Conteúdo: Aula 2. Probabilidade e Estatística. Professora: Rosa M. M. Leão

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1 Aula 2 Professora: Rosa M. M. Leão Probabilidade e Estatística Conteúdo: 1.1 Por que estudar? 1.2 O que é? 1.3 População e Amostra 1.4 Um exemplo 1.5 Teoria da Probabilidade 1.6 Análise Combinatória 3

2 na pesquisa de mercado e de opinião pública - definição de novos produtos, lançamentos, vendas, etc; em computação - estudo do desempenho de sistemas, algoritmos para aumentar a eficiência, etc; 1.1 Por que estudar Probabilidade e Estatística? A Estatística é empregada como ferramenta fundamental em várias áreas, tais como: na área médica - metodologia adequada que possibilita decidir sobre a eficiência de um novo tratamento; na indústria - controle de qualidade de produto e processo; na definição de indicadores econômicos e sociais; meteorologia, ecologia, biologia, entre outras. 4

3 Grande parte das informações divulgadas pelos meios de comunicação provém de pesquisas e estudos estatísticos: "a inflação esse mês foi..." 5 "a taxa de desemprego no Brasil no ano de " "o candidato A tem 32% da intenção de votos, o candidato B tem 41% e 27% dos entrevistados não souberam ou não quiseram responder" "o número de carros vendidos no país aumentou em 20%" " a altura média da população aumentou em 5% " "o time A teve 60% do tempo de posse de bola,..."

4 6 Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia a dia, como por exemplo:

5 Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia a dia, como por exemplo: Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar? 7

6 Pode também ajudar a responder perguntas do nosso dia a dia, como por exemplo: Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar? Se em um teste com várias perguntas onde teremos que responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se teremos uma probabilidade de acertar um número maior de respostas se "chutarmos" sempre a mesma resposta? ou seria melhor alternarmos as respostas? 8

7 Para modelar e/ou avaliar o sistema a ser estudado é preciso coletar dados e/ou fazer algumas suposições: Caso 1: Sistema já existe e deseja-se coletar dados para seu estudo/modelagem. Caso 2: Sistema não existe e deseja-se criar um modelo para prever o seu desempenho. 9

8 Sobre a obtenção dos dados para estudo/modelagem do sistema: 10

9 Sobre a obtenção dos dados para estudo/modelagem do sistema: Se o sistema não existe, como obter os dados para criar o modelo? Por quanto tempo deve-se coletar os dados? Pode-se usar os dados coletados durante um certo período (amostra), para concluir sobre o comportamento do sistema? Como definir o período no qual deve-se coletar os dados (24h, somente pela manhã, no horário de maior uso do sistema)? 11

10 Como fazer para que os dados obtidos para esse período de tempo possam ser generalizados para obtermos infomações sobre o sistema? ii) O que fazer com os dados colhidos? Como organizar esses dados? Como extrair informações de interesse? 12

11 13 Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los necessitamos de técnicas conhecidas, que nos permitam responder a essas questões com segurança e objetividade.

12 Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los necessitamos de técnicas conhecidas, que nos permitam responder a essas questões com segurança e objetividade. Estas técnicas são: Estatística Probabilidade Inferência estatística 14

13 Estatística: conjunto de técnicas destinadas a descrever, organizar e resumir os dados a fim de que possamos tirar conclusões de características de interesse. 15

14 Estatística: conjunto de técnicas destinadas a descrever, organizar e resumir os dados a fim de que possamos tirar conclusões de características de interesse. Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza" dos fenômenos de caráter "aleatório". Pode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso. 16

15 Estatística: conjunto de técnicas destinadas a descrever, organizar e resumir os dados a fim de que possamos tirar conclusões de características de interesse. Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza" dos fenômenos de caráter "aleatório". Pode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso. Inferência estatística: estudo de técnicas que possibilitam a análise e interpretação de dados com objetivo de generalizar e prever resultados. 17

16 1.3 População e amostra A população é o conjunto de todos os dados que que temos interesse. 18

17 1.3 População e amostra A população é o conjunto de todos os dados que que temos interesse. Exemplos: i) Se o objeto de estudo for uma aplicação P2P, como por exemplo o BitTorrent. O que é a população? 19

18 A população é o conjunto de todos os dados que que temos interesse. i) Se o objeto de estudo for uma aplicação P2P, como por exemplo o BitTorrent. O que é a população? ii) Se o objeto de estudo for a confiabilidade de um produto de uma certa fábrica durante um período de tempo, por exemplo, a durabilidade das lâmpadas produzidas durante o ano de 2004, a população será composta por todas as lâmpadas produzidas pela fábrica em questão no ano de População e amostra Exemplos: 20

19 População pode ser finita ou infinita 21

20 Em determindas situações há impossibilidade de se analisar toda população, ou por razões econômicas, ou pela população ser infinita. População pode ser finita ou infinita 22

21 Sabemos que uma aplicação é usada por milhões de pessoas, por exemplo o Skype, e queremos avaliar quantos pacotes de voz, em média, são perdidos prejudicando a qualidade da comunicação: Um exemplo: 23

22 População - todos os pacotes de voz transmitidos pela aplicação Um exemplo: Sabemos que uma aplicação é usada por milhões de pessoas, por exemplo o Skype, e queremos avaliar quantos pacotes de voz, em média, são perdidos prejudicando a qualidade da comunicação: Amostra - parcela dos pacotes coletados Como escolher? 24

