Pode ser a observação de um fenômeno natural:

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1 MAE 116 Introdução à Probabilidade FEA -2º Semestre de

2 Experimento Designaremos por Experimento todo processo que nos fornece dados: Pode ser a observação de um fenômeno natural: 4observação astronômica 4meteorológica 4oceanográfica 4sísmica

3 Continuação dos exemplos observação de um experimento controlado para testar a fadiga de materiais verificar o resultado de um exame de sangue etc. pesquisa de opinião para saber quantos estudantes fumam na Universidade quantos eleitores tem intenção de votar num candidato A em uma eleição

4 Experimento aleatório Os resultados são imprevisíveis mas podemos descrever quais são os possíveis resultados. É possível associar uma probabilidade a cada resultado.

5 Exemplo 1 Escolho ao acaso um dos 100 funcionários de uma empresa: {Funcionário 1, Funcionário 2,, Funcionário 100 } Qual a probabilidade do Funcionário 10 ser escolhido? Se há 40 mulheres dentre os 100 funcionários, qual é a probabilidade de uma mulher qualquer dentre elas ser escolhida?

6 Exemplo 2 Lançamento de um dado honesto Conjunto de possibilidades : {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento: ocorrências no experimento; identificado com subconjuntos do conjunto de possibilidades Exemplo: você ganha se sair face par. Subconjunto de possibilidades favoráveis = {2, 4, 6} Qual é a probabilidade de vitória? Supondo que o dado é equilibrado, temos: (3/6) (nº de possibilidades favoráveis / nº total de possibilidades )

7 Modelos matemáticos para experimentos aleatórios Modelo de Probabilidade 1) Ω = Conjunto de resultados possíveis do experimento, denominado Espaço Amostral. 2) Atribuição de Probabilidades a cada evento (ou subconjunto do espaço amostral).

8 Eventos particulares do experimento Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. Exemplo 1: Ω 1 = todos os funcionários Evento A: é escolhida uma mulher A = {ser escolhida uma mulher} = {todas as funcionárias mulheres} Ω 1

9 Outros eventos Exemplo 2 Ω 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: sair face par B = {2, 4, 6} Ω 2 Evento C: sair uma face ímpar C = {1, 3, 5} Ω 2 Evento D: sair uma face maior que 3 D = {4, 5, 6} Ω 2 Evento E: sair face 1 E = {1} Ω 2

10 Em resumo A um experimento aleatório está associado um espaço amostral Ω. Um evento A ocorre se o resultado do experimento pertence a A. Os conjuntos Ω e também são eventos: Ω é o evento certo é o evento impossível

11 Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral: O evento interseção de A e B, denotado A B, é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente O evento reunião de A e B, denotado A B, é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos) O evento complementar de A, denotado A c, é o evento em que A não ocorre

12 Exemplos: interseção e reunião de eventos Ω 2 = {1,2,3,4,5,6} Eventos A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 3, 5} A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma face par e maior que 3 A C = {2, 4, 6} {1, 3, 5} = sair uma face par e ímpar (A e C são disjuntos); C = A c ; A = C c A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} sair uma face par ou maior que 3 A C = {2, 4, 6} {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sair uma face par ou ímpar

13 Probabilidade É uma função que atribui aos eventos de Ω um número P(A) (se A é um evento de Ω, P(A) é a probabilidade de A) satisfazendo as condições: 1) 0 P(A) 1 2) P( ) = 0, P(Ω ) = 1 3) Regra da soma para dois eventos, A e B, mutuamente exclusivos: P(A B) = P(A) + P(B)

14 Propriedades 1) Para eventos quaisquer: 2) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 2) P(A C ) = 1 - P(A) para todo evento A

15 Dados do censo demográfico de 1991 Relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etária entre 20 a 24 anos com relação às variáveis Sexo e Leitura Sexo Lê Não Lê Total Masc Fem Fonte: IBGE

