401078, Fax: +258 21401082, Maputo Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades Capítulo 2 Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento

Leia mais

Prof. Luiz Alexandre Peternelli

Prof. Luiz Alexandre Peternelli Exercícios propostos 1. Numa prova há 7 questões do tipo verdadeiro-falso ( V ou F ). Calcule a probabilidade de acertarmos todas as 7 questões se: a) Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas. b) Escolhermos

Leia mais

Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS

Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se os mesmos não podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um

Leia mais

Prof.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017

Prof.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017 Bioestatística Prof.Letícia Garcia Polac Universidade Federal de Uberlândia UFU-MG 26 de setembro de 2017 Sumário 1 2 Probabilidade Condicional e Independência Introdução Neste capítulo serão abordados

Leia mais

CAIXA ECONOMICA FEDERAL. Prof. Sérgio Altenfelder

CAIXA ECONOMICA FEDERAL. Prof. Sérgio Altenfelder 14.) (ICMS-MG/05) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira

Leia mais

2 Conceitos Básicos de Probabilidade

2 Conceitos Básicos de Probabilidade CE003 1 1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas

Leia mais

Probabilidade e Estatística Preparação para P1

Probabilidade e Estatística Preparação para P1 robabilidade e Estatística reparação para rof.: Duarte ) Uma TV que valia R$ 00,00, entrou em promoção e sofreu uma redução de 0% em seu preço. Qual é o novo preço da TV? ) Um produto foi vendido por R$

Leia mais

Probabilidade. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva

Probabilidade. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Probabilidade Probabilidade Experimento Aleatório Um experimento é dito aleatório quando satisfaz

Leia mais

ESTATÍSTICA I LISTA DE EXERCÍCIOS 2 GABARITO

ESTATÍSTICA I LISTA DE EXERCÍCIOS 2 GABARITO ESTATÍSTICA I LISTA DE EXERCÍCIOS 2 GABARITO 1. (Magalhães e Lima, pg 40) Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos: (a) Uma moeda é lançada duas vezes

Leia mais

Roteiro D. Nome do aluno: Número: Revisão. Combinações;

Roteiro D. Nome do aluno: Número: Revisão. Combinações; Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Roteiro D Nome do aluno: Número: Periodo: Grupo: Revisão Tópicos Tarefa Pesquisar história do Fatorial e outros tipos

Leia mais

Estatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade

Estatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade Fundamentos de Probabilidade A probabilidade de chuva é de 90% A probabilidade de eu sair é de 5% Conceitos Básicos Conceitos Básicos 1. Experiência Aleatória (E) Processo de obtenção de uma observação

Leia mais

PROBABILIDADE. É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

PROBABILIDADE. É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade.

Leia mais

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 1 / 48 É provável que você

Leia mais

3. (Apostila 1 - ex.1.4) Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos

3. (Apostila 1 - ex.1.4) Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos Primeira Lista de Exercícios Introdução à probabilidade e à estatística Prof Patrícia Lusié Assunto: Probabilidade. 1. (Apostila 1 - ex.1.1) Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos

Leia mais

Teoria da Probabilidade

Teoria da Probabilidade Teoria da Probabilidade Luis Henrique Assumpção Lolis 14 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 1 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório 2 Espaço de amostras 3 Álgebra dos

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS 1 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES

LISTA DE EXERCÍCIOS 1 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES LISTA DE EXERCÍCIOS 1 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES 1- Ordene os dados indicando o 1º, 2º e 3º quartil 45, 56, 62, 67, 48, 51, 64, 71, 66, 52, 44, 58, 55, 61, 48, 50, 62, 51, 61, 55 2- Faça a análise da

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Revisando - Análise combinatória

Leia mais

Probabilidade Condicional (grupo 2)

Probabilidade Condicional (grupo 2) page 39 Capítulo 5 Probabilidade Condicional (grupo 2) Veremos a seguir exemplos de situações onde a probabilidade de um evento émodificadapelainformação de que um outro evento ocorreu, levando-nos a definir

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Revisando - Análise combinatória

Leia mais

PROBABILIDADE. Aula 2 Probabilidade Básica. Fernando Arbache

PROBABILIDADE. Aula 2 Probabilidade Básica. Fernando Arbache PROBABILIDADE Aula 2 Probabilidade Básica Fernando Arbache Probabilidade Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência

Leia mais

Os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios.

