ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO

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1 Área Científica Matemática Probabilidades e Estatística Curso Engenharia do Ambiente º Semestre º Ficha n.º: Probabilidades e Variáveis Aleatórias. Lançam-se ao acaso moedas. a) Escreva o espaço de resultados da experiência. b) Descreva os acontecimentos elementares. c) Represente os acontecimentos: A= {sair uma face} B= {sair no máximo uma face} C= {sair pelo menos uma face}. Lança-se ao acaso uma moeda 4 vezes e conta-se o número de faces obtidas. Escreva o espaço amostral da experiência. 3. Uma urna contém 0 bolas numeradas de a 0 sendo 3 vermelhas (,4 e 6), 5 azuis (,3,7,9 e 0) e duas brancas (5 e 8). Considere a experiência aleatória que consiste na extracção de uma bola da urna (tenha em conta o nº e a cor da bola escolhida). a) Construa o espaço de resultados associado a esta experiência aleatória. b) Calcule a probabilidade de ocorrência dos seguintes acontecimentos: i) sai bola vermelha; ii) sai bola ímpar; iii) sai bola vermelha e bola ímpar; iv) sai bola vermelha e bola par; v) sai bola ímpar ou bola branca; vi) não sai nem bola azul nem bola par; vii) não sai simultaneamente bola azul e bola par; viii) sai bola branca mas não sai bola ímpar; ix) sai bola branca ou bola par mas não ambas. Página de 6

2 Probabilidades e Estatística º Semestre º 4. Num estudo de mercado foram inquiridas 500 pessoas de uma determinada cidade. O estudo de mercado tinha por objectivo recolher diversas informações sobre o comportamento do consumidor. Entre as questões do inquérito estava a seguinte: Gosta de fazer compras em Centros Comerciais? Foram entrevistados 40 homens e 60 mulheres. Responderam Sim à questão 36 homens e mulheres. Escolhendo uma pessoa ao acaso, definem-se os seguintes acontecimentos: H A pessoa é homem M A pessoa é mulher C A pessoa gosta de fazer compras em Centros Comerciais a) Qual é o complementar do acontecimento D A pessoa é homem e gosta de fazer compres em Centros Comerciais? b) Calcule a probabilidade do acontecimento D. c) Calcule as seguintes probabilidades: i) P( H C) ii) P( H M ) iii) P ( C H ) iv) P( M C ) 5. Sendo P(A) = 0.5 e P(A B) = 0.7 determine: a) P(B) sendo A e B independentes; b) P(B) sendo A e B mutuamente exclusivos; c) P(B) sendo P(AB) = Uma caixa contém 0 chips dos quais 6 são defeituosos. São extraídos, sem reposição, chips, ao acaso, da caixa. Seja X a v.a. que representa o número de chips defeituosos obtidos. a) Construa as funções de probabilidade e de distribuição de X e represente-as graficamente. b) Calcule a média e a variância de X. Página de 6

3 Probabilidades e Estatística º Semestre º 7. Os valores admissíveis de uma variável aleatória discreta X são: 0,,. Sabe-se que E(X)=0.8 e que E(X )=.4. a) Defina a função de probabilidade de X, f X. b) Defina a função de distribuição de X. c) Calcule a probabilidade do acontecimento { X Var(X) X 3E(X) } d) Determine Var(3Y+5) onde Y=X/. >. 8. Apesar de todas as medidas de segurança, continua a haver acidentes na fábrica da TêxteisCor S.A.. Seja X o número de acidentes que ocorrem num mês nesta fábrica. A função de probabilidade de X é dada por: x f X (x) 0.5 k l Determine: a) o valor de k e de l de modo a que o número esperado de acidentes num mês seja de.55; b) a função de distribuição de X; c) a variância de X d) a probabilidade de que, num mês: i) ocorram pelo menos acidentes; ii) iii) ocorram exactamente 5 acidentes; ocorram menos de 3 acidentes. 9. Seja f a função real de variável real definida por: 0 se x x + se < x 0 f ( x) = 4x + se 0 < x. 0 se x > Página 3 de 6

4 Probabilidades e Estatística º Semestre º a) Mostre que { X> E(X) } é um acontecimento certo. b) Calcule P[X 4 / 0<X< ]. 0. Uma caixa contém 5 parafusos defeituosos e 5 não defeituosos. Extraem-se parafusos. Determine a função de probabilidade e a função de distribuição da v.a. X: Nº de parafusos não defeituosos obtidos a) Supondo haver reposição. b) Supondo não haver reposição.. O tempo de espera no aeroporto de uma dada cidade (compreendido entre os instantes de chegada ao terminal de partida e de descolagem do avião) é uma variável aleatória X com uma função densidade de probabilidade em horas definida por: f X 9 x ( x) = 6 8 0,, outros 9 valores x a) Calcule ( E(X) ) E +. b) Qual a probabilidade um passageiro ter de esperar entre a 3 horas pela descolagem do avião?. Seja T a variável aleatória discreta com a seguinte função de distribuição 0 se t < - / se - t < 0 F( t) =. 3 / 4 se 0 t < se t a) Calcule a função de probabilidade f de T. b) Calcule: P(T=), P(T ), P(T>), P(T ), P(T<), P(0<T<), P(0<T ) e P( T ). c) Determine a esperança e a variância de T. Página 4 de 6

5 Probabilidades e Estatística º Semestre º Soluções da Ficha n.º.a) Ω ={FF, FC, CC, CF} b) {FF}, {CC}, {FC} e {CF} c) A ={FC, CF}, B ={FC, CF, CC} e C ={FC, CF, FF}. Ω ={0,,, 3, 4} 3 a) Ω ={V, V 4, V 6, A, A 3, A 7, A 9, A 0, B 5, B 8} b) i) 0.3 ii) 0.5 iii) 0 iv) 0.3 v) 0.6 vi) 0. vii) 0.9 viii) 0. ix) a) A pessoa é mulher ou não gosta de fazer compras em centros comerciais. b) 0.7 c) i) ii) 0 iii) iv) a) 0.4 b) 0. c) a) x 0 f X (x) 9/90 4/95 3/38 E(X)=3/5; Var(X)=0.4 7.a).5 se x = 0 0. se x = f X (x) = b) 0.3 se x = 0 outros valores 0.5 se 0 x < F X (x) = c) 0.6 d) se x < se x 0.5 se 0 x < 0.55 se x < 8.a) k = 0.3 e l = 0. b) F X (x) = c) se x < se 3 x < 4 se x 4 d) i) 0.45 ii) 0 iii) b) 4 Página 5 de 6

6 Probabilidades e Estatística º Semestre º 0.a) se x = 0 x = 4 f X (x) = se x =, 0 outros valores (x) F X se 0 x < 4 = 3 se x < 4 se x se x = 0 x = 9 5 b) f X (x) = se x =, 9 0 outros valores. a) b) 0.5. (x) F X 9 = 7 9 se 0 x < se x < se x. a) t - 0 F T (t) / /4 /4 b) 0, 3/4, /4, /4, 3/4, 0, /4, ¼; c)-/,.75 Página 6 de 6