REGRAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES

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1 REGRAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha 15 de abril de 2019 Londrina 1 / 17

2 As probabilidades sempre se referem a ocorrência de eventos e, independentemente do conceito utilizado, clássico ou frequentista, o modelo de probabilidade terá sempre uma coerência interna que resulta dos axiomas de probabilidade: 0 P(A) 1 P(Ω) = 1 P( ) = 0 Ou seja, a probabilidade é uma função que associa a cada evento um valor entre 0 e 1. 2 / 17

3 Regras de cálculo Regra 1-a Probabilidade da união de eventos. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Exemplo 1 Considere o experimento lançamento de um dado e os seguintes eventos: A : sair o número 2, 3 e 4; B : sair número par; C : sair número ímpar. Determinar P(A B) e P(A C). 3 / 17

4 Regra 1-b Probabilidade da união de eventos disjuntos. Se A e B são disjuntos então P(A B) = P(A) + P(B) Se A 1, A 2, A 3,..., formam uma sequência de eventos disjuntos, então: ( n ) P A i = i=1 n P(A i ) i=1 4 / 17

5 Exemplo 2 No lançamento de duas moedas temos: A : pelo menos uma cara, B : duas coroas. Qual a probabilidade de sair duas coroas ou pelo menos uma cara? Exemplo 3 As probabilidades de uma pessoa que deseja adquirir um carro novo escolher um Chevrolet, um Ford ou um Honda são 0, 17, 0, 22 e 0, 08, respectivamente. Supondo que ela compre apenas um carro, qual é a probabilidade de ser uma das três marcas? 5 / 17

6 Regra 2: Probabilidade do complemento P(A c ) = 1 P(A) Exemplo 4 Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade de ser sorteado A : pelo menos um 6? 6 / 17

7 Algumas vezes a probabilidade de um particular evento acontecer depende do resultado de algum outro evento. Por exemplo, o crescimento do país no próximo ano depende, naturalmente, da poĺıtica econômica adotada no presente período. A probabilidade do evento A, quando se sabe que o evento B ocorreu, é chamada probabilidade condicional de A dado B, denota-se por P(A B). 7 / 17

8 Definição Pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento B, como se mostra a seguir: P(A B) = P(A B), se P(B) > 0 P(B) Na probabilidade condicional, a ocorrência de um evento altera a probabilidade de ocorrência do outro. 8 / 17

9 Exemplo 5 Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2,..., 15. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de que seja o número 9? 9 / 17

10 Regra 3-a: Probabilidade da intersecção de dois eventos A probabilidade condicional permite-nos calcular diretamente a probabilidade da intersecção de dois eventos. Assim, P(A B) = P(A B)P(B) Exemplo 6 Considerando que num baralho há um total de 54 cartas de quatro naipes: ouro, espada, copas e paus igualmente divididos, e que há um às de cada naipe, considere os eventos A: retirar uma carta de copas do baralho e B: retirar um às do baralho. Determine a probabilidade desses eventos ocorrerem simultaneamente. 10 / 17

11 Independência de Eventos Regra 3-b: Probabilidade da intersecção de dois eventos independentes Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não depende da ocorrência do outro, isto é, P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B). Logo, o teorema do produto para dois eventos independentes é dado por: P(A B) = P(A)P(B) 11 / 17

12 Exemplo 7 Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo O é 40%, ser A é 30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ é de 90% e que o fator independe do tipo sanguíneo. Nestas condições, qual a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população ser: a) O e Rh+? b) AB ou Rh-? 12 / 17

13 Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5 Exercício 1 Numa pesquisa por amostras realizada num certo bairro de uma cidade, as probabilidades são 0, 92, 0, 53 e 0, 48 de que uma família selecionada ao acaso possua um automóvel sedan, um 4 por 4, ou ambos. Qual é a probabilidade de uma tal família possuir um automóvel sedan ou 4 por 4? 13 / 17

14 Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5 Exercício 2 O departamento de poĺıcia de uma cidade necessita de pneus novos para seus carros. As probabilidades de o departamento comprar pneus Firestone, Goodyear, Michelin, Goodrich ou Pirelli são, respectivamente, 0, 19, 0, 26, 0, 25, 0, 20 e 0, 07. Encontre as probabilidades de o departamento comprar pneus a) Goodyear ou Goodrich; b) Firestone ou Michelin; c) Goodyear, Michelin ou Pirelli; d) de uma outra marca? 14 / 17

15 Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5 Exercício 3 De três eventos A, B e C, de um mesmo espaço amostral, suponhamos A e B independentes, B e C mutuamente exclusivos. Suas probabilidades são: P(A) = 0, 50; P(B) = 0, 30 e P(C) = 0, 10. Determine as probabilidades de: a) B e C ocorrerem (ambos); b) ocorrer ao menos um dentre A e B; c) B não ocorrer; 15 / 17

16 Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5 Exercício 4 Um escritório possui duas impressoras sendo que uma delas esta disponível para uso em 60% do tempo, a outra em 85% do tempo e funcionam independentemente uma da outra. Se em um momento você tenta fazer a impressão de um arquivo, qual a probabilidade de conseguir a impressão naquele instante? 16 / 17

17 Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5 Exercício 5 A probabilidade de um homem estar empregado daqui a quinze anos é 1/4 e de sua mulher 1/3. Encontre a probabilidade de que daqui a quinze anos: a) ambos estejam empregados; b) nenhum esteja empregado; c) ao menos um esteja empregado; d) somente sua mulher esteja empregada. 17 / 17