Os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios. PROBABILIDADE Prof. Aurimenes A teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.

Leia mais

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Foto extraída em http://www.alea.pt Profª Maria Eliane Universidade Estadual de Santa Cruz USO DE PROBABILIDADES EM SITUAÇÕES DO COTIDIANO Escolhas pessoais Previsão do tempo

Leia mais

Q05. Ainda sobre os eventos A, B, C e D do exercício 03, quais são mutuamente exclusivos?

Q05. Ainda sobre os eventos A, B, C e D do exercício 03, quais são mutuamente exclusivos? LISTA BÁSICA POIA PROBABILIDADES A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, de dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo

Leia mais

PROBABILIDADE. Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti

PROBABILIDADE. Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti PROBABILIDADE Dizemos que a probabilidade é uma medida da quantidade de incerteza que existe em um determinado experimento.

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Teoremas e operações com conjuntos Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Teoremas e operações com conjuntos Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Teoremas e operações com conjuntos Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Como P (B) = 1 P ( B ) = P (B) P (A B) vem que P (B) = 1 0,7

Leia mais

01 - (UEM PR) um resultado "cara sobre casa preta" é (MACK SP)

01 - (UEM PR) um resultado cara sobre casa preta é (MACK SP) ALUNO(A): Nº TURMA: 2º ANO PROF: Claudio Saldan CONTATO: saldan.mat@gmail.com LISTA DE EXERCÍCIOS PROBABILIDADE 0 - (UEM PR) Considere a situação ideal na qual uma moeda não-viciada, ao ser lançada sobre

Leia mais

Os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios.

Os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios. PROBABILIDADE A teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Os experimentos

Leia mais

Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral. PROBABILIDADE. Introdução

Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral. PROBABILIDADE. Introdução Introdução PROBABILIDADE Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma

Leia mais

Raciocínio Lógico 1 Probabilidade

Raciocínio Lógico 1 Probabilidade PROBABILIDADE 1. CONCEITOS INICIAIS A Teoria da Probabilidade faz uso de uma nomenclatura própria, de modo que há três conceitos fundamentais que temos que passar imediatamente a conhecer: Experimento

Leia mais

ELEMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015

ELEMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015 ELEMENTOS DE PROBABILIDADE Prof. Paulo Rafael Bösing 25/11/2015 ELEMENTOS DE PROBABILIDADE Def.: Um experimento é dito aleatório quando o seu resultado não for previsível antes de sua realização, ou seja,

Leia mais

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO. 2) Jogando um dado ideal e anotando a face voltada para cima, teremos o espaço amostral E= {1,2,3,4,5,6}

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO. 2) Jogando um dado ideal e anotando a face voltada para cima, teremos o espaço amostral E= {1,2,3,4,5,6} NOÇÕES DE PROBABILIDADE O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS Experimentos aleatórios

Leia mais

1) Calcular a probabilidade de se obter 2 prêmios ao abrirem-se 2 círculos de uma mesa com 25 círculos dos quais 5 são premiados.

1) Calcular a probabilidade de se obter 2 prêmios ao abrirem-se 2 círculos de uma mesa com 25 círculos dos quais 5 são premiados. COLÉGIO SANTA MARIA Matemática I / II - Professor: Flávio Verdugo Ferreira Lista de exercícios: Probabilidades 1) Calcular a probabilidade de se obter 2 prêmios ao abrirem-se 2 círculos de uma mesa com

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística

Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prova 1 de Probabilidade I Prof.: Fabiano F. T. dos Santos Goiânia, 15 de setembro de 2014 Aluno: Nota: Descreva seu raciocínio e desenvolva

Leia mais

Probabilidades- Teoria Elementar

Probabilidades- Teoria Elementar Probabilidades- Teoria Elementar Experiência Aleatória Experiência aleatória é uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar, mas conhece-se o universo dos resultados

Leia mais

3. A probabilidade do evento de números pares. 4. O evento formado por número menor que três. 5. A probabilidade do evento número menor que três.

