Disciplina: Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros. DTAiSeR-Ar

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1 Disciplina: Probabilidade Condicional Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1

2 Probabilidade condicional Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas. A informação do que ocorreu em determinada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrências das etapas sucessivas. Neste casos, dizemos que ganhamos informação e podemos recalcular as probabilidades de interesse. 2

3 Exemplo 1 Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano passado: Curso \ Sexo Homens (H Mulheres (F Total (Curso Matemática pura (M Matemática aplicada (A Estatística (E Computação (C Total (Sexo Dado que um estudante, escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que seja mulher? Do total de 200 alunos, 85 são mulheres. Escrevemos: 85 mulher F 200 0,425 3

4 Dado que um estudante, escolhido ao acaso, está matriculado no curso de Estatística, qual a probabilidade de que seja mulher? Curso \ Sexo Homens (H Mulheres (F Total (Curso Matemática pura (M Matemática aplicada (A Estatística (E Computação (C Total (Sexo Do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres. Escrevemos: 20 2 mulher Estatística F E ,6667 Probabilidade condicional 4

5 Probabilidade condicional Dados dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por A B e é dada por: A B A B, B B 0 OBS: Se B = 0 usaremos A B = A A AB B Basta pensar que o espaço amostral ficou reduzido, ou restrito ao evento B, o qual já ocorreu. Ω 5

6 Voltando ao exemplo... Curso \ Sexo Homem (H Mulher (F Total (Curso Matemática pura (M Matemática aplicada (A Estatística (E Computação (C Total (Sexo mulher Estatístic a F E ,6667 Sejam: Evento E: aluno está matriculado em estatística, e Evento F: aluno é mulher, então: F E F E E O aluno está matriculado em estatística e o aluno é mulher. 20 / / Como havíamos obtido!!! 6

7 Da definição de probabilidade condicional, A B A B, B B 0 deduzimos a regra do produto de probabilidades: Regra do produto de probabilidade Sejam A e B eventos de Ω. Então, A B A B B, com B 0 7

8 Independência de eventos Definição: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a ocorrência de A, ou seja, Ou de forma equivalente: A B = A, para B > 0 A B = A. B Não confundir com eventos disjuntos!!!! 8

9 Independência de eventos Definição: Três eventos A, B e C são independentes se, e somente se: A B = A. B A C = A. C B C = B. C A B C = A. B. C Se apenas as três primeiras equações forem satisfeitas, os eventos A, B e C são mutuamente independentes. 9

10 Exemplo 4 Uma empresa possui duas máquinas (I e II para produzir peças que podem apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10, respectivamente. Para cumprir o nível mínimo de produção pelo menos uma das máquinas deve operar. No início do dia de operação um teste é realizado e caso a máquina esteja fora de ajuste ela ficará sem operar nesse dia. Qual é a probabilidade da empresa conseguir cumprir com suas metas de produção? 10

11 Seja O i o evento da máquina i estar operando, i = 1, 2. Pelas informações disponíveis temos: O 1 = 0,95 e O 2 = 0,90 0,95 O 1 0,90 0,10 O 2 O C 2 Árvore de probabilidades, representa os eventos e as probabilidades condicionais associadas às realizações. 0,05 O 1 C 0,90 0,10 O 2 O C 2 Cada um dos caminhos da árvore representa uma possível ocorrência Assumimos independência entre O 1 e O 2, pois acreditamos que uma eventual falta de ajuste em uma máquina não interfere no comportamento da outra O 1 O 2 = O 1 11

12 Então as possíveis ocorrências são: Eventos Probabilidade O 1 O 2 O 1 O 2 = O 1 O 2 O 2 O 1 O 2C O 1 O 2C = O 1 O 2C O 2C O 1C O 2 O 1C O 2 = O 1C O 2 O 2 O 1C O 2 C O 1C O 2C = O 1C O 2C O 2C Para obter o nível mínimo de produção diária, precisamos ter pelo menos 1 máquina operando. Isto corresponde a união dos 3 primeiros eventos: P[(O 1 O 2 (O 1 O 2 C (O 1 C O 2 ] = Realizações disjuntas!!! = O 1 O 2 + O 1 O 2 C + O 1 C O 2 = 0, , ,045 = 0,995 Outra maneira de resolver essa situação? 12

