Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal.

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1 Estatística Probabilidade Profa. Ivonete Melo de Carvalho Conteúdo Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Objetivos Utilizar a probabilidade como estimador de valor. Minimizar os riscos causados em investimentos, negócios, vendas etc. Compreender a importância do estudo da probabilidade. Analisar as distribuições de probabilidade. 1

2 Modelos Determinísticos: quando uma variável pode ser calculada com exatidão. Probabilísticos: quando se baseia em resultados possíveis ou probabilidades. Experimento Aleatório É aquele que poderá ser repetido indefinidamente, cujo resultado não pode ser previsto com certeza, mas todos os resultados são possíveis. Espaço Amostral É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Evento É um subconjunto do espaço amostral. 2

3 Um Evento Pode Ser: Certo. Composto. Dependente. Elementar. Mutuamente exclusivos. Impossível. Evento Certo e Evento Impossível Evento é um conjunto de resultados do experimento, isto é, um subconjunto S. Em particular, S (espaço amostral) e Φ (conjunto vazio) são eventos. Nestas condições: S é dito o evento certo (evento que deve ocorrer; tem probabilidade 1). Φ é o evento impossível (tem probabilidade 0). Eventos Mutuamente Exclusivos São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A B = Φ. Ao jogar um dado, observa-se que: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então, sejam os eventos A = ocorrer número par e B = ocorrer número ímpar. Logo: A = {2, 4, 6}; B = {1, 3, 5}. A e B são considerados mutuamente exclusivos, pois A B = Φ. 3

4 Evento Elementar Evento que contém um único ponto amostral. Evento Composto Evento que consiste em dois ou mais eventos simples. Eventos Dependentes Dois eventos são ditos dependentes se a probabilidade de um ocorrer altera a probabilidade de o outro ocorrer, isto é, P(A/B) = P(A). Eventos Independentes Dois eventos de um espaço amostral S são denominados independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afeta a probabilidade de o outro ocorrer. P(A) Probabilidade da Ocorrência de um Evento NCF(A) NCT Em que: P(A) = probabilidade de um evento. CNF(A) = número de casos favoráveis ao evento A. NCT = número de casos totais. 4

5 Exemplo Em um lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3? P(A) = 1/6 = 0,1667 = 16,67% Regras da Probabilidade Probabilidade de evento. Mutuamente exclusivos. Probabilidade de evento não mutuamente exclusivos. Probabilidade de evento complementar. Probabilidade independente. Probabilidade de Evento Sempre será uma fração entre 0 e 1. 5

6 Eventos Mutuamente Exclusivos São tais que a ocorrência de um exclui a possibilidade da ocorrência do outro. P(A B) P(A) P(B) Exemplo No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número par? S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {3} e B = {2, 4, 6}. P(A U B) = 1/6 + 3/6 = 4/6. P(A U B) = 66,67% Probabilidade de Eventos não Mutuamente Exclusivos A ocorrência de um evento particular qualquer não elimina a ocorrência de todos os outros possíveis. P(A B) P(A) P(B) P(A B) 6

7 Exemplo No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número ímpar? S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {3} e B = {1, 3, 5}. P(A U B) = 1/6 + 3/6-1/6. P(A U B) = 3/6 = 50% Probabilidade de Evento Complementar A regra para o evento complementar é: P(A) 1 P(A) Exemplo No lançamento de um dado, qual a probabilidade de não sair a face 3? S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. P(A) = 1-1/6 = 5/6. P(A) = 83,33% 7

8 Probabilidade Independente Dois ou mais eventos são ditos independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência dos outros. P(A B) P(A) * P(B) Exemplo No lançamento de um dado 2 vezes, qual a probabilidade de sair a face 6 ambas as vezes? P(A U B) = 1/6 x 1/6 = 1/36. P(A U B) = 2,77% Os Eventos Independentes Podem Ser: Com Reposição Uma urna contém 7 bolas vermelhas, 4 amarelas e 3 azuis. Com a retirada de duas bolas, qual a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas (com reposição)? P(A U B)= P(A) x P(B). P(A U B)= 7/14 x 7/14. P(A U B)= 49/196 = 25% 8

9 Os Eventos Independentes Podem Ser: Sem Reposição Considerando o exemplo anterior sem reposição: P(A U B) = 7/14 x 6/13. P(A U B) = 42/182 = 23,07% Supondo, agora, a retirada de duas bolas sem reposição, qual a probabilidade de uma ser vermelha e a outra azul? P(A U B) = 7/14 x 3/13. P(A U B) = 21/182 = 11,54% Distribuição de Probabilidade Distribuição de probabilidade (a probabilidade) no espaço amostral S é uma especificação de números P(A) que satisfazem: Para qualquer evento A, P(A) 0. P(S) = 1. Para qualquer sequência infinita de eventos disjuntos A 1, A 2,... i1 i1 P( A i ) P(A i) Exemplo Lançam-se dois dados. Seja a variável aleatória X = soma das faces. Determinar a distribuição de probabilidade da variável aleatória X. 9

10 Outro Exemplo Em uma rifa, bilhetes são vendidos a $ 2 para quatro prêmios de $ 500, $ 250, $ 150 e $ 75. Você compra um bilhete. (1) Qual é o valor esperado de seu ganho? (2) Escreva a distribuição de probabilidade dos ganhos possíveis. Respostas: (1) $ 498, $ 248, $ 148 e $ 73. (2) Fonte: Livro-Texto, p Experimentos Binomiais Trata-se de uma experiência probabilística com as seguintes características: O experimento deve ser repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras. Existem somente dois resultados possíveis: sucesso (S) ou fracasso (F). A probabilidade de um sucesso P(S) é a mesma em cada tentativa. A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso. Probabilidade Binomial É composta por n observações que atendem às seguintes características: São do tipo sucesso ou fracasso. As observações são independentes entre si. A fórmula de cálculo é: F( A) C n x x n p q x, onde C n x n! x!( n x)! 10

11 Exemplo Considere que uma auditoria em uma empresa de vendas a crédito constatou que 20% dos clientes estavam com suas prestações atrasadas. Determine a probabilidade de que, em 5 clientes escolhidos aleatoriamente, um esteja com suas prestações em atraso. C C x n 1 5 n! 5! x!(n x)! 1!(5 1)! Solução 5 * 4 * 3 * 2 *1 5 1 * 4 * 3 * 2 *1 P(1) 5 0,20 0,80 P(1) 5 * 0,2 * 0, p(1) 40,96% 51 Distribuição Normal É amplamente utilizada entre as distribuições de probabilidade, sendo aplicada em diversos fenômenos no desenvolvimento teórico das amostragens, que é representado pela população. 11

12 A Curva Normal é Definida Por: 1 y e x * 2 Em que: y é a ordenada para determinado valor de x. e = (número de Euler). = representa a média da população. representa o desvio padrão. Como Facilitador de Cálculo Será utilizada a variável reduzida de z (encontrada na tabela no Livro-Texto). Será transformada a curva normal em curva normal padrão reduzida. Neste caso, a média passa ser µ = 0, com desvio padrão σ = 1. A transformação consiste em converter a variável x na variável z, utilizando a seguinte equação: xx z De Normal para Normal Reduzida 12

13 Exemplo Suponha que um consultor observe que a montagem de uma peça leva, em média, 75 segundos, com um desvio padrão de 6 segundos. Qual a probabilidade de que um operário da fábrica, escolhido ao acaso, leve entre 70 e 75 segundos para montar uma peça? x x z 0,83 6 Com esse resultado de z (z = 0,833), consulta-se a tabela de Z para encontrar o valor de P (P = 29.67%) 13

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