3. A probabilidade do evento de números pares. 4. O evento formado por número menor que três. 5. A probabilidade do evento número menor que três. 1 a Lista de Exercício - Estatística (Probabilidade) Profa. Ms. Ulcilea A. Severino Leal Algumas considerações importantes sobre a resolução dos exercícios. (i) Normas da língua culta, sequência lógica

Leia mais

BIOESTATISTICA. Unidade IV - Probabilidades

BIOESTATISTICA. Unidade IV - Probabilidades BIOESTATISTICA Unidade IV - Probabilidades 0 PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COMO ESTIMATIVA DA PROBABILIDADE Noções de Probabilidade Após realizar a descrição dos eventos utilizando gráficos,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística. Probabilidade

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística. Probabilidade UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Departamento de Estatística Probabilidade Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof. Tarciana Liberal Existem muitas situações que envolvem incertezas:

Leia mais

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE PROBABILIDADE Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que melhor o explique. Os fenômenos

Leia mais

Adição de probabilidades. O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e):

Adição de probabilidades. O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e): Adição de probabilidades O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e): Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, A B

Leia mais

TEORIA DA PROBABILIDADE

TEORIA DA PROBABILIDADE TEORIA DA PROBABILIDADE Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 22 de maio de 2017 Introdução Conceitos probabiĺısticos são necessários

Leia mais

INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES15

INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES15 INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES15 Vanderlei S. Bagnato 15.1 Introdução 15.2 Definição de Probabilidade 15.3 Adição de probabilidade 15.4 Multiplicação de probabilidades Referências Licenciatura em Ciências

Leia mais

Aula 16 - Erivaldo. Probabilidade

Aula 16 - Erivaldo. Probabilidade Aula 16 - Erivaldo Probabilidade Probabilidade Experimento aleatório Experimento em que não pode-se afirmar com certeza o resultado final, mas sabe-se todos os seus possíveis resultados. Exemplos: 1) Lançar

Leia mais

ESTATÍSTICA Parte II

ESTATÍSTICA Parte II ESTATÍSTICA Parte II PARA OS CURSOS TÉCNICOS Material Didático Elaborado por: Alessandro da Silva Saadi MESTRE EM MATEMÁTICA 1 Capítulo 1 Escola Técnica Estadual Getúlio Vargas ESTATÍSTICA II Prof. Me.

Leia mais

AULA 08 Probabilidade

AULA 08 Probabilidade Cursinho Pré-Vestibular da UFSCar São Carlos Matemática Professora Elvira e Monitores Ana Carolina e Bruno AULA 08 Conceitos e assuntos envolvidos: Espaço amostral Evento Combinação de eventos Espaço Amostral

Leia mais

1073/B - Introdução à Estatística Econômica

1073/B - Introdução à Estatística Econômica Lista de exercicios 2 Prof. Marcus Guimaraes 1073/B - Introdução à Estatística Econômica Ciências Econômicas 1) Suponha um espaço amostral S constituido de 4 elementos: S={a 1,a2,a3,a4}. Qual das funções

Leia mais

Técnicas de Contagem I II III IV V VI

Técnicas de Contagem I II III IV V VI Técnicas de Contagem Exemplo Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de

Leia mais

Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal.

Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Estatística Probabilidade Profa. Ivonete Melo de Carvalho Conteúdo Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Objetivos Utilizar a probabilidade como estimador

Leia mais

Princípios de Bioestatística

Princípios de Bioestatística Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Princípios de Bioestatística Aula 5 Introdução à Probabilidade Nosso dia-a-dia está cheio de incertezas Vai

Leia mais

Probabilidade Condicional. Prof.: Ademilson

Probabilidade Condicional. Prof.: Ademilson Probabilidade Condicional Prof.: Ademilson Operações com eventos Apresentam-se abaixo algumas propriedades decorrentes de complementação, união e interseção de eventos, úteis no estudo de probabilidade.

Leia mais

PROBABILIDADE. Prof. Patricia Caldana

PROBABILIDADE. Prof. Patricia Caldana PROBABILIDADE Prof. Patricia Caldana Estudamos probabilidade com a intenção de prevermos as possibilidades de ocorrência de uma determinada situação ou fato. Para determinarmos a razão de probabilidade,

Leia mais

Fernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Fernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA Departamento Matemática Curso Engenharia Civil 1º Semestre 2º Folha Nº1 1. Ao dar ordem de compra de um computador é necessário especificar, em relação ao seu sistema, a memória (1, 2 ou 3Gb) e capacidade

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Teoremas e operações com conjuntos

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Teoremas e operações com conjuntos MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Teoremas e operações com conjuntos Exercícios de exames e testes intermédios 1. Seja Ω, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Universitário do Araguaia Instituto de Ciências Exatas e da Terra Curso: Licenciatura em Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Universitário do Araguaia Instituto de Ciências Exatas e da Terra Curso: Licenciatura em Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO Campus Universitário do Araguaia Instituto de Ciências Exatas e da Terra Curso: Licenciatura em Matemática 1 a Lista de Exercícios de Probabilidade e Estatística 1.