13 Partição do espaço amostral Definição: Os eventos C 1, C 2,..., C n formam uma partição do espaço amostral : a Se eles NÃO tem intersecção entre si; e b Se a sua união é igual ao espaço amostral. n C i i1 C i C j = para i j e Partição do espaço amostral (n=5 Ω 13

14 Lei da probabilidade total Suponha que os eventos C 1, C 2,..., C n formam uma partição do espaço amostral e todos têm probabilidade positiva C i > 0, i, i=1,...,n Então, A n i1 C i A C i A 14

15 Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é dada pelo teorema de Bayes. A versão mais simples é: Teorema de Teorema de Bayes Bayes ( ( B ( A B P A P A B A P ( ( ( B P B P B A P Atualiza a probabilidade inicial A multiplicando-a por: ( ( B P A B P 15

16 Teorema de Bayes Suponha que os eventos C 1, C 2,..., C n formem uma partição do espaço amostral e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda que para um evento A, se conheçam as probabilidades A C j para todo j. Então, para qualquer j, A C j C j C j A, j 1,2,..., n n A C C j1 j j = Regra do produto de probabilidades Lei da probabilidade total A 16

17 Exemplo 5 Um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda F2 e 50% da fazenda F3. Houve uma fiscalização e observou-se que 20% do leite produzido por F1 está com adição de água, enquanto que para F2 e F3 a proporção era de 5% e 2%. Contudo, na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas. Da amostra adulterada, qual é a probabilidade do leite ter sido fornecido pela fazenda F1? 17

18 Resolução: Considere o Evento A: Leite está adulterado. F 1 A =? Temos que: A F 1 = 0,20, A F 2 = 0,05 e A F 3 = 0,02. F 1, F 2 e F 3 formam uma partição do espaço amostral. F 1 F 3 A F 2 A = (A F 1 (A F 2 (A F 3 A = A F 1 + A F 2 + A F 3 18

19 Resolução: Pela regra do produto temos: A = F 1 A + F 2 A + F 3 A A = A F 1 F 1 + A F 2 F 2 + A F 3 F 3 Então, Teorema de Bayes F 1 A A F F 1 1 A F1 F A F F A F 3 F 3 F 1 A 0,615 Portanto, do leite adulterado, a probabilidade de que a amostra tenha sido produzida pela fazenda F 1 é de 0,

20 Exercícios a Da amostra adulterada, qual é a probabilidade do leite ter sido fornecido pela fazenda F 2? F 2 A =? b Da amostra adulterada, qual é a probabilidade do leite ter sido fornecido pela fazenda F 3? F 3 A =? 20

21 Tarefa 1 Experimento: Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bola pretas de onde são feias duas extrações de 1 bola ao acaso e sem reposição. Considere os seguintes eventos: B 1 : sair bola branca na primeira extração; B 2 : sair bola branca na segunda extração; P 1 : sair bola preta na primeira extração; P 2 : sair bola preta na segunda extração. a Construa o espaço amostral. Utilize a árvore de probabilidades e faça uma tabela com: (i os possíveis resultados (eventos em palavras; (ii sua notação usado teoria de conjuntos; e (iii indique as probabilidades associadas a cada um dos pontos amostrais. b Calcule a probabilidade de sair branca na 1. a extração e preta na 2. a extração. c Calcule a probabilidade de sair bola branca na 2. a extração. d Calcule a probabilidade de sair bola preta na 2. a extração. e Calcule a probabilidade de ter saído bola preta na 2. a extração sabendo-se que (dado que saiu bola branca na primeira extração. f Calcule a probabilidade de ter saído bola preta na 2. a extração sabendo-se que (dado que saiu bola preta na primeira extração. g Os eventos B 1 e B 2 são independentes? Prove para justificar sua resposta. h Os eventos P 1 e P 2 são independentes? Prove para justificar sua resposta. 21

22 Tarefa 2 Experimento: Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 bola pretas de onde são feias duas extrações de 1 bola ao acaso e com reposição da 1. a bola extraída, antes da extração da 2. a bola. Considere os seguintes eventos: B 1 : sair bola branca na primeira extração; B 2 : sair bola branca na segunda extração; P 1 : sair bola preta na primeira extração; P 2 : sair bola preta na segunda extração. a Refaça os itens da tarefa 1 para esse experimento. Os resultados foram os mesmos? b Calcule as seguintes probabilidades: b.1 B 2 B 1 ; h.3 P 2 P 1 ; b.2 B 2 P 1 ; h.4 P 2 B 1. 22