Probabilidade Parte 1. Camyla Moreno

Transcrição

1 Probabilidade Parte 1 Camyla Moreno

2 Probabilidade A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Principais assuntos abordados em probabilidade: Porcentagens; Conjuntos; Análise Combinatória. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Espaço Amostral Espaço amostral: é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um determinado experimento ou fenômeno. No experimento aleatório lançar um dado e registrar o seu resultado, temos: Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Evento Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado evento certo. Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível. E quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Evento Considere o experimento aleatório lançamento de um dado e observação do número voltado pra cima. O espaço amostral será Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6). - Evento certo: É o próprio espaço amostral. Ex.: evento A ocorrência de número menor que 8. A= (1,2,3,4,5,6) - Evento impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral. Ex.: evento B ocorrência de número maior que 10. B= { } UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Evento - Evento união: É a união de dois eventos. Ex.: Evento A, ocorrência de um número ímpar A={1,3,5} Evento B, ocorrência de um número par primo B= B= {2} Logo, o evento A B ocorrência de um número ímpar ou número par primo A A B= {1,2,3,5} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Evento - Evento interseção: É a interseção de dois eventos. Ex.: evento A ocorrência de um número par A= {2,4,6} evento B ocorrência de um número múltiplo de 4 B= {4] B= {4] evento A B de 4 ocorrência de um número par e múltiplo A B= {4} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Evento - Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles que contêm conjuntos disjuntos. Ex.: evento D ocorrência de um número par D= {2,4,6} evento E ocorrência de um número ímpar E= {1,3,5} D E= { } UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 1- Exercício No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma cara; B: ocorrência de coroa em ambas; C: ocorrência de pelo menos uma cara. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 1-Solução Espaço amostral: Ω = {cara, cara; cara, coroa; coroa, coroa; coroa, cara}; evento A: A = {cara, coroa; coroa, cara} evento B: B = {coroa, coroa}; evento C: C = {cara, cara; cara, coroa; coroa, cara}. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Cálculo das probabilidades p(a) = número de elementos de A números de elementos de Ω = n(a) n(ω) ou p(a) = número de resultados favoráveis números total de resultados póssiveis 0 p(a) 1 Quando p(a) = 0, A é um evento impossível Quando p(a) = 1, A é um evento certo UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 2- Exercício No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? a) 66% b) 50% c) 33% d) 100% e) Não existe essa probabilidade UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 2- Solução Resolução: Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(ω) = 6; A: ocorrência de número maior do que 4 A = {5, 6} n(a) = 2; Logo, p(a) = n(a) n(ω) = 2 6 = 1 3 = 33, %. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 3- Exercício Enem Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 a 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? a) b) c) d) e) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 4- Exercício Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Qual é a probabilidade de que todas as crianças sejam do mesmo sexo? a) 75,00% b) 12,50% c) 50,00% d) 37,50% e) 25,00% Dica: Para resolver essa questão é interessante desenhar um diagrama de árvore para mostrar todos os possíveis arranjos de meninos e meninas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 4- Solução UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Propriedades 1ª propriedade: Impossibilidade ou p( ) = 0 Como um evento qualquer A (A ) pode ser escrito como A e como A =, podemos aplicar a propriedade P 3 e temos: p(a) = p(a ) = p(a) + p( ) p( ) = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Propriedades 2ª Propriedade: Probabilidade do evento complementar Observe que sendo de A, temos: Aplicando P 2 e P 3 temos: A A A Ω e A A p(ω) p(a A) a notação para Complementar O p A 1 p(a) 1 p(a) p A UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Propriedades 3ª propriedade: Probabilidade da união de dois eventos p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) A intersecção foi contada duas vezes. Por isso subtraímos p(a B), para que a contagem fique certa. A B A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 5- Exercício No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é a probabilidade de não sair soma 5? Nesse caso, o espaço amostral tem 36 elementos: = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),...,(6, 5), (6, 6)} UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 5- Solução Seja A o evento sair soma 5 ; A = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)} n(a) = 4 p(a) = n(a) n( ) p(ഥa) = 1 - p(a) = = 8 9 A probabilidade de não sair soma 5 é 8 9. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

22 Parceria: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22