Leia mais

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ano Lectivo 2011/12 Distribuição de probabilidades 12.º Ano

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ano Lectivo 2011/12 Distribuição de probabilidades 12.º Ano Escola Secundária/, da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática A Ano Lectivo 0/ Distribuição de probabilidades.º Ano Nome: N.º: Turma:. Numa turma do.º ano, a distribuição dos alunos por idade e sexo

Leia mais

No lançamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é a mesma. Como se calcula a probabilidade de determinado evento?

No lançamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é a mesma. Como se calcula a probabilidade de determinado evento? Probabilidade Introdução Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura o leite ferve. Esse tipo de experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico. No entanto,

Leia mais

BANCO DE QUESTÕES TURMA PM-PE PROBABILIDADE

BANCO DE QUESTÕES TURMA PM-PE PROBABILIDADE 01. (UNICAMP 016) Uma moeda balanceada é lançada quatro vezes, obtendo-se cara exatamente três vezes. A probabilidade de que as caras tenham saído consecutivamente é igual a A) 1. B). 8 C) 1. D). 0. (UNESP

Leia mais

Matéria: Matemática Assunto: Probabilidade básica Prof. Dudan

Matéria: Matemática Assunto: Probabilidade básica Prof. Dudan Matéria: Matemática Assunto: Probabilidade básica Prof. Dudan Matemática Probabilidade Denifinição 0 P 1 Eventos favoráveis Probabilidade = Total de eventos 1. Se a probabilidade de chover num dia de

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais Exercícios de exames e testes intermédios 1. Uma pessoa lança um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e regista o número da face que ficou

Leia mais

Curso de Farmácia Estatística Vital Aula 05 Comentários Adicionais. Prof. Hemílio Fernandes Depto. de Estatística - UFPB

Curso de Farmácia Estatística Vital Aula 05 Comentários Adicionais. Prof. Hemílio Fernandes Depto. de Estatística - UFPB Curso de Farmácia Estatística Vital Aula 05 Comentários Adicionais Prof. Hemílio Fernandes Depto. de Estatística - UFPB Um pouco de Probabilidade Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Primeira Lista de Exercícios de junho de 0 Quantos códigos de quatro letras podem ser construídos usando-se as letras a, b, c, d, e, f se: a nenhuma letra puder ser repetida? b qualquer

Leia mais

Tópicos. Conjuntos Fatorial Combinações Permutações Probabilidade Binômio de Newton triângulo de Pascal

Tópicos. Conjuntos Fatorial Combinações Permutações Probabilidade Binômio de Newton triângulo de Pascal Probabilidade Tópicos Conjuntos Fatorial Combinações Permutações Probabilidade Binômio de Newton triângulo de Pascal Conjuntos Conjunto: Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos com características

Leia mais

Lista 2 de exercícios

Lista 2 de exercícios Lista 2 de exercícios 1. (ANDRADE; OGLIARI, 2010) Defina um espaço amostral para os seguintes experimentos aleatórios: a. Investigam-se famílias com quatro crianças, anotando-se a configuração conforme

Leia mais

Profa. Patrícia G. P. Lourençano Disciplina: Estatística Lista de exercícios de probabilidade

Profa. Patrícia G. P. Lourençano Disciplina: Estatística Lista de exercícios de probabilidade Profa. Patrícia G. P. Lourençano Disciplina: Estatística Lista de exercícios de probabilidade 1. Se P(A) = 1/2 e P(B) = 1/4 e A e B são eventos mutuamente exclusivos, calcule: (a) P(A c ) (b) P(B c ) (c)

Leia mais

Noções de Probabilidade parte I

Noções de Probabilidade parte I Noções de Probabilidade parte I 5 de Março de 2012 Site: http://ericaestatistica.webnode.com.br/ e-mail: ericaa_casti@yahoo.com.br Referências: Probabilidae Aplicações à Estatística - Mayer (Capítulo 1)

Leia mais

Probabilidade - aula II

Probabilidade - aula II 2012/02 1 Interpretações de Probabilidade 2 3 Amostras Aleatórias e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular probabilidades de eventos conjuntos. Interpretar e calcular probabilidades

Leia mais

Para iniciar o conceito do que é probabilidade condicional, vamos considerar o seguinte problema.

