Aula 07. Modelos Probabilísticos. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1

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1 ula 07 Modelos Probabilísticos Stela dami Vayego - DEST/UFPR 1

2 Probabilidade Universo do estudo (população) Hipóteses, conjeturas,... Modelos Probabilísticos Distribuições de Frequências Resultados ou dados observados Stela dami Vayego - DEST/UFPR 2

3 Modelos de probabilidade Os modelos probabilísticos são construídos a partir de certas hipóteses ou suposições sobre o problema em questão e constituem-se de duas partes: 1) dos possíveis resultados o espaço amostral 2) de uma certa lei que nos diz quão provável é cada resultado (ou grupos de resultados) as probabilidades. Stela dami Vayego - DEST/UFPR 3

4 Espaço mostral (Ω) O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω. Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável (podemos listar os possíveis resultados); É dito contínuo quando for infinito, formado por intervalos de números reais. Stela dami Vayego - DEST/UFPR 4

5 Exemplo de um experimento aleatório Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. Resultados possíveis: cara, coroa Espaço amostral = {cara, coroa} Stela dami Vayego - DEST/UFPR 5

6 Exemplo de um experimento aleatório Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher. Resultados possíveis: homem, mulher Espaço amostral = {homem, mulher} Stela dami Vayego - DEST/UFPR 6

7 Exemplos: E 1) Num certo bairro, indagar a uma família se ela costuma utilizar-se de algum programa de alimentação popular. Ω = {sim, não} 2) Num certo bairro, selecionar uma amostra de 3 famílias e verificar quantas utilizaram algum programa de alimentação popular nos últimos dois meses. Ω = {0, 1, 2, 3} 3) Numa escola de ensino fundamental, selecionar uma criança e medir a sua altura. Ω = {x, tal que x R e 0 x 2,00 m }. Stela dami Vayego - DEST/UFPR 7

8 Probabilidade de um resultado Qual a probabilidade de cara e de coroa? P(cara) = 0,5 P(coroa) = 0,5 probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. Stela dami Vayego - DEST/UFPR 8

9 Probabilidade de um resultado 40% homens 60% mulheres Qual a probabilidade de homem e de mulher? P(homem) = 0,4 P(mulher) = 0,6 probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. Stela dami Vayego - DEST/UFPR 9

10 Modelo de probabilidades Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial. Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1) = P(2) =... = P(6) = 1/6 Resultado Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Stela dami Vayego - DEST/UFPR 10

11 Modelo de probabilidades POPULÇÃO Opinião a respeito do governo MOSTR: uma pessoa observada ao acaso 20% Resultado Probab. 50% 30% bom/ótimo regular ruim/péssimo bom/ótimo 0,20 regular 0,30 ruim/péssimo 0,50 Stela dami Vayego - DEST/UFPR 11

12 Vantagem dos Modelos Probabilísticos Ser possível, com algumas suposições adequadas (hipóteses ou conjecturas) e sem a necessidade de se observar diretamente o fenômeno, estabelecer distribuições de probabilidades que representam muito bem as distribuições de freqüências, que só podem ser construídas após observar o fenômeno. Utilizar as probabilidades para exprimir a chance de ocorrência de determinado fenômeno aleatório. Stela dami Vayego - DEST/UFPR 12

13 Evento Evento = um conjunto de resultados (um subconjunto do espaço amostral) Ex. Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1) = P(2) =... = P(6) = 1/6 Eventos: = número par, B = número menor que 3 = {2, 4, 6} B = {1, 2} P() = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3 Stela dami Vayego - DEST/UFPR 13

14 Operações entre Eventos (a) União: B (b) intersecção: B (c) complementar: c B Ω Ω Ω B Stela dami Vayego - DEST/UFPR 14

15 Eventos Mutuamente Exclusivos (Disjuntos) Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente. e B são mutuamente exclusivos B = B Ω Stela dami Vayego - DEST/UFPR 15

16 Stela dami Vayego - DEST/UFPR 16 ) ( ) ( ) ( ) ( B P B P P B P + = Ω B B Se e B mutuamente exclusivos, então: ) ( ) ( ) ( B P P B P + = Regra da soma das probabilidades

17 Eventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Exemplo: No lançamento imparcial de um dado e de uma moeda, os eventos = número par no dado, e B = cara na moeda são ditos Independentes, já que a ocorrência de nada tem a ver com a ocorrência de B. Stela dami Vayego - DEST/UFPR 17

18 Consequência: No lançamento imparcial de um dado e de uma moeda, os eventos = número par no dado, e B = cara na moeda = número par = {2, 4, 6} B = {cara} B = cara na moeda P() = 1/2 P(B) = 1/2 P( B) = P() x P(B) = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0,25 Stela dami Vayego - DEST/UFPR 18

19 Exercícios: 1) Numa eleição para a prefeitura de uma cidade, 30% dos eleitores pretendem votar no candidato, 50% no candidato B e 20% em branco ou nulo. Sorteia-se um eleitor na cidade e verifica-se o candidato de sua preferência. (a) presente um modelo probabilístico. (b) Qual a probabilidade do eleitor votar em um dos dois candidatos? 2) Numa sala com 10 homens e 20 mulheres, sorteia-se um indivíduo, observando o gênero (masculino ou feminino). Construa um modelo probabilístico. Stela dami Vayego - DEST/UFPR 19