23 Amostra subconjunto da população a ser estudado o mais parecido possível com a população que lhe deu origem 25

24 Análise: feita na população total ou em uma amostra Amostra subconjunto da população a ser estudado o mais parecido possível com a população que lhe deu origem 26

25 Análise: feita na população total ou em uma amostra A1? A2? Amostra subconjunto da população a ser estudado o mais parecido possível com a população que lhe deu origem população amostra 27

26 Análise: feita na população total ou em uma amostra Amostra subconjunto da população a ser estudado o mais parecido possível com a população que lhe deu origem população amostra A1 28

27 Teoria de Probabilidade: Conceitos Básicos Situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Fenômeno Aleatório 29

28 Teoria de Probabilidade: Conceitos Básicos Situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. O clima num determinado dia da semana que vem. Fenômeno Aleatório Exemplos: O resultado do lançamento de um dado. A média final que você tirará nesta disciplina. 30

29 O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo fenômeno aleatório. Denominaremos este espaço pela letra grega Ω (Ômega). Espaço amostral 31

30 O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo fenômeno aleatório. Denominaremos este espaço pela letra grega Ω (Ômega). Os subconjuntos do espaço amostral são chamados de eventos e são representados por letras maiúsculas (A, B, C,...). Espaço amostral 32

31 Exemplos: Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas Ω = {CC,CR,RC,RR}, onde aqui C é cara e R coroa. 33

32 Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara Exemplos: Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas Ω = {CC,CR,RC,RR}, onde aqui C é cara e R coroa. Ω = {C,RC,RRC,RRRC,...}, que contém um número infinito de elementos. 34

33 Lembrando da Teoria dos Conjuntos: O conjunto vazio é denotado por A união de dois eventos A e B representa a ocorrência de, pelo menos, um dos eventos A ou B. Denotamos a união de A com B por A intersecção do evento A com B é a ocorrência simultânea de A e B. Denotamos a intersecção de A com B por. 35

34 A C C B B Exemplo Sejam A, B e C três eventos do espaço amostral Ω : Ω = {A,B,C} Pelo menos um dos eventos ocorre A 36

35 Ambos os eventos ocorrem A B C C B Exemplo Sejam A, B e C três eventos do espaço amostral Ω : A Ω = {A,B,C} 37

36 Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) quando não têm elementos em comum, ou seja: Dois eventos A e B são complementares se sua união é o espaço amostral e sua intersecção é vazia, ou seja: 38

37 Exemplo: A B C A e C: eventos disjuntos A B C A c complementar de A A A c 39

38 Outros exemplos Pelo menos um dos eventos ocorre O evento A ocorre mas o evento B não Nenhum deles ocorre 40

39 Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz as condições:,com todos os disjuntos. ou seja, probabilidade é a função que atribui valores numéricos aos eventos do espaço amostral. 4.3 Probabilidade 41

40 como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Questão que se coloca: 42

41 como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Questão que se coloca: 1) Baseado nas características da realização de um fenômeno; 2) Usando as freqüências de ocorrência. 43

42 Baseado nas características da realização de um fenômeno Lançamento de um dado cúbico perfeitamente homogêneo e simétrico com os lados numerados, teremos o espaço amostral: E nesse caso a probabilidade de ocorrência de cada evento será: Exemplo: 44

43 Para um número suficientemente grande de lançamentos, podemos usar as freqüências de ocorrência como probabilidades. Mas... Usando as freqüências de ocorrência Exemplo: Pegamos um dado e jogamos várias vezes. 45

44 O que quer dizer número suficientemente grande de lançamentos? Geralmente a medida que o número de repetições aumenta, as freqüências relativas vão se estabilizando em um número que chamaremos de probabilidade. 46

45 Sabendo que 52% dos alunos estão na turma A e 48% na turma B, escolhemos um estudante ao acaso. Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexo feminino ou alguém da turma B? Exemplo: Usemos a tabela abaixo que mostra o número de alunos de cada sexo numa escola: Sexo F M Total n f 37 0, ,

46 Da tabela e das características das turmas A e B temos Tabela P(F) = 0,74; P(A) = 0,52; P(M) = 0,26; P(B) = 0,48. 48

47 "Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexo feminino ou alguém da turma B?" Não podemos simplesmente somar P(F) com P(B) já que teríamos probabilidade maior que 1. Estamos somando duas vezes alguns elementos pois há mulheres em ambas as turmas Pergunta colocada: P(F) = 0,74; P(A) = 0,52; P(M) = 0,26; P(B) = 0,48. Queremos 49

48 Temos que é igual ao número de estudantes do sexo feminino e da turma B. Assim, para obter a probabilidade correta temos que somar as probabilidades P(F) com P(B) e, então subtrair deste valor ou seja, 50

49 Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabilidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B, é dada por observe que se os eventos A e B forem disjuntos (e somente neste caso),a probabilidade da intersecção de A com B é nula e temos que a união é igual a soma das probabilidades dos dois eventos. Esta regra pode ser estendida para soma de três ou mais termos. 51

50 Observe que e que 52

51 Observe que e que Logo, 53

52 Contando o número de casos favoráveis para ocorrência de um certo evento, se os eventos são equiprováveis Quando o espaço amostral é grande, temos que usar a análise combinatória P(E) = número de casos favoráveis/número total de casos Como calcular as freqüências de ocorrência: 54