Para iniciar o conceito do que é probabilidade condicional, vamos considerar o seguinte problema. PROBABILIDADE CONDICIONAL E DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL 1. PROBABILIDADE CONDICIONAL Para iniciar o conceito do que é probabilidade condicional, vamos considerar o seguinte problema. Suponha que um redator

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 12

Sumário. 2 Índice Remissivo 12 i Sumário 1 Definições Básicas 1 1.1 Fundamentos de Probabilidade............................. 1 1.2 Noções de Probabilidade................................ 3 1.3 Espaços Amostrais Finitos...............................

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 1 / 56 Introdução É provável que você ganhe um aumento....

Leia mais

Módulo de Introdução à Probabilidade. Ferramentas Básicas. 2 a série E.M.

Módulo de Introdução à Probabilidade. Ferramentas Básicas. 2 a série E.M. Módulo de Introdução à Probabilidade Ferramentas Básicas. a série E.M. Probabilidade Ferramentas Básicas Exercícios Introdutórios Exercício. Uma prova é composta por 5 questões de múltipla escolha com

Leia mais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 3: Probabilidade Condicional e Independência

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 3: Probabilidade Condicional e Independência EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 3: Probabilidade Condicional e Independência Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF 1 Perguntas 1. Um novo aparelho para detectar um certo tipo de

Leia mais

AULA 6 MODELOS PROBABILÍSTICOS

AULA 6 MODELOS PROBABILÍSTICOS UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA MEAU- MESTRADO EM ENGENHARIA AMBIENTAL URBANA ENG C 18 Métodos de Pesquisa Quantitativos e Qualitativos AULA 6 MODELOS PROBABILÍSTICOS Docente: Cira Souza

Leia mais

PROBABILIDADE. ENEM 2016 Prof. Marcela Naves

PROBABILIDADE. ENEM 2016 Prof. Marcela Naves PROBABILIDADE ENEM 2016 Prof. Marcela Naves PROBABILIDADE NO ENEM As questões de probabilidade no Enem podem cobrar conceitos relacionados com probabilidade condicional e probabilidade de eventos simultâneos.

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais Exercícios de exames e testes intermédios 1. Considere um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e um saco que contém cinco bolas, indistinguíveis

Leia mais

LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES

LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES Matemática e suas Tecnologias CÓDIGO DA PROVA / SIMULADO Aluno(a): POMA - Matemática Questões Professores: Neydiwan PC 0-0 - 4 ª Série º Bimestre - N 0 / 06 / 06 LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES Este caderno

Leia mais

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Probabilidades e Estatística

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Probabilidades e Estatística AMEI Escolar Matemática 9º Ano Probabilidades e Estatística A linguagem das probabilidades As experiências podem ser consideradas: - aleatórias ou casuais: quando é impossível calcular o resultado à partida;

Leia mais

Lista 3 - Introdução à Probabilidade e Estatística

Lista 3 - Introdução à Probabilidade e Estatística Lista - Introdução à Probabilidade e Estatística Probabilidade em Espaços Equiprováveis 1 Num evento científico temos 1 físicos e 11 matemáticos. Três deles serão escolhidos aleatoriamente para participar

Leia mais

1 Definição de Probabilidade 2 Principais Teoremas 3 Probabilidades dos Espaços Amostrais 4 Espaços Amostrais Equiprováveis. Francisco Cysneiros

1 Definição de Probabilidade 2 Principais Teoremas 3 Probabilidades dos Espaços Amostrais 4 Espaços Amostrais Equiprováveis. Francisco Cysneiros Probabilidade 1 Definição de Probabilidade 2 Principais Teoremas 3 Probabilidades dos Espaços Amostrais 4 Espaços Amostrais Equiprováveis Francisco Cysneiros Introdução 1 - Conceito Clássico Se uma experiência

Leia mais

Prof. Herivelto Tiago Marcondes dos Santos

Prof. Herivelto Tiago Marcondes dos Santos PROBABILIDADES Algumas ocorrências de nosso cotidiano de certos fenômenos naturais não podem ser previstos antecipadamente. Há nessas ocorrências o interesse em estudar a intensidade de chuvas em uma determinada

Leia mais