16 Exemplo Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe. Ω = conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. Eventos de interesse: M = jovem sorteado é do sexo masculino F = jovem sorteado é do sexo feminino L = jovem sorteado sabe ler M L = jovem sorteado é do sexo masculino e sabe ler M L = jovem sorteado é do sexo masculino ou sabe ler

17 Cálculo das probabilidades Sexo Lê Não Lê Total Masc Fem P(M) = nº de jovens do sexo masculino de Ω nº de jovens de Ω = = 0,473 P(L) = nº de jovens que sabem ler de Ω nº total de jovens de Ω = = 0, F = M c P(F) = P(M c ) = 1- P(M) = 1-0, 473 = 0,527

18 Cálculo das probabilidades Sexo Lê Não Lê Total Masc Fem P(M L) = nº de jovens do sexo masc. e que sabem ler nº total de jovens de Ω = = ,388 P(M L) = P(M) + P(L) - P(M L) = 0, ,843-0,388 = 0,928

19 Interpretação da probabilidade A: Evento de um experimento aleatório. P(A): É uma medida da crença (subjetiva) que se deposita na ocorrência de A. Interpretação frequentista (objetiva): f n (A) = nº de repetições em que A ocorre n Quando n cresce: f n (A) P(A)

20 Probabilidade condicional e independência No exemplo anterior, se soubermos que o jovem sorteado é do sexo masculino, qual é a probabilidade de que saiba ler? Informação parcial: o jovem é do sexo masculino Notação: P(L M) Probabilidade condicional de L dado M

21 Cálculo da probabilidade condicional Sexo Lê Não Lê Total Masc Fem P (L M) = (nº de jovens que sabem ler entre os do sexo masc) = (nº total de jovens do sexo masculino) = 0, P ( L M ) = nº total de jovens nº jovens do sexo masculino = nº total de jovens nº jovens do sexo masculino e que sabem ler P(L M) P(M)

22 Definição de probabilidade condicional Se A e B são eventos de um experimento aleatório, a prob. condicional de A dado B é: Exemplo: Prob. de um jovem sorteado ser do sexo masculino dado que sabe ler: P(M L) = P(M L) = 0,388 = 0,460 P(L) 0,843 Regra do Produto: P(A B) = P(B).P(A B)

23 Regra da probabilidade total Se A e B são eventos, temos duas maneiras de A ocorrer: A e B ocorrem (A B) disjuntos ou A = (A B) (A B c ) A e B c ocorrem (A B c ) Pela Regra da Soma: P(A) = P(A B) + P(A B c ) Pela Regra do Produto: P(A) = P(B).P(A B) + P(B c ).P(A B c ) REGRA DA PROBABILIDADE TOTAL B c A B c A B B

24 Exemplo Em uma urna, há 10 bolas: 4 brancas e 6 verdes. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. Qual é a probabilidade da 2ª bola ser verde? A = 2ª bola sorteada é verde B = 1ª bola sorteada é verde P(A) =??? P( B) = P( B C ) = 1 P( B) = 1 =

25 Continuação do exemplo P(A B) = Prob (sortear 1 bola verde dentre 5 verdes e 4 brancas) = 5 / 9 P(A B C ) = Prob (sortear 1 bola verde dentre 6 verdes e 3 brancas) = 6 / 9 P(A) = P(B) P(A B) + P(B C ) P(A B C ) = = 5 x x = =

26 Árvore de probabilidades P(A) = 6 10 * * 6 9 = * * * *

27 Independência Sejam A e B eventos Se P(A B) = P(A) A e B são Independentes No exemplo anterior: P(A B) = 5 6 = P(A) 9 10 A e B não são independentes Se o sorteio da 2ª bola for com reposição: P(A B) = Prob (Sortear 1 bola verde dentre 6 verdes e 4 brancas) = (6 / 10) = P(A) Portanto A e B são independentes neste caso

28 Para eventos independentes Se A e B forem eventos independentes: P(A B) = P(B).P(A B) = P(B).P(A) Ex: Qual a probabilidade de sortear duas bolas verdes no sorteio com reposição? P(A B) = P(A).P(B) = 6 x 6 = 0,