Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25

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1 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25

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3 Para apresentar os conceitos básicos de probabilidade, usaremos algumas ideias da teoria de conjuntos. Um conjunto é uma coleção de objetos, representados por letras maiúsculas A, B, etc. Existem três maneiras de descrever que objetos estão contidos no conjunto A: 1 Fazer uma lista dos elementos de A: A = {1, 2, 3, 4}. 2 Descrever o conjunto A por meio de palavras: A é formado pelas notas dos alunos aprovados em Probabailidade I. 3 A = {x 0 x 1}; A é o conjunto de todos os números reais entre 0 e 1. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 3 / 25

4 Algumas Notações Importantes: A notação ω A significa que ω é um elemento de A. A notação ω / A significa que ω não pertence a A. Para representar um conjunto, também usaremos a notação{ω : p(ω)}, onde p(ω) é uma proposição concernete a ω, e o conjunto consiste de todos os elementos para os quais p(ω) é verdadeira. Exemplo: {ω : ω = 2k; k = 1, 2,...} é o conjunto de todos os inteiros positivos pares. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 4 / 25

5 Definição 1.3: Sejam A e B dois conjuntos. Diremos que A é um subconjunto de B, denotado por A B, se cada elemento de A é também um elemento de B (w A w B). Definição 1.4: (Igualdade entre conjuntos) A e B são iguais se, e somente se, A B e B A. (w A w B). Como consequência dessas definições, temos os seguintes resultados: 1 Para qualquer conjunto A, A e A A. 2 Se A não é um subconjunto de B, então existe pelo menos um w A tal que w / B. 3 Se A não é igual a B, então existe pelo menos um w A tal que w / B ou um w B tal que w / A. 4 Se A B e B C, então A C. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 5 / 25

6 1.1 Algumas operações entre conjuntos 1 UNIÃO: A B = {w Ω : w A ou w B (ou ambos)} A B será formado por todos os elementos que estejam em A, ou em B, ou em ambos (adição). 2 INTERSEÇÃO: A B = {w Ω : w A e w B} A B será formado por todos os elementos que estejam em A e em B (multiplicação). 3 COMPLEMENTAR: A c = {w Ω : w / A} A c será formado por todos os elementos de Ω que não estejam em A. 4 DIFERENÇA: A B = {w Ω : w A e w / B} A B será formado por todos os elementos de A, exceto os que também estejam em B (A B = A B c ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 6 / 25

7 1 DIFERENÇA SIMÉTRICA: A B = {w Ω : w A e w / B ou w / A e w B} A B será formado por todos os elementos de A B, exceto os que estejam em A B (A B = (A B c ) (A c B)). Observação 1.8: As operações de união e interseção podem ser estendidas a mais de dois eventos. A 1 A 2... A n ou A 1 A 2... A n ou n i=1 n i=1 A i A i IMPORTANTE: Uma representação gráfica utilizada para uma melhor visualização das operações entre eventos é o diagrama de Venn. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 7 / 25

8 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 8 / 25

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13 Definição 1.5: (Eventos disjuntos) Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos se e somente se A B =. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 13 / 25

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15 PARTIÇÃO: Diremos que A 1,..., A n formam uma partição de Ω se são disjuntos e se sua união é Ω. n A i = Ω, com A i A j =, para todo i j. i=1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 15 / 25

16 Definição 1.6: (Espaço produto) Sejam Ω 1 e Ω 2 dois espaços amostrais. O espaço produto Ω = Ω 1 Ω 2 é dado por: Ω 1 Ω 2 = {(w 1, w 2 ) : w 1 Ω 1 e w 2 Ω 2 } Exeperimento: Dois dados são jogados e as faces são observadas. Espaço Amostral(Ω): 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 16 / 25

17 Definição 1.7: (Produto entre eventos) Sejam A Ω 1 e B Ω 2. O evento produto (produto cartesiano), denotado por A B é dado por A B = {(w 1, w 2 ) Ω : w 1 A e w 2 B} Exemplo: No lançamento de um dado, considere os eventos: A: observar número par e B: Observar número menor que 3. Encontre A B. Observação 1.9: Em geral, A B B A. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 17 / 25

18 1.2 Algumas propriedades das operações entre conjuntos Algumas importantes propriedades satisfeitas pelos conjuntos, relativas às operações definidas anteriormente são apresentadas a seguir. Sejam A, B e C subconjuntos de Ω, então: Leis da Identidade: A = A A = A Ω = Ω A Ω = A Leis do Complemento: A A c = Ω A A c = (A c ) c = A c = Ω Ω c = Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 18 / 25

19 1.2 Algumas propriedades das operações entre conjuntos Leis Comutativas: A B = B A A B = B A A B = B A A B B A Leis Associativas: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) (A B) C Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 19 / 25

20 Leis Distributivas: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (C A) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Outras propriedades 1 A (A B) e B (A B) 2 (A B) A e (A B) B 3 A B A B = B 4 A C e B C (A B) C Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 20 / 25

21 (I) ( n i=1 A i) c = n i=1 Ac i (I) ( n i=1 A i) c = n i=1 Ac i Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 21 / 25

22 Exercícios 1. Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelha. O experimento é realizado em duas etapas. Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida a urna e retira-se outra bola. Anota-se o resultado obtido. Obtenha o espaço amostral desse experimento. 2. Dois dados são lançados. Sejam os eventos: A=o primeiro número é maior que o segundo, B=o primeiro número é igual ao dobro do segundo e C=a soma dos dois números é maior ou igual a 8. Descreva os eventos: A, B, C, A c B, B C c, (A c ) c C e (A (B C)) c. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 22 / 25

23 Exercícios 3. Considere os veículos que trafegam pela BR-230 na altura da UFPB, no ponto em que podem continuar na BR-230(S), seguir em direção à UFPB(R) ou seguir em direção ao centro (L). Observe a direção de cada um de 3 veículos sucessivamente: 1 Relacione todos os resultados do evento A em que todos os veículos seguem na mesma direção. 2 Relacione todos os resultados do evento B em que todos os veículos seguem diferentes direções. 3 Relacione todos os resultados do evento C em que exatamente dois dos três veículos seguem para a UFPB. 4 Relacione todos os resultados do evento D em que exatamente dois veículos seguem na mesma direção. 5 Relacione os resultados em D c, C D e C D. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 23 / 25

24 Exercícios 4. Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, traduza para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações: (a) Pelo menos um dos eventos ocorra. (b) O evento A ocorre mas B não. (c) Nenhum deles ocorre. (d) Exatamente um dos eventos ocorre. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 24 / 25

25 Introdução Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 25 / 25